Алгоритм собственных значений

В численном анализе важнейших проблем является разработка эффективных и устойчивых алгоритмов нахождения собственных значений матрицы одной из . Эти алгоритмы собственных значений также могут находить собственные векторы.

Собственные значения и собственные векторы

Основные статьи: Собственные значения и собственные векторы и Обобщенный собственный вектор

Учитывая n × n квадратную матрицу A чисел размера действительных или комплексных , собственное значение λ и связанный с ним обобщенный собственный вектор v представляют собой пару, подчиняющуюся соотношению

$\left(A-\lambda I\right)^{k}{\mathbf {v} }=0,$

где v — ненулевой n × 1 вектор-столбец размера , I — размера n × n единичная матрица , k — целое положительное число, а λ и v могут быть комплексными, даже если A действительно. Когда k = 1 , вектор называется просто собственным вектором , а пара называется собственной парой . В этом случае А v = λ v . Любое собственное значение λ оператора A имеет обычное собственные векторы, связанные с ним, поскольку, если k - наименьшее целое число такое, что ( A − λI ) ^к v = 0 для обобщенного собственного вектора v , тогда ( A − λI ) ^{к -1} v — обычный собственный вектор. Значение k всегда можно принять меньшим или равным n . В частности, ( A − λI ) ^н v = 0 для всех обобщенных собственных векторов v, связанных с λ .

Для каждого собственного значения λ оператора A ядро ( ​​ker( A − λI ) состоит из всех собственных векторов, связанных с λ вместе с 0), называемых собственным пространством λ , а векторное пространство ker(( A − λI ) ^н ) состоит из всех обобщенных собственных векторов и называется обобщенным собственным пространством . Геометрическая кратность λ — это размерность его собственного пространства. Алгебраическая кратность λ — это размерность его обобщенного собственного пространства. Последняя терминология оправдана уравнением

$p_{A}\left(z\right)=\det \left(zI-A\right)=\prod _{i=1}^{k}(z-\lambda _{i})^{\alpha _{i}},$

где det — детерминантная функция, λi _— все различные собственные значения A , а αi _— соответствующие алгебраические кратности. Функция p _A ( z ) является полиномом A . характеристическим Таким образом, алгебраическая кратность — это кратность собственного значения как нуля характеристического многочлена. Поскольку любой собственный вектор также является обобщенным собственным вектором, геометрическая кратность меньше или равна алгебраической кратности. Алгебраические кратности суммируются до n , степени характеристического многочлена. Уравнение p _A ( z ) = 0 называется характеристическим уравнением его корни являются в точности собственными значениями A. , так как По теореме Кэли-Гамильтона сам A подчиняется тому же уравнению: p _A ( A ) = 0 . В результате столбцы матрицы ${\textstyle \prod _{i\neq j}(A-\lambda _{i}I)^{\alpha _{i}}}$ должны быть либо 0, либо обобщенными собственными векторами собственного значения λ _j , поскольку они аннулируются $(A-\lambda _{j}I)^{\alpha _{j}}$. Фактически, пространство столбцов является обобщенным собственным пространством λ _j .

Любой набор обобщенных собственных векторов различных собственных значений линейно независим, поэтому базис для всех C ^н можно выбрать состоящим из обобщенных собственных векторов. Более конкретно, этот базис { v _i } ^н
_{i =1} можно выбрать и организовать так, что

• если v _i и v _j имеют одинаковое собственное значение, то и v _k для каждого k между i и j , и
• если v _i не является обычным собственным вектором и если λ _i является его собственным значением, то ( A − λ _i I ) v _i = v _{i −1} (в частности, v ₁ должен быть обычным собственным вектором).

Если эти базисные векторы разместить как векторы-столбцы матрицы V = [ v ₁ v ₂ ⋯ v _n ] , то V можно использовать для преобразования A в его жорданову нормальную форму :

$V^{-1}AV={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\beta _{1}&0&\ldots &0\\0&\lambda _{2}&\beta _{2}&\ldots &0\\0&0&\lambda _{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &\lambda _{n}\end{bmatrix}},$

где λ _i — собственные значения, β _i = 1 , если ( A − λ _{i +1} ) v _{i +1} = v _i, и β _i = 0 в противном случае.

