Модель с смешным элементом

Представление смешной модели, состоящей из источника напряжения и резистора.

Модель с сосредоточенным элементом (также называемая модели с сосредоточенным параметром , или модель с соседством ) представляет собой упрощенное представление физической системы или схемы, которая предполагает, что все компоненты сосредоточены в одной точке, и их поведение может быть описано идеализированными математическими моделями. Модель с сосредоточенным элементом упрощает описание поведения системы или схемы в топологию . Он полезен в электрических системах (включая электронику ), механические многопользовательские системы , теплопередачу , акустика и т. Д. Это в отличие от распределенных систем параметров или моделей, в которых поведение распределяется пространственно и не может рассматриваться как локализованное в дискретные объекты.

Упрощение уменьшает пространство состояния системы до конечного измерения , а также дифференциальные уравнения (PDE) непрерывных (бесконечномерных) модели физической системы в обычные дифференциальные уравнения (ODE) с конечным числом параметры.

Электрические системы

Смачиваемой дисциплина

Дисциплина с сосредоточенным веществом представляет собой набор навязанных предположений в электротехнике , которая обеспечивает основу для абстракции с сосредоточенным кругом, используемой в сетевом анализе . Самостоятельные ограничения:

1. Изменение магнитного потока во времени за пределами проводника равен нулю. $${\frac {\partial \phi _{B}}{\partial t}}=0$$
2. Изменение заряда во времени внутри проводящих элементов равно нулю. $${\frac {\partial q}{\partial t}}=0$$
3. Время, представляющие интерес, намного больше, чем задержка распространения электромагнитных волн через сосредоточенный элемент.

Первые два предположения приводят к окружным законам Кирхгофа при применении к уравнениям Максвелла и применимы только тогда, когда схема находится в стабильном состоянии . Третье предположение является основой модели с сосредоточенным элементом, используемой в сетевом анализе . Менее серьезные предположения приводят к модели распределенного элемента , в то время как все еще не требуют прямого применения полных уравнений Максвелла.

Модель с смешным элементом

Модель электронных цепей с сосредоточенным элементом делает упрощающее предположение, что атрибуты схемы, сопротивление , емкость , индуктивность и усиление сосредоточены в идеализированных электрических компонентах ; Резисторы , конденсаторы и индукторы и т. Д. Связаются с сетью идеально проводящих проводов.

Модель с сосредоточенным элементом действительна, когда бывает. $L_{c}\ll \lambda$, где $L_{c}$ обозначает характерную длину цепи и $\lambda$ цепи Обозначает рабочую длину волны . В противном случае, когда длина цепи находится в порядке длины волны, мы должны рассмотреть более общие модели, такие как модель распределенного элемента (включая линии передачи ), динамическое поведение которого описывается уравнениями Максвелла . Другим способом просмотра достоверности модели с сосредоточенным элементом является отметить, что эта модель игнорирует конечное время, которое требуется для распространения вокруг цепи. Всякий раз, когда это время распространения не имеет значения для применения, можно использовать модель с сосредоточенным элементом. Это тот случай, когда время распространения намного меньше, чем период задействованного сигнала. Однако при увеличении времени распространения возникнет растущая ошибка между предполагаемой и фактической фазой сигнала, которая, в свою очередь, приводит к ошибке в предполагаемой амплитуде сигнала. Точная точка, в которой модель с сосредоточенным элементом больше не может использоваться, в определенной степени, зависит от того, насколько точно сигнал должен быть известен в данном приложении.

Компоненты реального мира демонстрируют недейские характеристики, которые в действительности являются распределенными элементами, но часто представлены в приближении первого порядка с помощью сосредоточенных элементов. Например, чтобы учесть утечку у конденсаторов , мы можем смоделировать недейский конденсатор как имеющий большой соседний резистор, соединенный параллельно, даже если утечка, в действительности, распределяется по всему диэлектрику. Точно так же резистор с проволоком обладает значительной индуктивностью , а также сопротивлением, распределенным по ее длине, но мы можем моделировать это как смирившийся индуктор последовательно с идеальным резистором.

