Теорема Годдарда – Торна

В математике , и в частности в математической основе теории струн , теорема Годдарда-Торна (также называемая теоремой об отсутствии призраков ) — это теорема, описывающая свойства функтора , который квантовает бозонные струны . Он назван в честь Питера Годдарда и Чарльза Торна .

Название «теорема об отсутствии призраков» происходит от того факта, что в исходной формулировке теоремы естественный скалярный продукт, индуцированный в выходном векторном пространстве, является положительно определенным. Таким образом, не существовало так называемых призраков ( призраков Паули–Вилларса ), или векторов отрицательной нормы. Название «теорема об отсутствии призраков» также является игрой слов на основе теоремы о запрете квантовой механики.

Заявление

Это утверждение принадлежит Борчердсу (1992).

Предположим, что $V$ является унитарным представлением алгебры Вирасоро $\mathrm {Vir}$, так $V$ имеет невырожденную билинейную форму $(\cdot ,\cdot )$ и существует гомоморфизм алгебры $\rho :\mathrm {Vir} \rightarrow \mathrm {End} (V)$ так что $$\rho (L_{i})^{\dagger }=\rho (L_{-i})$$где сопряженное определено относительно билинейной формы, и $$\rho (c)=24\mathrm {id} _{V}.$$Предположим также, что $V$ разлагается в прямую сумму собственных пространств $L_{0}$ с неотрицательными целочисленными собственными значениями $i\geq 0$, обозначенный $V^{i}$, и что каждый $V^{i}$ конечномерен (что дает $V$ а $\mathbb {Z} _{\geq 0}$- градация ). Предположим также, что $V$ допускает действие от группы $G$ который сохраняет эту оценку.

Для двумерной четной унимодулярной лоренцевой решетки II _1,1 обозначим соответствующую решетчатую вершинную алгебру через $V_{II_{1,1}}$. Это II _1,1 -градуированная алгебра билинейной формы, обладающая действием алгебры Вирасоро.

Позволять $P^{1}$ — подпространство вершинной алгебры $V\otimes V_{II_{1,1}}$ состоящий из векторов $v$ такой, что $L_{0}\cdot v=v,L_{n}\cdot v=0$ для $n>0$. Позволять $P_{r}^{1}$ быть подпространством $P^{1}$ степени $r\in II_{1,1}$. Каждое пространство наследует $G$- действие, которое действует в соответствии с предписаниями $V$ и тривиально на $V_{II_{1,1}}$.

Фактор ​ ​ $P_{r}^{1}$ своей нуль-пространством билинейной формы естественно изоморфен как $G$-модуль с инвариантной билинейной формой, $V^{1-(r,r)/2}$ если $r\neq 0$ и $V^{1}\oplus \mathbb {R} ^{2}$ если $r=0$.

II _1,1

Решетка II _1,1 представляет собой решетку ранга 2 билинейной формы $${\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$$Это четный, унимодулярный и целочисленный с сигнатурой (+,-).

Формализм

Есть два естественно изоморфных функтора, которые обычно используются для квантования бозонных струн. В обоих случаях мы начинаем с представлений алгебры Вирасоро с центральным зарядом 26 с положительной энергией , снабженных билинейными формами, инвариантными по Вирасоро, и заканчиваем векторными пространствами, снабженными билинейными формами. Здесь «инвариант Вирасоро» означает, что L _n сопряжено с L _{− n} для всех целых чисел n .

Исторически первым функтором является «старое каноническое квантование», и он задается путем фактора первичного подпространства веса 1 по радикалу билинейной формы. Здесь «первичное подпространство» — это набор векторов, аннулируемых L _n для всех строго положительных n , а «вес 1» означает, что L ₀ действует по тождеству. Второй, естественно изоморфный функтор, задается BRST-когомологиями степени 1. Более старые трактовки BRST-когомологий часто имеют сдвиг в степени из-за изменения выбора BRST-заряда, поэтому когомологии степени -1/2 можно увидеть в статьях и текстах, написанных до 1995 года. Доказательством естественной изоморфности функторов может быть Полчинского можно найти в разделе 4.4 текста «Теории струн» .