В более общем смысле, если W — любая обратимая матрица, а λ — собственное значение матрицы A с обобщенным собственным вектором v , то ( W ⁻¹ AW − λI ) ^к В ^{- к} v = 0 . Таким образом, λ является собственным значением W ⁻¹ AW с обобщенным собственным вектором W ^{- к} в . То есть подобные матрицы имеют одинаковые собственные значения.

Нормальные, эрмитовы и вещественно

Основные статьи: Сопряженная матрица , Нормальная матрица и Эрмитова матрица.

Присоединенный ​ M ^* комплексной матрицы M является транспонированием сопряженной матрицы M : M ^* = М ^Т . Квадратная матрица A называется нормальной , если она коммутирует со своим сопряженным: A ^* А = АА ^* . Она называется эрмитовой, если она равна сопряженной: A ^* = А. ​Все эрмитовые матрицы нормальны. Если A имеет только вещественные элементы, то сопряженное является просто транспонированием, и A является эрмитовым тогда и только тогда, когда оно симметрично . Применительно к векторам-столбцам сопряженное можно использовать для определения канонического внутреннего произведения на C. ^н : ш ⋅ v = ш ^* v . Нормальные, эрмитовые и вещественно-симметричные матрицы обладают несколькими полезными свойствами:

• Каждый обобщенный собственный вектор нормальной матрицы является обычным собственным вектором.
• Любая нормальная матрица подобна диагональной матрице, поскольку ее жорданова нормальная форма диагональна.
• Собственные векторы различных собственных значений нормальной матрицы ортогональны.
• Нулевое пространство и изображение (или пространство столбцов) нормальной матрицы ортогональны друг другу.
• Для любой нормальной матрицы A , C ^н имеет ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов A . Соответствующая матрица собственных векторов унитарна .
• Собственные значения эрмитовой матрицы вещественны, поскольку ( λ − λ ) v = ( A ^* - А ) v знак равно ( А - А ) v знак равно 0 для ненулевого собственного вектора v .
• Если A вещественно, существует ортонормированный базис для R. ^н состоящее из собственных векторов оператора A тогда и только тогда, когда A симметрично.

Реальная или комплексная матрица может иметь все действительные собственные значения, но не быть эрмитовой. Например, действительная треугольная матрица имеет собственные значения по диагонали, но в целом не является симметричной.

Номер условия

Любую задачу численного расчета можно рассматривать как оценку некоторой функции f для некоторого входного параметра x . Число обусловленности κ ( f , x ) проблемы представляет собой отношение относительной ошибки на выходе функции к относительной ошибке на входе и варьируется как в зависимости от функции, так и на входе. Число обусловленности описывает, как растет ошибка во время расчета. Его логарифм по основанию 10 показывает, на сколько цифр точности меньше, чем во входных данных. Номер условия представляет собой лучший сценарий. Это отражает нестабильность, заложенную в проблему, независимо от того, как она решается. Ни один алгоритм не сможет дать более точные результаты, чем указано в числе условий, за исключением случайного случая. Однако плохо разработанный алгоритм может дать значительно худшие результаты. Например, как будет сказано ниже, задача нахождения собственных значений нормальных матриц всегда хорошо обусловлена. Однако задача нахождения корней многочлена может быть весьма плохо обусловленной . Таким образом, алгоритмы собственных значений, которые работают путем поиска корней характеристического многочлена, могут быть плохо обусловлены, даже если проблема не в этом.

Для задачи решения линейного уравнения A v = b , где A обратимо, матричное число обусловленности κ ( A ⁻¹ , б ) определяется выражением || А || _оп || А ⁻¹ || _оп , где || || _op — операторная норма , подчиненная нормальной евклидовой норме на C ^н . Поскольку это число не зависит от b и одинаково для A и A ⁻¹ , его обычно называют просто числом κ ( A ) матрицы A. обусловленности Это значение κ ( A ) также является абсолютным значением отношения наибольшего собственного значения A к его наименьшему. Если A унитарно то , || А || _оп = || А ⁻¹ || _{оп знак} равно 1 , поэтому κ ( А ) знак равно 1 . Для общих матриц часто бывает сложно вычислить норму оператора. По этой причине другие матричные нормы для оценки числа обусловленности обычно используются .

