C*-Algebra

В математике, особенно в анализе , функциональном ^∗-алгебра (произносится «c-star»)-это банаховая алгебра вместе с инволюцией , удовлетворяющей свойствам привязанности . Определенный случай - это сложная алгебра А непрерывных линейных операторов на сложном пространстве Гилберта с двумя дополнительными свойствами:

А является топологически закрытым набором в топологии нормы операторов.
А закрывается под действием примыкания операторов .

Еще один важный класс не-хильберта C*-Algebras включает в себя алгебру $C_{0}(X)$ сложных непрерывных функций на x , которые исчезают в бесконечности, где x является местным компактным пространством хаусдорфа .

C*-Algebras сначала рассматривались в первую очередь для их использования в квантовой механике для моделирования алгебр физических наблюдаемых . Эта линия исследований началась с Вернера Хейзенберга и матричной механики в более математически разработанной форме с Паскуалом Джорданом Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру для этих алгебр около 1933 года . операторы. Эти документы считались специальным классом C*-Algebras, которые в настоящее время известны как алгебра фон Нейманн .

Около 1943 года работа Израиля Гельфанда и Марка Наймарка дала абстрактную характеристику C*-Algebras, не ссылаясь на операторов на пространстве Гилберта.

C*-Algebras в настоящее время являются важным инструментом в теории унитарных представлений местных компактных групп , а также используются в алгебраических составах квантовой механики. Другая активная область исследований-это программа для получения классификации или определения степени, в которой возможна классификация, для разделяемого простых ядерных C*-альгебр .

Абстрактная характеристика

Мы начинаем с абстрактной характеристики C*-Algebras, данной в статье 1943 года Гельфандом и Наймарком.

Ac*-algebra, a , является банашской алгеброй над полем сложных чисел вместе с картой ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$ для ${\textstyle x\in A}$ со следующими свойствами:

Это инволюция каждого x в : , для

x^{**}=(x^{*})^{*}=x

всех x , y в : Для

(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

Для каждого комплексного числа $\lambda \in \mathbb {C}$ каждый x в : И

(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.

всех x в : Для

\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.

Примечание Первые четыре личности говорят, что A * -Algebra . Последняя идентичность называется C* идентичностью и эквивалентна:

$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},$

который иногда называют B*-Identity. Для истории, стоящей за именами C*- и B*-Algebras, см. Раздел истории ниже.

C*-Identity-очень сильное требование. Например, вместе с формулой спектрального радиуса это подразумевает, что C*-Norm уникально определяется алгебраической структурой:

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.

Ограниченная линейная карта , π : A → B , между C *-Algebras A и B называется A *-homomorphism, если

Для x и y в

\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,

Для x в

\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,

В случае C*-Algebras любой*-омоморфизм π между C*-Algebras является сократительным , т.е. ограничен нормой ≤ 1. Кроме того, инъектив*-homomorphism между C*-Algebras является изометрическим . Это последствия C*-дентичности.

Бидзивный *-омоморфизм π называется C *-изоморфизмом , и в этом случае A и B считаются изоморфными .

Некоторая история: b-Algebras и c-Algebras

Термин B *-Algebra был введен CE Rickart в 1946 году для описания банаха *-альгебры , которые удовлетворяют условию:

$\lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}$ Для всех x в данной B*-Algebra. (B*-condition)

Это условие автоматически подразумевает, что *-инволюция является изометрической, то есть $\lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert$ Полем Следовательно, $\lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert$ и, следовательно, A B*-Algebra также является C*-Algebra. И наоборот, C*-condition подразумевает B*--кондиционирование. Это нетривиально и может быть доказано без использования условия $\lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert$ . ^{[ 1 ]} По этим причинам термин B*-Algebra редко используется в текущей терминологии и был заменен термином «c*-Algebra».

Термин C*-Algebra был введен IE Segal в 1947 году для описания закрытых норм Subalgebras B ( H ), а именно пространства ограниченных операторов в некотором пространстве Гильберта h . 'C' стоял за 'закрытый ". ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} В своей статье Сегал определяет C*-Algebra как «равномерно закрытую, самостоятельную алгебру ограниченных операторов на пространстве Гильберта». ^{[ 4 ]}

Структура C*-Algebras

C*-Algebras имеют большое количество свойств, которые технически удобны. Некоторые из этих свойств могут быть установлены с помощью непрерывного функционального исчисления или путем восстановления до коммутативного C*-Algebras. В последнем случае мы можем использовать тот факт, что их структура полностью определяется изоморфизмом Гельфанда .