Теорема Годдарда-Торна сводится к утверждению, что этот функтор квантования более или менее отменяет добавление двух свободных бозонов, как предположил Лавлейс в 1971 году. Точное утверждение Лавлейс заключалось в том, что при критическом измерении 26 тождества Уорда типа Вирасоро отменяют два полных набора. осцилляторов. Математически это следующее утверждение:

Пусть V — унитаризуемое представление Вирасоро центрального заряда 24 с билинейной формой, инвариантной по Вирасоро, и пусть π ^1,1
_λ — неприводимый модуль R ^1,1 Алгебра Ли Гейзенберга, присоединенная к ненулевому вектору λ в R ^1,1 . Тогда образ V ⊗ π ^1,1
_λ при квантовании канонически изоморфно подпространству V , на котором L ₀ действует посредством 1-( λ , λ ).

Свойство отсутствия призраков следует сразу же, поскольку положительно определенная эрмитова структура V переносится на изображение при квантовании.

Приложения

Описанные здесь функторы квантования бозонных струн могут быть применены к любой конформной вершинной алгебре с центральным зарядом 26, и выходные данные, естественно, имеют структуру алгебры Ли. Затем теорему Годдарда-Торна можно применить для конкретного описания алгебры Ли в терминах входной вершинной алгебры.

Возможно, наиболее впечатляющим примером этого приложения является Ричардом Борчердсом доказательство чудовищной гипотезы о самогоне , где унитаризуемое представление Вирасоро представляет собой вершинную алгебру монстра (также называемую «самогонным модулем»), построенную Френкелем , Леповски и Мерманом . Взяв тензорное произведение с вершинной алгеброй, прикрепленной к гиперболической решетке ранга 2, и применив квантование, можно получить монстр-алгебру Ли , которая представляет собой обобщенную алгебру Каца – Муди, градуированную решеткой. Используя теорему Годдарда-Торна, Борчердс показал, что однородные части алгебры Ли естественным образом изоморфны градуированным частям самогонного модуля как представления простой группы монстров .

Более ранние приложения включают определение Френкеля верхних границ корневых кратностей алгебры Ли Каца – Муди, диаграмма Дынкина которой представляет собой решетку Лича , а также конструкцию Борчердса обобщенной алгебры Ли Каца – Муди, которая содержит алгебру Ли Френкеля и насыщает границу Френкеля 1/∆. .

Ссылки

• Борчердс, Ричард Э (1990). «Чудовищная алгебра Ли» . Достижения в математике . 83 (1): 30–47. дои : 10.1016/0001-8708(90)90067-w . ISSN   0001-8708 .
• Борчердс, Ричард Э. (1992). «Чудовищный самогон и чудовищные супералгебры Ли» (PDF) . Математические изобретения . 109 (1). Springer Science and Business Media LLC: 405–444. Бибкод : 1992InMat.109..405B . дои : 10.1007/bf01232032 . ISSN   0020-9910 . S2CID   16145482 .
• И. Френкель, «Представления алгебр Каца-Муди и модели дуального резонанса. Применение теории групп в теоретической физике», Lect. Прил. Математика. 21 AMS (1985) 325–353.
• Годдард, П.; Торн, CB (1972). «Совместимость двойного Померона с унитарностью и отсутствием призраков в модели двойного резонанса» . Буквы по физике Б. 40 (2). Эльзевир Б.В.: 235–238. Бибкод : 1972PhLB...40..235G . дои : 10.1016/0370-2693(72)90420-0 . ISSN   0370-2693 .
• Лавлейс, К. (1971). «Форм-факторы Pomeron и двойная огранка Редже». Буквы по физике Б. 34 (6). Эльзевир Б.В.: 500–506. Бибкод : 1971PhLB...34..500L . дои : 10.1016/0370-2693(71)90665-4 . ISSN   0370-2693 .
• Полчински, Джозеф (1998). Теория струн . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/cbo9780511816079 . ISBN  978-0-511-81607-9 . ПМК   33894 . ПМИД   9736684 .