Что касается проблемы собственных значений, Бауэр и Фике доказали , что если λ является собственным значением для диагонализируемой размера n × n матрицы A с матрицей собственных векторов V , то абсолютная ошибка в вычислении λ ограничена произведением κ ( V ) и абсолютной ошибки в А. ​ В результате число обусловленности для нахождения λ равно κ ( λ , A ) = κ ( V ) = || В || _оп || В ⁻¹ || _оп . Если A нормальный, то V унитарный и κ ( λ , A ) = 1 . Таким образом, проблема собственных значений для всех нормальных матриц является корректной.

Было показано, что число обусловленности задачи поиска собственного пространства нормальной матрицы A, соответствующего собственному значению λ, обратно пропорционально минимальному расстоянию между λ и другими различными собственными значениями A. матрицы В частности, проблема собственных пространств для нормальных матриц хорошо обусловлена ​​для изолированных собственных значений. Когда собственные значения не изолированы, лучшее, на что можно надеяться, — это определить диапазон всех собственных векторов соседних собственных значений.

Алгоритмы

Самым надежным и наиболее широко используемым алгоритмом вычисления собственных значений является Фрэнсиса Джона QR-алгоритм , считающийся одним из десяти лучших алгоритмов 20-го века.

Любой монический многочлен является характеристическим многочленом своей сопутствующей матрицы . Следовательно, общий алгоритм поиска собственных значений можно использовать и для поиска корней многочленов. Теорема Абеля-Руффини показывает, что любой такой алгоритм для размерностей больше 4 должен быть либо бесконечным, либо включать в себя функции большей сложности, чем элементарные арифметические операции и дробные степени. По этой причине алгоритмы, которые точно вычисляют собственные значения за конечное число шагов, существуют только для нескольких специальных классов матриц. Для общих матриц алгоритмы являются итеративными , создавая более качественные приближенные решения на каждой итерации.

Некоторые алгоритмы выдают каждое собственное значение, другие — несколько или только одно. Однако даже последние алгоритмы можно использовать для нахождения всех собственных значений. После того, как собственное значение λ матрицы A было идентифицировано, его можно использовать, чтобы либо направить алгоритм к другому решению в следующий раз, либо свести проблему к такой, которая больше не имеет λ в качестве решения.

Перенаправление обычно осуществляется сдвигом: замена A на A − µI для некоторой константы µ . К собственному значению, найденному для A − µI, необходимо снова добавить µ , чтобы получить собственное значение для A . Например, для степенной итерации µ = λ . Итерация мощности находит наибольшее собственное значение по абсолютной величине, поэтому даже если λ является лишь приблизительным собственным значением, итерация мощности вряд ли найдет его во второй раз. И наоборот, методы, основанные на обратных итерациях, находят наименьшее собственное значение, поэтому μ выбирается далеко от λ и, возможно, ближе к какому-то другому собственному значению.

Сокращение может быть достигнуто путем ограничения A пространством столбцов матрицы A − λI , которое A переносит в себя. Поскольку A - λI сингулярно, пространство столбцов имеет меньшую размерность. Затем алгоритм собственных значений можно применить к ограниченной матрице. Этот процесс можно повторять до тех пор, пока не будут найдены все собственные значения.

Если алгоритм собственных значений не создает собственные векторы, обычной практикой является использование алгоритма, основанного на обратной итерации, где µ установлен в близкое приближение к собственному значению. Это быстро сходится к собственному вектору ближайшего к μ собственного значения . Для маленьких матриц альтернативой является просмотр пространства столбцов произведения A − λ ' I для каждого из других собственных значений λ ' .

Формула для нормы компонент единичного собственного вектора нормальных матриц была открыта Робертом Томпсоном в 1966 году и переоткрыта независимо несколькими другими. Если А является ${\textstyle n\times n}$ нормальная матрица с собственными значениями λ _i ( A ) и соответствующими единичными собственными векторами vi _, чьими компонентами являются vi _,j , пусть A _j будет ${\textstyle n-1\times n-1}$ полученная удалением i -й строки и столбца из ) — ее _{матрица ,} k - _{A, и пусть λk(Aj} е собственное значение . Затем

$$|v_{i,j}|^{2}\prod _{k=1,k\neq i}^{n}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))=\prod _{k=1}^{n-1}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{j}))$$

Если $p,p_{j}$ являются характеристическими полиномами $A$ и $A_{j}$, формулу можно переписать как

$$|v_{i,j}|^{2}={\frac {p_{j}(\lambda _{i}(A))}{p'(\lambda _{i}(A))}}$$

предполагая производную $p'$ не равен нулю в $\lambda _{i}(A)$.

