Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сегала

В функциональном анализе , дисциплине в математике , при наличии C*-алгебры A конструкция Гельфанда -Наймарка-Сигала устанавливает соответствие между циклическими *-представлениями A и некоторыми линейными функционалами на A (называемыми состояниями ). Соответствие показывается явным построением *-представления из состояния. Он назван в честь Израиля Гельфанда , Марка Наймарка и Ирвинга Сигала .

Государства и представительства

C *-представление * -алгебры A в гильбертовом пространстве H — это отображение π из A в алгебру ограниченных операторов на H таких, что

π — кольцевой гомоморфизм , переводящий инволюцию на A в инволюцию на операторах
π невырождено , то есть пространство векторов π( x ) ξ плотно, поскольку проходит через A , а ξ проходит через H. x Обратите внимание: если A имеет тождество, невырожденность означает, что π сохраняет единицу, т. е. π отображает тождество A в тождественный оператор на H .

Состоянием имеет мультипликативный единичный элемент , C*-алгебры A является положительный линейный функционал f нормы 1. Если A это условие эквивалентно f (1) = 1.

Для представления π C*-алгебры A в гильбертовом пространстве H элемент ξ называется циклическим вектором , если множество векторов

\{\pi (x)\xi :x\in A\}

плотно по норме в H , и в этом случае π называется циклическим представлением . Любой ненулевой вектор неприводимого представления является циклическим. Однако ненулевые векторы в общем циклическом представлении могут не быть циклическими.

Строительство ГНС

Пусть π — *-представление C*-алгебры A в гильбертовом пространстве H и ξ — циклический вектор единичной нормы для π. Затем $a\mapsto \langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$ состояние А. это

И наоборот, каждое состояние A можно рассматривать как векторное состояние , как указано выше, при подходящем каноническом представлении.

Теорема. ^[1] — Для данного состояния ρ A существует *-представление π A, действующее в гильбертовом пространстве H с выделенным единичным циклическим вектором ξ такое, что $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$ для каждого a в A .

Доказательство

Построение гильбертова пространства H
Определим на A полуопределенную полуопределенную форму. $\langle a,b\rangle =\rho (b^{*}a),\;a,b\in A.$
По неравенству Коши-Шварца вырожденные элементы a в A , удовлетворяющие ρ( a* a )= 0, образуют векторное подпространство I в A . рассуждений можно показать, что I — левый идеал A С помощью C* -алгебраических (известный как левое ядро ρ). Фактически, это самый большой левый идеал в нулевом пространстве ρ. Фактор пространство - A по векторному подпространству I представляет собой пространство внутреннего продукта, внутренний продукт которого определяется выражением $\langle a+I,b+I\rangle :=\rho (b^{*}a),\;a,b\in A$ . Пополнение Коши в норме , A / I индуцированной этим скалярным произведением, является гильбертовым пространством, которое мы обозначаем H .
Построение представления π
Определим действие π группы A на A / I формулой π( a )( b + I ) = ab + I группы A на A / I . Тот же аргумент, показывающий, что I является левым идеалом, также подразумевает, что π( a ) является ограниченным оператором на A / I и, следовательно, может быть однозначно продолжен до пополнения. Если раскрыть определение сопряженного оператора в гильбертовом пространстве, то π окажется *-сохраняющим. Это доказывает существование *-представления π.
Определение циклического вектора единичной нормы ξ
Если A имеет мультипликативное тождество 1, то сразу становится ясно, что класс эквивалентности ξ в гильбертовом пространстве GNS H, содержащий 1, является циклическим вектором для приведенного выше представления. Если A неединичен, возьмем приближенное тождество { e _λ } для A . Поскольку положительные линейные функционалы ограничены, классы эквивалентности сети { e _λ } сходятся к некоторому вектору ξ в H , который является циклическим вектором для π.
GNS ясно Из определения скалярного произведения в гильбертовом пространстве H , что состояние ρ можно восстановить как векторное состояние на H . Это доказывает теорему.

Метод, использованный для создания *-представления из состояния A в доказательстве приведенной выше теоремы, называется конструкцией GNS .Для состояния C*-алгебры A соответствующее представление GNS существенно однозначно определяется условием $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle$ как видно из приведенной ниже теоремы.

