Ширина линии лазера

Ширина лазерной линии — это спектральная ширина линии луча лазерного .

Двумя наиболее отличительными характеристиками лазерного излучения являются пространственная когерентность и спектральная когерентность . В то время как пространственная когерентность связана с расходимостью луча лазера, спектральная когерентность оценивается путем измерения ширины линии лазерного излучения.

Теория

ширины линии

Первым искусственным источником когерентного света был мазер . Аббревиатура MASER расшифровывается как «Усиление микроволнового излучения путем стимулированного излучения». Точнее, именно аммиачный мазер, работающий на длине волны 12,5 мм , был продемонстрирован Гордоном , Зейгером и Таунсом в 1954 году. Год спустя те же авторы вывели теоретически ширину линии их устройства, сделав разумные приближения, которые их аммиачный мазер

1. является настоящим мазером непрерывного действия (CW),
2. является настоящим четырехуровневым мазером , и
3. не имеет собственных потерь в резонаторе, а имеет только потери на выходе.

Примечательно, что их вывод был полностью полуклассическим, описывая молекулы аммиака как квантовые излучатели и предполагая классические электромагнитные поля (но без квантованных полей или квантовых флуктуаций ), что приводит к ширине линии мазера на половине ширины на половине максимума (HWHM).

$\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {M}}={\frac {2\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}},$

обозначено здесь звездочкой и преобразовано в ширину линии полной ширины на половине максимума (FWHM). $\Delta \nu _{\rm {M}}=2\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}$. $k_{\rm {B}}$ — постоянная Больцмана , $T$ это температура , $P_{\rm {out}}$ — выходная мощность , а $\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ и $\Delta \nu _{\rm {c}}=2\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ – это ширина линии на высоте HWHM и FWHM лежащего в основе пассивного микроволнового резонатора соответственно.

В 1958 году, за два года до того, как Майман продемонстрировал лазер (первоначально называвшийся «оптическим мазером»), Шавлов и Таунс перевел ширину линии мазера в оптический режим за счет замены тепловой энергии $k_{\rm {B}}T$ по энергии фотонов $h\nu _{\rm {L}}$, где $h$ Планка постоянная и $\nu _{\rm {L}}$ - частота лазерного света, тем самым аппроксимируя это

${\displaystyle }$ iv. один фотон переходит в режим генерации путем спонтанного излучения во время распада фотона $\tau _{\rm {c}}$,

что приводит к оригинальному приближению Шавлоу – Таунса ширины лазерной линии:

$\Delta \nu _{\rm {L,ST}}^{*}={\frac {4\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {L,ST}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}}.$

Опять же, переход от микроволнового режима к оптическому был полностью полуклассическим. Следовательно, исходное уравнение Шавлоу – Таунса полностью основано на полуклассической физике. и представляет собой четырехкратное приближение более общей ширины линии лазера, которое будет получено в дальнейшем.

фотона

Предположим, что это двухзеркальный резонатор Фабри–Перо. геометрической длины $\ell$, однородно заполненная активной лазерной средой с показателем преломления $n$. Определим эталонную ситуацию, а именно режим пассивного резонатора, для резонатора, активная среда которого прозрачна , т. е. не вносит усиления или поглощения .

Время туда и обратно $t_{\rm {RT}}$ света, движущегося в резонаторе со скоростью $c=c_{0}/n$, где $c_{0}$ - скорость света в вакууме и свободный спектральный диапазон $\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ даны

$t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.$

Свет в моде продольного резонатора интересующей нас колеблется на q- й резонансной частоте.

$\nu _{L}={\frac {q}{t_{\rm {RT}}}}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}.$

экспоненциальной выходной связи затухания Время $\tau _{\rm {out}}$ и соответствующая константа скорости затухания $1/\tau _{\rm {out}}$ связаны с интенсивностью отражения $R_{i}$ из двух зеркал резонатора $i=1,2$ к

$R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.$

Экспоненциальное время внутренних потерь $\tau _{\rm {loss}}$ и соответствующая константа скорости затухания $1/\tau _{\rm {loss}}$ связаны с собственными двусторонними потерями $L_{\rm {RT}}$ к

$1-L_{\rm {RT}}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {(1-L_{\rm {RT}})}}{t_{\rm {RT}}}}.$

Экспоненциальное время распада фотона $\tau _{\text{c}}$ и соответствующая константа скорости затухания $1/\tau _{\rm {c}}$ пассивного резонатора тогда определяются выражением

${\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.$

Все три времени экспоненциального затухания усредняются за время прохождения туда и обратно. $t_{\rm {RT}}.$ В дальнейшем мы предполагаем, что $\ell$, $n$, $R_{1}$, $R_{2}$, и $L_{\rm {RT}}$, следовательно, также $\tau _{\rm {out}}$, $\tau _{\rm {loss}}$, и $\tau _{\rm {c}}$ существенно не изменяются в интересующем диапазоне частот.