и

Основная статья: матрица Хессенберга

Поскольку собственные значения треугольной матрицы являются ее диагональными элементами, для общих матриц не существует конечного метода, такого как исключение Гаусса, для преобразования матрицы в треугольную форму с сохранением собственных значений. Но можно достичь чего-то близкого к треугольному. Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, для которой все элементы ниже субдиагонали равны нулю. Нижняя матрица Хессенберга — это матрица, у которой все элементы выше супердиагонали равны нулю. Матрицы, которые одновременно являются верхним и нижним Хессенбергом, являются трехдиагональными . Хессенберга и трехдиагональные матрицы являются отправной точкой для многих алгоритмов собственных значений, поскольку нулевые элементы уменьшают сложность проблемы. Для преобразования общей матрицы в матрицу Хессенберга с теми же собственными значениями обычно используются несколько методов. Если исходная матрица была симметричной или эрмитовой, то результирующая матрица будет трехдиагональной.

Когда нужны только собственные значения, нет необходимости вычислять матрицу подобия, поскольку преобразованная матрица имеет те же собственные значения. Если также необходимы собственные векторы, может потребоваться матрица подобия для преобразования собственных векторов матрицы Хессенберга обратно в собственные векторы исходной матрицы.

Метод	Применяется к	Производит	Стоимость без матрицы сходства	Стоимость с матрицей сходства	Описание
Преобразования домохозяев	Общий	Хессенберг	22н 3 ⁄ 3 + О ( п 2 )	4 н 3 ⁄ 3 + О ( п 2 )	Отразите каждый столбец через подпространство, чтобы обнулить его нижние записи.
Ротации Гивенса	Общий	Хессенберг	4 н 3 ⁄ 3 + О ( п 2 )		Примените плоские вращения, чтобы обнулить отдельные записи. Ротации упорядочены таким образом, чтобы более поздние не приводили к тому, что нулевые записи снова стали ненулевыми.
Итерация Арнольди	Общий	Хессенберг			Perform Gram–Schmidt orthogonalization on Krylov subspaces.
Алгоритм Ланцоша	эрмитовский	Трехдиагональный			Итерация Арнольди для эрмитовых матриц с ярлыками.

Для симметричных трехдиагональных задач на собственные значения все собственные значения (без собственных векторов) можно вычислить численно за время O (n log (n)), используя деление пополам характеристического полинома.

Итеративные алгоритмы

Итерационные алгоритмы решают проблему собственных значений, создавая последовательности, сходящиеся к собственным значениям. Некоторые алгоритмы также создают последовательности векторов, сходящихся к собственным векторам. Чаще всего последовательности собственных значений выражаются как последовательности подобных матриц, которые сходятся к треугольной или диагональной форме, что позволяет легко читать собственные значения. Последовательности собственных векторов выражаются в виде соответствующих матриц сходства.