Тепловые системы

Модель с сосредоточенной вероятностью , также называемая смазываемой системной анализом , Снижает тепловую систему до ряда дискретных «комков» и предполагает, что разница температур внутри каждого кома незначительна. Это приближение полезно для упрощения сложных дифференциальных тепловых уравнений. Он был разработан как математический аналог электрической емкости , хотя также включает в себя тепловые аналоги электрического сопротивления .

Модель с сосредоточенной вероятностью является распространенным приближением в переходной проводимости, которая может использоваться всякий раз, когда теплопровождение внутри объекта намного быстрее, чем теплопередача на границе объекта. Метод приближения затем соответственно сводит один аспект системы переходной проводимости (пространственное изменение температуры в объекте) до более математически пролетаемой формы (то есть предполагается, что температура внутри объекта полностью равномерно в пространстве, хотя это пространственно пространственно равномерное значение температуры изменяется с течением времени). Повышенная равномерная температура внутри объекта или части системы может затем рассматриваться как емкостный резервуар, который поглощает тепло, пока не достигнет устойчивого теплового состояния во времени (после чего температура не изменяется в нем).

Раскрытым примером системы с сосредоточенной вероятностью, которая демонстрирует математически простое поведение из-за таких физических упрощений, представляют собой системы, которые соответствуют закону охлаждения Ньютона . Этот закон просто гласит, что температура горячего (или холодного) объекта прогрессирует к температуре его среды простым экспоненциальным способом. Объекты следуют этому закону строго только в том случае, если скорость теплопроводности в них намного больше, чем тепловой поток, в них или из них. В таких случаях имеет смысл говорить о одной «температуре объекта» в любой момент времени (поскольку в объекте не существует пространственного изменения температуры), а также однородные температуры внутри объекта позволяют общая тепловая избыток или дефицит изменяются пропорционально пропорционально к температуре поверхности, тем самым устанавливая закон Ньютона о требованиях охлаждения, чтобы скорость снижения температуры пропорциональна разнице между объектом и окружающей средой. Это, в свою очередь, приводит к простому экспоненциальному нагреву или охлаждению (подробности ниже).

Метод

Чтобы определить количество комков, используется номер биота (BI), безразмерный параметр системы. BI определяется как отношение проводящей теплостойкости в объекте к конвективной сопротивлению теплопередачи через границу объекта с равномерной ванной по разной температуре. Когда тепловое сопротивление на тепло, перенесенное в объект, больше, чем сопротивление на тепло, полностью рассеянное меньше 1. внутри объекта, число биологии Температура внутри объекта может начать использоваться, поскольку можно предположить, что тепло, передаваемое в объект, имеет время для равномерного распределения, из -за более низкого сопротивления этому, по сравнению с сопротивлением тепла, попадающему в объект.

Если число биотов составляет менее 0,1 для твердого объекта, то весь материал будет почти такой же температурой, причем доминирующая разность температуры находится на поверхности. Это может рассматриваться как «термически тонкий». Число биотов, как правило, должно быть менее 0,1 для точного точности и анализа теплопередачи. Математическое решение приближения с сосредоточенной системой дает закон о охлаждении Ньютона .

Число BIOT больше 0,1 («термически толстое» вещество) указывает на то, что нельзя сделать это предположение, и теплопередачи потребуются более сложные уравнения для «переходной теплопроводности», чтобы описать изменяющуюся во времени и не-пространственно универсальную температуру Поле внутри материального тела.

Единый подход к емкости может быть расширен для участия в многих резистивных и емкостных элементах, с Bi <0,1 для каждого кома. Поскольку число BIOT рассчитывается на основе характерной длины системы, система часто может быть разбита на достаточное количество секций или комков, так что число биотов приемлемо мало.

Некоторые характерные длины тепловых систем:

• Пластина: толщина
• FIN : толщина/2
• Длинный цилиндр : диаметр/4
• Сфера : диаметр/6

Для произвольных форм может быть полезно, чтобы рассматривать характерную длину как объем / площадь поверхности.

Тепловые чисто резистивные цепи

Полезной концепцией, используемой в приложениях теплопередачи после достижения условия стационарного состояния теплопроводности, является представление теплового переноса так называемым тепловыми целями. Тепловая цепь - это представление сопротивления тепловому потоку в каждом элементе цепи, как будто это был электрический резистор . Переданный тепло аналогичен электрическому току , а тепловое сопротивление аналогично электрическому резистору. Значения термического сопротивления для различных мод теплопередачи затем рассчитываются как знаменатели развитых уравнений. Термические сопротивления различных режимов теплопередачи используются при анализе комбинированных мод теплопередачи. Отсутствие «емкостных» элементов в следующем чисто резистивном примере означает, что ни один участок цепи не поглощает энергию или изменяется при распределении температуры. Это эквивалентно требованию того, что состояние теплопроводности устойчивого состояния (или переноса, как в радиации) уже было установлено.