Режим пассивного резонатора: лоренцева ширина линии, добротность , время

Помимо времени распада фотона $\tau _{\rm {c}}$, спектрально-когерентные свойства пассивной моды резонатора могут быть эквивалентно выражены следующими параметрами. линии на полувысоте лоренцевой Ширина $\Delta \nu _{\rm {c}}$ Моды пассивного резонатора, которая появляется в уравнении Шавлоу – Таунса, получается из экспоненциального времени распада фотона $\tau _{\rm {c}}$ преобразованием Фурье ,

$\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.$

Q фактор - $Q_{\rm {c}}$ определяется как энергия $W_{\rm {stored}}$ запасается в режиме резонатора более энергии $W_{\rm {lost}}$ теряется за цикл колебаний,

$Q_{\rm {c}}=2\pi {\frac {W_{\rm {stored}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {c}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {c}}}},$

где $\varphi =W_{\rm {stored}}/h\nu _{L}$ — число фотонов в моде. Время согласованности $\tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}$ и длина когерентности $\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}$ света, испускаемого модой, определяются выражением

$\tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {c}}.$

Режим активного резонатора: усиление, время распада фотона, ширина лоренцевой линии, добротность , время и

С плотностью населения $N_{2}$ и $N_{1}$ верхнего и нижнего лазерного уровня соответственно и эффективных сечений $\sigma _{\rm {e}}$ и $\sigma _{\rm {a}}$ вынужденного излучения и поглощения на резонансной частоте $\nu _{L}$соответственно, погонный коэффициент усиления в активной лазерной среде на резонансной частоте $\nu _{L}$ дается

$g=\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1}.$

Значение $g>0$ вызывает усиление, тогда как $g<0$ вызывает поглощение света на резонансной частоте $\nu _{L}$, что приводит к удлинению или сокращению времени распада фотона $\tau _{\rm {L}}$ фотонов из режима активного резонатора соответственно

${\frac {1}{\tau _{\rm {L}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}-cg.$

Остальные четыре спектрально-когерентных свойства режима активного резонатора получаются так же, как и для режима пассивного резонатора. Лоренцева ширина линии получается преобразованием Фурье:

$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {L}}}}.$

Значение $g>0$ приводит к сужению выигрыша, тогда как $g<0$ приводит к абсорбционному уширению ширины спектральной линии. - фактор Q – это

$Q_{\rm {L}}=2\pi {\frac {W_{\rm {stored}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L}}}}.$

Время и длина когерентности

$\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {L}}.$

Коэффициент спектральной когерентности

Фактор, на который время распада фотона удлиняется за счет усиления или сокращается за счет поглощения, введен здесь как коэффициент спектральной когерентности $\Lambda$:

$\Lambda :={\frac {1}{1-cg\tau _{\rm {c}}}}.$

Все пять параметров спектральной когерентности затем масштабируются на один и тот же коэффициент спектральной когерентности. $\Lambda$:

${\begin{aligned}\tau _{\rm {L}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}},&(\Delta \nu _{\rm {L}})^{-1}&=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},&Q_{\rm {L}}&=\Lambda Q_{\rm {c}},&\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},&\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}&=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.\end{aligned}}$

лазерного резонатора: основная ширина

С номером $\varphi$ фотонов, распространяющихся внутри моды лазерного резонатора, скорости вынужденного излучения и распада фотонов равны соответственно

$R_{\rm {st}}=cg\varphi ,$

$R_{\rm {decay}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .$

Тогда коэффициент спектральной когерентности становится

$\Lambda ={\frac {R_{\rm {decay}}}{R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}}.$

Время распада фотона моды лазерного резонатора равно

$\tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}}{R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}}\tau _{\rm {c}}.$

Основная ширина лазерной линии равна

$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$

Эта фундаментальная ширина линии справедлива для лазеров с произвольной системой энергетических уровней, работающих ниже, на или выше порога, с коэффициентом усиления, меньшим, равным или большим по сравнению с потерями, а также в непрерывном или переходном режиме генерации.