Метод	Применяется к	Производит	Стоимость за шаг	Конвергенция	Описание
Алгоритм Ланцоша	эрмитовский	m крупнейших/наименьших собственных пар
Итерация мощности	общий	собственная пара с наибольшим значением	На ​ ​ 2 )	линейный	Неоднократно применяет матрицу к произвольному начальному вектору и перенормирует.
Обратная итерация	общий	собственная пара со значением, наиболее близким к μ		линейный	Итерация мощности для ( A − µI ) −1
Итерация фактора Рэлея	эрмитовский	любая собственная пара		кубический	Итерация мощности для ( A − µ i I ) −1 , где µ i для каждой итерации — это коэффициент Рэлея предыдущей итерации.
Предварительно обусловленная обратная итерация или алгоритм LOBPCG	положительно определенный действительный симметричный	собственная пара со значением, наиболее близким к μ			Обратная итерация с использованием предобуславливателя (приблизительно обратного A ).
Метод бисекции	настоящий симметричный трехдиагональный	любое собственное значение		линейный	Использует метод деления пополам для поиска корней характеристического многочлена, поддерживаемого последовательностью Штурма.
Итерация Лагерра	настоящий симметричный трехдиагональный	любое собственное значение		кубический	Использует метод Лагерра для поиска корней характеристического многочлена, поддерживаемого последовательностью Штурма.
QR-алгоритм	Хессенберг	все собственные значения	На ​ ​ 2 )	кубический	Факторы A = QR , где Q ортогонален, а R треугольен, затем применяют следующую итерацию к RQ .
		все свои пары	6 н 3 + О ( н 2 )
Алгоритм собственных значений Якоби	настоящий симметричный	все собственные значения	На ​ ​ 3 )	квадратичный	Использует ротацию Гивенса, чтобы попытаться удалить все недиагональные записи. Это не удается, но усиливает диагональ.
Разделяй и властвуй	Эрмитов трехдиагональный	все собственные значения	На ​ ​ 2 )		Делит матрицу на подматрицы, которые диагонализуются, а затем рекомбинируются.
		все свои пары	( 4 ⁄ 3 ) н 3 + О ( н 2 )
Гомотопический метод	настоящий симметричный трехдиагональный	все свои пары	На ​ ​ 2 )		Строит вычислимый гомотопический путь из диагональной проблемы собственных значений.
Метод свернутого спектра	настоящий симметричный	собственная пара со значением, наиболее близким к μ			Предварительно обусловленная обратная итерация, примененная к ( A − µI ) 2
Алгоритм МРРР	настоящий симметричный трехдиагональный	некоторые или все собственные пары	На ​ ​ 2 )		«Несколько относительно надежных представлений» — выполняет обратную итерацию на LDL. Т разложение сдвинутой матрицы.
Итерация грамма	общий	Собственная пара с наибольшим собственным значением		суперлинейный	Неоднократно вычисляет произведение Грама и детерминировано масштабирует его.

Прямой расчет

Хотя не существует простого алгоритма для прямого вычисления собственных значений для общих матриц, существует множество специальных классов матриц, в которых собственные значения могут быть вычислены напрямую. К ним относятся:

Треугольные матрицы

Поскольку определитель треугольной матрицы является произведением ее диагональных элементов, если T треугольная, то ${\textstyle \det(\lambda I-T)=\prod _{i}(\lambda -T_{ii})}$. Таким образом, собственные значения T являются его диагональными элементами.

уравнения

Если p — любой полином и p ( A ) = 0, то собственные значения A также удовлетворяют тому же уравнению. Если p имеет известную факторизацию, то собственные значения A лежат среди его корней.

Например, проекция — это квадратная матрица P, удовлетворяющая P ² = П. ​Корни соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ ² = λ равны 0 и 1. Таким образом, любая проекция имеет собственные значения 0 и 1. Кратность 0 как собственного значения — это P , а кратность 1 — это ранг P. нуль

Другой пример — матрица A, удовлетворяющая условию A ² = а ² Я для некоторого скаляра α . Собственные значения должны быть ± α . Операторы проектирования

$P_{+}={\frac {1}{2}}\left(I+{\frac {A}{\alpha }}\right)$

$P_{-}={\frac {1}{2}}\left(I-{\frac {A}{\alpha }}\right)$

удовлетворить

$AP_{+}=\alpha P_{+}\quad AP_{-}=-\alpha P_{-}$

и

$P_{+}P_{+}=P_{+}\quad P_{-}P_{-}=P_{-}\quad P_{+}P_{-}=P_{-}P_{+}=0.$

Пространства столбцов соответствующими P ₊ и P ₋ являются собственными пространствами A, + α и − α соответственно .

Матрицы 2×2

Для размерностей со 2 по 4 существуют формулы, включающие радикалы, которые можно использовать для поиска собственных значений. Хотя это обычная практика для матриц 2×2 и 3×3, для матриц 4×4 возрастающая сложность корневых формул делает этот подход менее привлекательным.

Для матрицы 2×2

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},$

характеристический полином

$\det {\begin{bmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{bmatrix}}=\lambda ^{2}\,-\,\left(a+d\right)\lambda \,+\,\left(ad-bc\right)=\lambda ^{2}\,-\,\lambda \,{\rm {tr}}(A)\,+\,\det(A).$

Таким образом, собственные значения можно найти по квадратичной формуле :

$\lambda ={\frac {{\rm {tr}}(A)\pm {\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4\det(A)}}}{2}}.$

Определение ${\textstyle {\rm {gap}}\left(A\right)={\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4\det(A)}}}$ чтобы быть расстоянием между двумя собственными значениями, легко вычислить

${\frac {\partial \lambda }{\partial a}}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {a-d}{{\rm {gap}}(A)}}\right),\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {\pm c}{{\rm {gap}}(A)}}$

с аналогичными формулами для c и d . Отсюда следует, что расчет является корректным, если собственные значения изолированы.