Самостоятельные элементы

Самостоятельные элементы-это элементы формы $x=x^{*}$ Полем Набор элементов C*-Algebra A формы $x^{*}x$ образует закрытый выпуклый конус . Этот конус идентичен элементам формы $xx^{*}$ Полем Элементы этого конуса называются неотрицательными (или иногда положительными , даже если эта терминология противоречит его использованию для элементов $\mathbb {R}$ )

Набор самостоятельных элементов C*-Algebra A, естественно, имеет структуру частично упорядоченного векторного пространства ; заказ обычно обозначается $\geq$ Полем В этом упорядочении элемент самостоятельного примечания $x\in A$ удовлетворяет $x\geq 0$ тогда и только тогда, спектр когда $x$ неотрицательно, если и только тогда $x=s^{*}s$ для некоторых $s\in A$ Полем Два элемента самостоятельного примечания $x$ и $y$ удовлетворения $x\geq y$ если $x-y\geq 0$ .

Это частично упорядоченное подпространство позволяет определить положительный линейный функционал на C*-Algebra, которая, в свою очередь, используется для определения состояний C*-Algebra, которая, в свою очередь, может использоваться для построения спектра C*- Алгебра с использованием конструкции GNS .

Коэффициенты и приблизительные идентичности

Любая C*-Algebra A имеет приблизительную личность . Фактически, существует направленное семейство { e _λ } _λ∈I самостоятельных элементов такого , что

xe_{\lambda }\rightarrow x

0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .

В случае A раздела , A имеет последовательную приблизительную идентичность. В более общем плане A будет иметь последовательную приблизительную идентичность, если и только если содержит строго положительный элемент , то есть положительный элемент H такой, что HAH плотный в A. A

Используя приблизительные идентичности, можно показать, что алгебраический коэффициент C*-Algebra с помощью закрытого двухстороннего идеала с естественной нормой является C*-Algebra.

Точно так же закрытый двусторонний идеал C*-Algebra сам по себе является C*-Algebra.

Примеры

Конечно-мерный C*-Algebras

Алгебра m ( n , c ) n × n матриц над C становится C*-Algebra, если мы рассматриваем матрицы как операторы на евклидовом пространстве, c ^неи используйте норму оператора || · || на матрицах. Инволюция дается конъюгатным транспонированием . В более общем плане можно рассмотреть конечные прямые суммы матричных алгебр. Фактически, все C*-Algebras, которые являются конечными размерными, в качестве векторных пространств, представлены в этой форме, вплоть до изоморфизма. Потребность в самостоятельстве означает, что конечные меры C*-Algebras являются полупредными , из которых факт может вывести следующую теорему типа Артин-Веддерберн :

Теорема. Конечномерная C*-Algebra, a , канонически изоморфна на конечную прямую сумму
$A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae$
где min a набор минимальных ненулевых самостоятельных доступа центральных проекций A. - это

Каждая C*-Algebra, AE , является изоморфным (неканоническим образом) для полной матричной алгебры M (DIM ( E ), C ). Конечное семейство, индексируемое на мине , дано как {dim ( e )} _e, вектор измерений a называется . Этот вектор однозначно определяет класс изоморфизма конечной измерной C*-Algebra. языке K-теории вектор является положительным конусом группы K ₀ этот На .

Альгебра ( или, более ясно, A †-кольцевая алгебра )-это имя иногда используется в физике ^{[ 5 ]} для конечной меры C*-Algebra. Кинжал привязанности , †, используется в названии, потому что физики обычно используют символ для обозначения эрмитонов , и часто не беспокоятся о тонкостях, связанных с бесконечным числом измерений. (Математики обычно используют звездочку, *, чтобы обозначить соседние эрмиты.) †-Альгебры, имеющие место в квантовой механике , и в особенно квантовой информационной науке .

Непосредственное обобщение конечных размерных C*-Algebras представляют собой приблизительно конечные размерные C*-Algebras .

C*-Algebras операторов

Прототипным примером C*-Algebra является алгебра B (H) ограниченных (эквивалентно непрерывных) линейных операторов , определенных на сложном пространстве Hilbert H ; Здесь x* обозначает соответствующий оператор оператора x : h → h . Фактически, каждая C *-Algebra, a , *-изоморфная к закрытой норме, закрытая закрытая субальгебра B ( h ) для подходящего пространства Гилберта, h ; Это содержание теоремы Гельфанда -Наймарка .