Из его вывода становится ясно, что основная ширина лазерной линии обусловлена ​​полуклассическим эффектом, состоящим в том, что усиление удлиняет время распада фотона.

действия: выигрыш меньше

Скорость спонтанного излучения в режим лазерного резонатора определяется выражением

$R_{\rm {sp}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}.$

Примечательно, $R_{\rm {sp}}$ всегда положительна, поскольку в режиме генерации одно атомное возбуждение преобразуется в один фотон. Это источник лазерного излучения, и его нельзя ошибочно интерпретировать как «шум». Уравнение скорости фотонов для одной моды генерации имеет вид

${\frac {d}{dt}}\varphi =R_{\rm {sp}}+R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}+cg\varphi -{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .$

Лазер непрерывного действия определяется постоянным во времени числом фотонов в режиме генерации, следовательно, $d\varphi /dt=0$. В лазере непрерывного действия скорости вынужденного и спонтанного излучения вместе компенсируют скорость распада фотонов. Следовательно,

$R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=-R_{\rm {sp}}<0.$

Скорость вынужденного излучения меньше скорости распада фотона или, в просторечии, «выигрыш меньше потерь». Этот факт был известен на протяжении десятилетий и использовался для количественной оценки порогового поведения полупроводниковых лазеров. Даже намного выше порога лазера выигрыш все равно немного меньше потерь. Именно эта небольшая разница приводит к конечной ширине линии непрерывного лазера.

Из этого вывода становится ясно, что по своей сути лазер является усилителем спонтанного излучения, а ширина линии непрерывного лазера обусловлена ​​полуклассическим эффектом, заключающимся в том, что усиление меньше потерь. Также в квантово-оптических подходах к ширине лазерной линии на основе главного уравнения оператора плотности можно убедиться, что выигрыш меньше потерь.

Приближение Шавлоу – Таунса

Как упоминалось выше, из исторического вывода ясно, что исходное уравнение Шавлоу – Таунса представляет собой четырехкратное приближение базовой ширины лазерной линии. Начиная с основной ширины линии лазера $\Delta \nu _{\rm {L}}$ полученные выше путем применения четырех приближений i.–iv. тогда получается исходное уравнение Шавлоу – Таунса.

1. Это настоящий лазер непрерывного действия, следовательно

   $R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}=R_{\rm {sp}}\Rightarrow$

   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {sp}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$

2. Это настоящий четырехуровневый лазер, следовательно
   $N_{1}=0\Rightarrow cg=c(\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1})=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}=R_{\rm {sp}}\Rightarrow$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {R_{\rm {sp}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
3. Он не имеет собственных потерь в резонаторе, поэтому
   ${\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}=0\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}\Rightarrow P_{\rm {out}}=h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}\varphi =h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi \Rightarrow$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {out}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
4. Один фотон переходит в режим генерации путем спонтанного излучения за время распада фотона. $\tau _{\rm {c}}$, что произошло бы точно в недостижимой точке идеального четырехуровневого непрерывного лазера с бесконечным коэффициентом спектральной когерентности $\Lambda$, число фотонов $\varphi$и выходная мощность $P_{\rm {out}}$, где выигрыш будет равен потерям, следовательно
   $R_{\rm {st}}=R_{\rm {decay}}\Rightarrow R_{\rm {sp}}=cg={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}=2\pi \Delta \nu _{\rm {c}}\Rightarrow$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {out}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}}=\Delta \nu _{\rm {L,ST}}.$

Т.е., применяя те же четыре приближения i.–iv. к основной ширине лазерной линии $\Delta \nu _{\rm {L}}$ которые применялись при первом выводе, получено исходное уравнение Шавлоу–Таунса.

Таким образом, основная ширина лазерной линии равна

$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}=(1-cg\tau _{\rm {c}})\Delta \nu _{\rm {c}}=\Delta \nu _{\rm {c}}-{\frac {cg}{2\pi }},$

тогда как исходное уравнение Шавлоу – Таунса представляет собой четырехкратное приближение этой фундаментальной ширины линии лазера и представляет просто исторический интерес.