Собственные векторы можно найти, используя теорему Кэли-Гамильтона . Если λ ₁ , λ ₂ являются собственными значениями, то ( A − λ ₁ I )( A − λ ₂ I ) = ( A − λ ₂ I )( A − λ ₁ I ) = 0 , поэтому столбцы ( A − λ ₂ I ) аннулируются ( A − λ ₁ I ) и наоборот. Предполагая, что ни одна из матриц не равна нулю, столбцы каждой из них должны включать собственные векторы для другого собственного значения. (Если любая матрица равна нулю, то A кратно единице, и любой ненулевой вектор является собственным вектором.)

Например, предположим

$A={\begin{bmatrix}4&3\\-2&-3\end{bmatrix}},$

тогда tr( A ) = 4 − 3 = 1 и det( A ) = 4(−3) − 3(−2) = −6 , поэтому характеристическое уравнение имеет вид

$0=\lambda ^{2}-\lambda -6=(\lambda -3)(\lambda +2),$

а собственные значения равны 3 и -2. Сейчас,

$A-3I={\begin{bmatrix}1&3\\-2&-6\end{bmatrix}},\qquad A+2I={\begin{bmatrix}6&3\\-2&-1\end{bmatrix}}.$

В обеих матрицах столбцы кратны друг другу, поэтому можно использовать любой столбец. Таким образом, (1, -2) можно взять как собственный вектор, связанный с собственным значением -2, а (3, -1) как собственный вектор, связанный с собственным значением 3, что можно проверить, умножив их на A .

Симметричные матрицы 3×3

Характеристическое уравнение симметричной матрицы A размера 3×3:

$\det \left(\alpha I-A\right)=\alpha ^{3}-\alpha ^{2}{\rm {tr}}(A)-\alpha {\frac {1}{2}}\left({\rm {tr}}(A^{2})-{\rm {tr}}^{2}(A)\right)-\det(A)=0.$

Это уравнение можно решить, используя методы Кардано или Лагранжа , но аффинное изменение A значительно упростит выражение и приведет непосредственно к тригонометрическому решению . Если A = pB + qI , то A и B имеют одинаковые собственные векторы, а является собственным значением B тогда и только тогда, когда α = pβ + q является собственным значением A. β Сдача в аренду ${\textstyle q={\rm {tr}}(A)/3}$ и ${\textstyle p=\left({\rm {tr}}\left((A-qI)^{2}\right)/6\right)^{1/2}}$, дает

$\det \left(\beta I-B\right)=\beta ^{3}-3\beta -\det(B)=0.$

Замена β = 2cos θ и некоторое упрощение с использованием тождества cos 3 θ = 4cos ³ θ − 3cos θ сводит уравнение к cos 3 θ = det( B ) / 2 . Таким образом

$\beta =2{\cos }\left({\frac {1}{3}}{\arccos }\left(\det(B)/2\right)+{\frac {2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2.$

Если det( B ) является комплексным или по абсолютной величине больше 2, арккосинус следует брать по одной и той же ветви для всех трех значений k . Эта проблема не возникает, когда A вещественно и симметрично, что приводит к простому алгоритму:

% Given a real symmetric 3x3 matrix A, compute the eigenvalues
% Note that acos and cos operate on angles in radians

p1 = A(1,2)^2 + A(1,3)^2 + A(2,3)^2
if (p1 == 0) 
   % A is diagonal.
   eig1 = A(1,1)
   eig2 = A(2,2)
   eig3 = A(3,3)
else
   q = trace(A)/3               % trace(A) is the sum of all diagonal values
   p2 = (A(1,1) - q)^2 + (A(2,2) - q)^2 + (A(3,3) - q)^2 + 2 * p1
   p = sqrt(p2 / 6)
   B = (1 / p) * (A - q * I)    % I is the identity matrix
   r = det(B) / 2

   % In exact arithmetic for a symmetric matrix  -1 <= r <= 1
   % but computation error can leave it slightly outside this range.
   if (r <= -1) 
      phi = pi / 3
   elseif (r >= 1)
      phi = 0
   else
      phi = acos(r) / 3
   end