Теорема. ^[2] — Для данного состояния ρ A , пусть π, π' являются *-представлениями A в гильбертовых пространствах H , H ′ соответственно, каждое с циклическими векторами единичной нормы ξ ∈ H , ξ' ∈ H ′ такими, что $\rho (a)=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle =\langle \pi '(a)\xi ',\xi '\rangle$ для всех $a\in A$ . Тогда π, π' являются унитарно эквивалентными *-представлениями, т. е. существует унитарный оператор U из H в H ′ такой, что π'( a ) = Uπ( a )U* для всех a из A . Оператор U , реализующий унитарную эквивалентность, отображает π( ) ξ в π'( a )ξ' для всех a из A. a

Значение строительства ГНС

Конструкция GNS лежит в основе доказательства теоремы Гельфанда–Наймарка, характеризующей C*-алгебры как алгебры операторов. AC*-алгебра имеет достаточно много чистых состояний (см. ниже), так что прямая сумма соответствующих неприводимых представлений GNS является точной .

Прямая сумма соответствующих GNS-представлений всех состояний называется представлением A . универсальным Универсальное представление A содержит все циклические представления. Поскольку каждое *-представление является прямой суммой циклических представлений, отсюда следует, что каждое *-представление A является прямым слагаемым некоторой суммы копий универсального представления.

Если Ф — универсальное представление С*-алгебры А , то замыкание Ф( ) в слабой операторной топологии называется обертывающей алгеброй фон А. А Неймана Его можно отождествить с двойным двойным А** .

неприводимость

Важное значение имеет также связь между неприводимыми *-представлениями и крайними точками выпуклого множества состояний. Представление π в H не существует замкнутых подпространств неприводимо тогда и только тогда, когда в H , инвариантных относительно всех операторов π( x ), кроме самого H и тривиального подпространства {0}.

Теорема . Множество состояний С*-алгебры А с единичным элементом является компактным выпуклым множеством в слабой топологии. В общем случае (независимо от того, имеет ли A единичный элемент или нет) множество положительных функционалов нормы ≤ 1 представляет собой выпуклое компактное множество.

Оба эти результата непосредственно следуют из теоремы Банаха–Алаоглу .

В единичном коммутативном случае для C*-алгебры C ( X ) непрерывных функций на некотором компакте X теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани утверждает, что положительные функционалы нормы ≤ 1 являются в точности борелевскими положительными мерами на X с тоталом следует масса ≤ 1. Из теоремы Крейна–Милмана , что экстремальные состояния являются мерами точечных масс Дирака.

С другой стороны, представление C ( X ) неприводимо тогда и только тогда, когда оно одномерно. Следовательно, GNS-представление C ( X ), соответствующее мере µ, неприводимо тогда и только тогда, когда µ является экстремальным состоянием. Фактически это верно для C*-алгебр в целом.

Теорема . Пусть A — C*-алгебра. Если π — *-представление A в гильбертовом пространстве H с циклическим вектором единичной нормы ξ, то π неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующее состояние f является крайней точкой выпуклого множества положительных линейных функционалов на A нормы ≤ 1.

Чтобы доказать этот результат, сначала заметим, что представление неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π ( A ), обозначаемый π( A )', состоит из скалярных кратных единицы.

Любые положительные линейные функционалы g на A, мажорируемые f, имеют вид $g(x^{*}x)=\langle \pi (x)\xi ,\pi (x)T_{g}\,\xi \rangle$ для некоторого положительного оператора T _g в π( A )' с 0 ⩽ T ⩽ 1 в порядке оператора. Это вариант теоремы Радона–Никодима .

Для такого g можно записать f как сумму положительных линейных функционалов: f = g + g' . Таким образом, π унитарно эквивалентно подпредставлению π _g ⊕ π _g' . Это показывает, что π неприводимо тогда и только тогда, когда любой такой π _g унитарно эквивалентен π, т. е. g является скалярным кратным f , что доказывает теорему.

Экстремальные состояния обычно называют чистыми состояниями . Обратите внимание, что состояние является чистым состоянием тогда и только тогда, когда оно экстремально в выпуклом множестве состояний.

Приведенные выше теоремы для C*-алгебр в более общем смысле справедливы в контексте B*-алгебр с аппроксимативным тождеством.

Обобщения

Теорема Стайнспринга о факторизации, характеризующая полностью положительные отображения, является важным обобщением конструкции GNS.