Уравнения, описывающие три режима теплопередачи и их тепловые сопротивления в условиях устойчивого состояния, как обсуждалось ранее, суммированы в таблице ниже:

Уравнения для различных режимов теплопередачи и их тепловых сопротивлений.

Режим передачи	Скорость теплопередачи	Тепловое сопротивление
Проводимость	${\dot {Q}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{\left({\frac {L}{kA}}\right)}}$	${\frac {L}{kA}}$
Конвекция	${\dot {Q}}={\frac {T_{\rm {surf}}-T_{\rm {envr}}}{\left({\frac {1}{h_{\rm {conv}}A_{\rm {surf}}}}\right)}}$	${\frac {1}{h_{\rm {conv}}A_{\rm {surf}}}}$
Излучение	${\dot {Q}}={\frac {T_{\rm {surf}}-T_{\rm {surr}}}{\left({\frac {1}{h_{r}A_{\rm {surf}}}}\right)}}$	${\frac {1}{h_{r}A}}$, где $h_{r}=\epsilon \sigma (T_{\rm {surf}}^{2}+T_{\rm {surr}}^{2})(T_{\rm {surf}}+T_{\rm {surr}})$

В тех случаях, когда теплообмен через различные среды (например, через составной материал ), эквивалентное сопротивление - это сумма сопротивления компонентов, которые составляют композитный. Скорее всего, в тех случаях, когда существуют различные режимы теплопередачи, общее сопротивление является суммой сопротивлений различных мод. Используя концепцию тепловой цепи, количество тепла, передаваемого через любую среду, является коэффициентом изменения температуры и общего термического сопротивления среды.

В качестве примера рассмотрим композитную стену площади поперечного сечения $A$Полем Композит сделан из $L_{1}$ Длинная цементная штукатурка с термическим коэффициентом $k_{1}$ и $L_{2}$ Длинное бумажное стекло волокна с тепловым коэффициентом $k_{2}$Полем Левая поверхность стены находится в $T_{i}$ и подвергся воздействию воздуха с конвективным коэффициентом $h_{i}$Полем Правая поверхность стены находится в $T_{o}$ и подвергается воздействию воздуха с конвективным коэффициентом $h_{o}$.

Используя концепцию термического сопротивления, тепловой поток через композит выглядит следующим образом: $${\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}$$ где $R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}$, $R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}$, $R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}$, и $R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}$

Закон о охлаждении Ньютона

Основная статья: Закон о охлаждении Ньютона

Закон о охлаждении Ньютона - это эмпирические отношения, приписываемые английскому физику сэру Исааку Ньютону (1642–1727). Этот закон, указанный в нематематической форме, является следующим:

Скорость тепла потери тела пропорциональна разнице температур между организмом и окружающей средой.

Или, используя символы: $${\text{Rate of cooling}}\sim \Delta T$$

Объект при другой температуре, чем в его окружении, в конечном итоге будет достигнут общей температуры с окружающей средой. Относительно горячий объект охлаждается, когда он согревает окружение; Прохладный объект нагревается его окружением. Рассматривая, как быстро (или медленно) что -то охлаждается, мы говорим о его скорости охлаждения - сколько градусов изменения температуры за единицу времени.

Скорость охлаждения объекта зависит от того, насколько горячее объект, чем его окружение. Изменение температуры в минуту горячего яблочного пирога будет больше, если пирог помещен в холодную морозильную камеру, чем если бы он помещен на кухонный стол. Когда пирог охлаждается в морозильной камере, разница температур между ним и его окружением больше. В холодный день теплый дом протекает тепло снаружи с большей скоростью, когда существует большая разница между внутренней и наружной температурой. Сохранение внутренней части дома при высокой температуре в холодный день, таким образом, дороже, чем держать его при более низкой температуре. Если разница температуры сохраняется небольшой, скорость охлаждения будет соответственно низкой.