Дополнительные эффекты расширения и сужения ширины линии

После публикации в 1958 г. исходное уравнение Шавлоу – Таунса было расширено различными способами. Эти расширенные уравнения часто торгуются под одним и тем же названием «ширина линии Шавлоу – Таунса», тем самым создавая настоящую путаницу в доступной литературе по ширине линии лазера, поскольку часто неясно, какое именно расширение исходного уравнения Шавлоу – Таунса использовали соответствующие авторы. обратитесь к.

Несколько квазиклассических расширений, предназначенных для удаления одного или нескольких приближений i.–iv. упомянутое выше, тем самым делая шаги к полученной выше основной ширине лазерной линии.

Следующие расширения могут увеличить основную ширину линии лазера:

1. Хемпстед и Лакс , а также Хакен , квантово-механически предсказал дополнительное сужение ширины линии в два раза вблизи лазерного порога. Однако экспериментально такой эффект наблюдался лишь в нескольких случаях.
2. Петерманн получил полуклассическим способом ранее экспериментально наблюдаемый эффект расширения линии в полупроводниковых волноводных лазерах с усилением по сравнению с индексным. Позже Зигман показал, что этот эффект обусловлен неортогональностью поперечных мод. Вурдман и его коллеги распространили эту идею на продольные моды. и поляризационные режимы. В результате к ширине лазерной линии иногда добавляется так называемый «К-фактор Петермана».
3. Генри квантово-механически предсказал дополнительное расширение ширины линии из-за изменений показателя преломления, связанных с возбуждением электронно-дырочной пары, которые вызывают фазовые изменения. В результате так называемый «Генрихов $\alpha$-фактор» иногда добавляется к ширине линии лазера.

Измерение

Одним из первых методов измерения когерентности лазера была интерферометрия . Типичным методом измерения ширины лазерной линии является автогетеродинная интерферометрия. Альтернативным подходом является использование спектрометрии .

Лазеры непрерывного действия

Ширина лазерной линии типичного одномодового He –Ne-лазера (на длине волны 632,8 нм) в отсутствие внутрирезонаторной суживающей линии оптики может составлять порядка 1 ГГц. на основе диэлектриков или полупроводников, легированных редкоземельными элементами, Лазеры с распределенной обратной связью имеют типичную ширину линии порядка 1 кГц. Ширина линии лазера стабилизированных маломощных лазеров непрерывного действия может быть очень узкой и достигать менее 1 кГц. Наблюдаемые ширины линий превышают основную ширину лазерной линии из-за технических шумов (временных флуктуаций мощности оптической накачки или тока накачки, механических вибраций, изменений показателя преломления и длины из-за колебаний температуры и т. д.).

Импульсные лазеры

Ширина лазерной линии мощных импульсных лазеров с высоким коэффициентом усиления в отсутствие внутрирезонаторной суживающей оптики может быть довольно широкой, а в случае мощных широкополосных лазеров на красителях она может составлять от нескольких нм. до ширины 10 нм.

Ширина линии лазера мощных импульсных лазерных генераторов с высоким коэффициентом усиления, содержащих сужающую линию оптику, является функцией геометрических и дисперсионных особенностей лазерного резонатора . В первом приближении ширина лазерной линии в оптимизированном резонаторе прямо пропорциональна расходимости луча излучения, умноженной на обратную величину общей внутрирезонаторной дисперсии . То есть,

$\Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\partial \Theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}$

Это известно как уравнение ширины линии полости , где $\Delta \theta$ — расходимость луча , а член в скобках (повышен до −1) — общая внутрирезонаторная дисперсия. Это уравнение первоначально было получено из классической оптики. Однако в 1992 году Дуарте вывел это уравнение на основе принципов квантовой интерферометрии : таким образом связывая квантовое выражение с общей внутрирезонаторной угловой дисперсией.

Оптимизированный лазерный генератор с многопризменной решеткой может обеспечивать импульсное излучение в киловаттном режиме при ширине линии в одной продольной моде $\Delta \nu$ ≈ 350 МГц (эквивалентно $\Delta \lambda$ ≈ 0,0004 нм при длине волны лазера 590 нм). Поскольку длительность импульса от этих генераторов составляет около 3 нс, Ширина линии лазера близка к пределу, допускаемому принципом неопределенности Гейзенберга .

См. также

• Лазер
• Интерферометр Фабри – Перо
• Расходимость луча
• Теория многопризменной дисперсии
• Лазерный генератор с многопризменной решеткой
• Интерферометрическое уравнение с N-щелью
• Ширина линии осциллятора
• Твердотельные лазеры на красителях