История

Статья Гельфанда и Наймарка по теореме Гельфанда – Наймарка была опубликована в 1943 году. ^[3] Сигал осознал заложенную в этой работе конструкцию и представил ее в более четкой форме. ^[4]

В своей статье 1947 г. Сигал показал, что для любой физической системы, которая может быть описана алгеброй операторов в гильбертовом пространстве, достаточно рассмотреть неприводимые представления С*-алгебры. В квантовой теории это означает, что C*-алгебра порождается наблюдаемыми. Это, как указал Сигал, было показано ранее Джоном фон Нейманом только для частного случая нерелятивистской теории Шредингера-Гейзенберга. ^[5]

См. также

Ссылки

Уильям Арвесон , Приглашение к C*-алгебре , Springer-Verlag, 1981 г.
Кадисон, Ричард , Основы теории операторных алгебр , Vol. Я: Элементарная теория , Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191 .
Жак Диксмье , C*-алгебры и их представления , Готье-Виллар, 1969.
Английский перевод: Диксмье, Жак (1982). С*-алгебры . Северная Голландия. ISBN 0-444-86391-5 .
Томас Тиммерманн, Приглашение к квантовым группам и двойственности: от алгебр Хопфа к мультипликативным унитариям и не только , Европейское математическое общество, 2008, ISBN 978-3-03719-043-2 – Приложение 12.1, раздел: Построение ГНС (с. 371)
Стефан Вальдманн: О теории представлений квантования деформации , В: Квантование деформации: материалы встречи физиков-теоретиков и математиков, Страсбург, 31 мая – 2 июня 2001 г. (Исследования по генеративной грамматике) , Грюйтер, 2002 г., ISBN 978-3-11-017247-8 , с. 107–134 – раздел 4. Конструкция ГНС (с. 113)
Г. Джачетта, Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили (2005). Геометрические и алгебро-топологические методы в квантовой механике . Всемирная научная. ISBN 981-256-129-3 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Шойчиро Сакаи , C*-алгебры и W*-алгебры , Springer-Verlag 1971. ISBN 3-540-63633-1

Встроенные ссылки

^ Кадисон, Р.В. , Теорема 4.5.2, Основы теории операторных алгебр, Vol. Я: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191
^ Кадисон, Р.В. , Предложение 4.5.3, Основы теории операторных алгебр, Vol. Я: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191
^ И. М. Гельфанд , М. А. Наймарк (1943). «О вложении нормированных колец в кольцо операторов гильбертова пространства» . Математический сборник . 12 (2): 197–217. (также Google Книги , см. стр. 3–20)
^ Ричард В. Кадисон : Заметки о теореме Гельфанда – Неймарка . В: Роберт К. Доран (редактор): C *-Алгебры: 1943–1993. Празднование пятидесятилетия , специальная сессия AMS, посвященная первым пятидесятилетию теории C *-алгебры, 13–14 января 1993 г., Сан-Антонио, Техас, Американское математическое общество, стр. 21–54, ISBN 0-8218-5175-6 ( доступен в Google Книгах , см. стр. 21 и далее).
^ И. Е. Сигал (1947). «Неприводимые представления операторных алгебр» (PDF) . Бык. Являюсь. Математика. Соц . 53 (2): 73–88. дои : 10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .

[1] Кадисон, Р.В. , Теорема 4.5.2, Основы теории операторных алгебр, Vol. Я: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191

[2] Кадисон, Р.В. , Предложение 4.5.3, Основы теории операторных алгебр, Vol. Я: Элементарная теория, Американское математическое общество. ISBN 978-0821808191

[3] И. М. Гельфанд , М. А. Наймарк (1943). «О вложении нормированных колец в кольцо операторов гильбертова пространства» . Математический сборник . 12 (2): 197–217. (также Google Книги , см. стр. 3–20)

[4] Ричард В. Кадисон : Заметки о теореме Гельфанда – Неймарка . В: Роберт К. Доран (редактор): C *-Алгебры: 1943–1993. Празднование пятидесятилетия , специальная сессия AMS, посвященная первым пятидесятилетию теории C *-алгебры, 13–14 января 1993 г., Сан-Антонио, Техас, Американское математическое общество, стр. 21–54, ISBN 0-8218-5175-6 ( доступен в Google Книгах , см. стр. 21 и далее).

[5] И. Е. Сигал (1947). «Неприводимые представления операторных алгебр» (PDF) . Бык. Являюсь. Математика. Соц . 53 (2): 73–88. дои : 10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]