   % the eigenvalues satisfy eig3 <= eig2 <= eig1
   eig1 = q + 2 * p * cos(phi)
   eig3 = q + 2 * p * cos(phi + (2*pi/3))
   eig2 = 3 * q - eig1 - eig3     % since trace(A) = eig1 + eig2 + eig3
end

И снова собственные векторы A можно получить, обратившись к теореме Кэли-Гамильтона . Если α ₁ , α ₂ , α ₃ являются различными собственными значениями A , то ( A − α ₁ I )( A − α ₂ I )( A − α ₃ I ) = 0 . Таким образом, столбцы произведения любых двух из этих матриц будут содержать собственный вектор для третьего собственного значения. Однако если α ₃ = α ₁ , то ( A − α ₁ I ) ² ( А - α ₂ я ) знак равно 0 и ( А - α ₂ я )( А - α ₁ я ) ² = 0 . Таким образом, обобщенное собственное пространство α ₁ натянуто на столбцы A − α ₂ I, тогда как обычное собственное пространство натянуто на столбцы ( A − α ₁ I )( A − α ₂ I ) . Обычное собственное пространство α ₂ натянуто на столбцы ( A − α ₁ I ) ² .

Например, пусть

$A={\begin{bmatrix}3&2&6\\2&2&5\\-2&-1&-4\end{bmatrix}}.$

Характеристическое уравнение:

$0=\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-\lambda +1=(\lambda -1)^{2}(\lambda +1),$

с собственными значениями 1 (кратности 2) и -1. Расчет,

$A-I={\begin{bmatrix}2&2&6\\2&1&5\\-2&-1&-5\end{bmatrix}},\qquad A+I={\begin{bmatrix}4&2&6\\2&3&5\\-2&-1&-3\end{bmatrix}}$

и

$(A-I)^{2}={\begin{bmatrix}-4&0&-8\\-4&0&-8\\4&0&8\end{bmatrix}},\qquad (A-I)(A+I)={\begin{bmatrix}0&4&4\\0&2&2\\0&-2&-2\end{bmatrix}}$

Таким образом, (−4, −4, 4) является собственным вектором для −1, а (4, 2, −2) является собственным вектором для 1. (2, 3, −1) и (6, 5, −3) являются оба обобщенных собственных вектора связаны с 1, любой из которых может быть объединен с (-4, -4, 4) и (4, 2, -2), чтобы сформировать основу обобщенных собственных векторов A . Найдя собственные векторы, при необходимости их можно нормализовать.

Собственные векторы нормальных матриц 3×3

Если матрица 3×3 $A$ нормально, то векторное произведение можно использовать для нахождения собственных векторов. Если $\lambda$ является собственным значением $A$, то нулевое пространство $A-\lambda I$ перпендикулярен пространству столбцов. Перекрестное произведение двух независимых столбцов $A-\lambda I$ будет в нулевом пространстве. То есть это будет собственный вектор, связанный с $\lambda$. Поскольку в этом случае пространство столбцов является двумерным, собственное пространство должно быть одномерным, поэтому любой другой собственный вектор будет параллелен ему.

Если $A-\lambda I$ не содержит двух независимых столбцов, но не равен 0 , векторное произведение все равно можно использовать. В этом случае $\lambda$ является собственным значением кратности 2, поэтому любой вектор, перпендикулярный пространству столбцов, будет собственным вектором. Предполагать $\mathbf {v}$ представляет собой ненулевой столбец $A-\lambda I$. Выберите произвольный вектор $\mathbf {u}$ не параллельно $\mathbf {v}$. Затем $\mathbf {v} \times \mathbf {u}$ и $(\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\times \mathbf {v}$ будет перпендикулярно $\mathbf {v}$ и, таким образом, будут собственными векторами $\lambda$.

Это не работает, когда $A$ не является нормальным, поскольку для таких матриц нулевое пространство и пространство столбцов не обязательно должны быть перпендикулярны.

См. также

• Список алгоритмов собственных значений

Дальнейшее чтение

• Боянчик, Адам В.; Адам Лутоборски (январь 1991 г.). «Вычисление углов Эйлера симметричной матрицы 3X3» . Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 12 (1): 41–48. дои : 10.1137/0612005 .