Как закон о охлаждающих состояниях Ньютона, скорость охлаждения объекта - будь то в результате проводимости , конвекции или излучения - приблизительно пропорциональна разнице температур Δ t . Замороженная еда согревается быстрее в теплой комнате, чем в холодной комнате. Обратите внимание, что скорость охлаждения, испытываемая в холодный день, может быть увеличен за счет дополнительного конвекционного эффекта ветра . Это называется охлаждением ветра . Например, охлаждение ветра в -20 ° C означает, что тепло теряется с той же скоростью, как если бы температура была -20 ° C без ветра.

Применимые ситуации

Этот закон описывает многие ситуации, в которых объект имеет большую тепловую способность и большую проводимость, и внезапно погружается в равномерную ванну, которая проводит тепло относительно плохо. Это пример тепловой схемы с одним резистивным и одним емкостным элементом. Чтобы закон был правильным, температура во всех точках внутри тела должна быть приблизительно одинаковой в каждый момент времени, включая температуру на ее поверхности. Таким образом, разница температур между телом и окружением не зависит от того, какая часть тела выбирается, поскольку все части тела имеют эффективную температуру. В этих ситуациях материал тела не действует для «изоляции» других частей тела от теплового потока, а вся значительная изоляция (или «термическое сопротивление»), контролирующая скорость теплового потока в ситуации. Область контакта между телом и его окружением. На этой границе температурная стоимость прыгает прерывистым образом.

В таких ситуациях тепло может быть перенесено от внешней части к внутренней части тела, через изоляционную границу, конвекция, проводимость или диффузию, при условии, что граница служит относительно плохим проводником в отношении внутренней части объекта. Наличие физического изолятора не требуется, если процесс, который служит для прохождения тепла по границе, «медленным» по сравнению с проводящей переносом тепла внутри тела (или внутри интересующей области - «комки» описано выше).

В такой ситуации объект действует как «емкостный» элемент схемы, а сопротивление теплового контакта на границе действует как (одинокий) тепловой резистор. В электрических цепях такая комбинация будет заряжаться или разряжать входное напряжение в соответствии с простым экспоненциальным законом во времени. В тепловой цепи эта конфигурация приводит к тому же поведению в температуре: экспоненциальный подход температуры объекта к температуре ванны.

Математическое утверждение

Закон Ньютона математически указан простым дифференциальным уравнением первого порядка: $${\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)$$ где

• Q - тепловая энергия в джоулях
• H - коэффициент теплопередачи между поверхностью и жидкостью
• A - это площадь поверхности переносимой тепла
• T - температура поверхности и внутренней части объекта (так как они одинаковы в этом приближении)
• T _env - температура окружающей среды
• Δ t ( t ) = t ( t )-t env _- это зависимый от времени тепловой градиент между окружающей средой и объектом

Положение тепла в эту форму иногда не очень хорошее приближение, в зависимости от коэффициентов теплопровода в системе. Если различия не являются большими, точная состава теплопередачи в системе может потребовать анализа теплового потока на основе (переходного) уравнения теплопередачи в неоднородной или плохо проводящей среде.

Решение с точки зрения теплоемности объекта

тепловой резервуар с сосредоточены Если весь организм рассматривается как $C$, и $T$, температура тела, или $Q=CT$Полем Ожидается, что система будет испытывать экспоненциальный распад со временем при температуре тела.

Из определения тепловой емкости $C$ Приходит отношение $C=dQ/dT$Полем Дифференцирование этого уравнения в отношении времени дает идентичность (достоверная до тех пор, пока температура в объекте равномерна в любое время): $dQ/dt=C(dT/dt)$Полем Это выражение может использоваться для замены $dQ/dt$ В первом уравнении, которое начинается этот раздел, выше. Тогда, если $T(t)$ температура такого тела в момент времени $t$, и $T_{\text{env}}$ температура окружающей среды вокруг тела: $${\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\text{env}})=-r\Delta T(t)$$ где $r=hA/C$ является положительной постоянной характеристикой системы, которая должна быть в единицах $s^{-1}$, и поэтому иногда выражается с точки зрения характерной постоянной времени $t_{0}$ дано: $t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)$Полем Таким образом, в тепловых системах, $t_{0}=C/hA$Полем (Общая теплоемкость $C$ системы может быть дополнительно представлена ​​ее массовой теплоемкой способностью $c_{p}$ умножен на массу $m$, чтобы постоянное время $t_{0}$ также дается $mc_{p}/hA$).

Решение этого дифференциального уравнения, стандартными методами интеграции и замены граничных условий, дает: $$T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.$$

Если:

$\Delta T(t)\quad$ определяется как: $T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad$ где $\Delta T(0)\quad$ является начальной разницей температуры в момент времени 0,

тогда ньютоновское решение написано как: $$\Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.$$

Это же решение почти сразу очевидно, если первоначальное дифференциальное уравнение записано в терминах $\Delta T(t)$, как единственная функция, которая должна быть решена для. $${\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)$$

Приложения

Этот способ анализа был применен к криминалистическим наукам для анализа времени смерти людей. Кроме того, он может быть применен к HVAC (отопление, вентиляция и кондиционирование воздуха, которые можно назвать «строительством климат-контроля»), чтобы обеспечить более мгновенное влияние изменения в настройке уровня комфорта.

Механические системы

Упрощенные предположения в этом домене:

• Все объекты являются жесткими телами ;
• Все взаимодействия между твердыми телами происходят через кинематические пар ( суставы ), пружины и амортизаторы .

Акустика

В этом контексте модель с сосредоточенным компонентом расширяет распределенные концепции акустической теории, подверженную приближению. В модели акустической смешной компоненты определенные физические компоненты с акустическими свойствами могут быть аппроксимированы как поведение аналогично стандартным электронным компонентам или простым комбинациям компонентов.

• Жесткая стена, содержащая воздух (или аналогичная сжатая жидкость), может быть аппроксимирована в качестве конденсатора , значение которого пропорционально объему полости. Достоверность этого приближения зависит от самой короткой длины волны, представляющей интерес, значительно (значительно) больше, чем самое длинное измерение полости.
• Рефлекторный порт может быть аппроксимирован как индуктор , значение которого пропорциональна эффективной длине порта, разделенной на его площадь поперечного сечения. Эффективная длина - это фактическая длина плюс конечная коррекция . Это приближение зависит от самых короткой длины волны, представляющей интерес, значительно больше, чем самое длинное измерение порта.
• Определенные типы демпфирующего материала могут быть аппроксимированы как резистор . Значение зависит от свойств и измерений материала. Приближение зависит от того, что длина волн достаточно длинных и на свойствах самого материала.
• Приводной блок громкоговорителя (обычно див для сабвуфера или сабвуфера ) может быть аппроксимирован как последовательное соединение с нулевым импедансом источника напряжения , резистора , конденсатора и индуктора . Значения зависят от спецификаций единицы и интересующей длины волны.

Теплопередача для зданий

Упрощающее предположение в этом домене заключается в том, что все механизмы теплопередачи являются линейными, подразумевая, что радиация и конвекция линеаризируются для каждой проблемы.

Можно найти несколько публикаций, которые описывают, как генерировать смешные модели зданий. В большинстве случаев здание считается одной тепловой зоной, и в этом случае превращение многослойных стен в сосредоточенные элементы может быть одной из самых сложных задач в создании модели. Метод доминирующего слоя-это один простой и достаточно точный метод. В этом методе один из слоев выбирается в качестве доминирующего слоя во всей конструкции, этот слой выбирается с учетом наиболее важных частот проблемы.

Модели зданий с сосредоточенными элементами также использовались для оценки эффективности внутренних энергетических систем путем проведения множества моделирования в различных будущих погодных сценариях.

Жидкие системы

Системы жидкости могут быть описаны с помощью сердечно-сосудистых моделей с сосредоточенными элементами, используя напряжение для представления давления и тока для представления потока; Идентичные уравнения из представления электрической схемы действительны после замены этих двух переменных. Такие приложения могут, например, изучать реакцию сердечно -сосудистой системы человека на имплантацию устройства помощи в желудочке .

Смотрите также

• Системный изоморфизм
• Сокращение заказа моделей

Внешние ссылки

• Усовершенствованные методы моделирования и моделирования для магнитных компонентов
• Imtek Mathematica Дополнение (IMS) , с открытым исходным кодом Imtek Mathematica (IMS) для смешного моделирования