C*-Algebras компактных операторов

Пусть H будет отделимым бесконечным пространством Гильберта. Алгебра K ( H ) компактных операторов на H является нормой, закрытой Subalgebra B ( H ). Он также закрыт под инволюцией; Следовательно, это C*-Algebra.

Бетон C*-Algebras компактных операторов признает характеристику, аналогичную теореме Wedderburn для конечных размерных C*-Algebras:

Теорема. Если a -c*-subalgebra k ( h ), то существуют пространства hilbert { h _i } _{i ∈ I} , так что
$A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),$
где (c*-) прямая сумма состоит из элементов ( t _i ) картезианского продукта π k ( h _i ) с || T _i || → 0.

Хотя k ( h ) не имеет идентификационного элемента, может быть разработана последовательная приблизительная идентичность для k ( h ). Чтобы быть специфическим, h изоморфно для пространства квадратных подводных последовательностей l ²; мы можем предположить, что h = l ²Полем Для каждого натурального числа n дайте H _n подпространство последовательностей L ² которые исчезают для индексов k ≥ n и позволяют e _n ортогональную проекцию на H _n . Последовательность { e _n } _n является приблизительной идентичностью для k ( h ).

K ( h ) является двусторонним закрытым идеалом B ( h ). Для разделяемых пространств Гильберта это уникальный идеал. Коэффициент - b ) ( h ) с помощью k ( h калкинская алгебра .

Коммутативный C*-Algebras

Пусть x - локально компактное пространство Hausdorff. Пространство $C_{0}(X)$ сложных непрерывных функций на x , которые исчезают в бесконечности (определено в статье о локальной компактности ) образует коммутативный C*-Algebra $C_{0}(X)$ под точковым умножением и дополнением. Инволюция - точечное сопряжение. $C_{0}(X)$ имеет мультипликативный элемент единицы тогда и только тогда, когда $X$ компактный. Как и любая C*-Algebra, $C_{0}(X)$ имеет приблизительную личность . В случае $C_{0}(X)$ Это немедленно: рассмотрим направленный набор компактных подмножеств $X$ и для каждого компактного $K$ позволять $f_{K}$ быть функцией компактной поддержки, которая идентично 1 на $K$ Полем Такие функции существуют по теореме расширения Tietze , которая применяется к локально компактным пространствам Hausdorff. Любая такая последовательность функций $\{f_{K}\}$ это приблизительная личность.

говорится В представлении Гелфанда , что каждая коммутативная C *-Algebra *-изоморфная для алгебры $C_{0}(X)$ , где $X$ это пространство персонажей , оборудованное слабой* топологией . Кроме того, если $C_{0}(X)$ Изоморфно $C_{0}(Y)$ как c*-algebras, из этого следует, что $X$ и $Y$ гомеоморфные . Эта характеристика является одной из мотиваций некоммутативной топологии и некоммутативных программ геометрии .

C*-Eneveloping Algebra

Учитывая банах *-алгебру A с приблизительной идентичностью , существует уникальный (до C *-изоморфизма) C *-Algebra E ( A ) и *-Morphism π от A в E ( A ), который является универсальным , то есть, то есть , любая другая непрерывная *-морфизм π ': a → b факторы уникально через π. Алгебра e ( a ) называется C *-Eneveloving Algebra банаха *-алгебра а .

Особое значение имеет C*-Algebra местной компактной группы g . определяется как охватывающая C*-Algebra алгебры G. Это групповой C*-Algebra в случае G не G обеспечивает контекст для общего гармонического анализа G является абельским . В частности, двойной местной компактной группы определяется как примитивное идеальное пространство группы C*-Algebra. См. Спектр C*-Algebra .

От Neumann Algebras

Алгебры фон Неймана , известные как w* алгебры до 1960-х годов, являются особым видом C*-Algebra. Они должны быть закрыты в слабой топологии оператора , которая слабее топологии нормы.

Теорема Шермана -Тедада подразумевает, что у любой C*-Algebra есть универсальный окутывание W*-Algebra, так что любой гомоморфизм для W*-альгебры факторы через это.

Тип для C*-Algebras

Ac*-algebra a имеет типа I, если и только тогда, когда для всех негативных представлений π a of von neumann алгебры π ( a ) ″ (то есть двусмысленная алгебра π ( a )) является алгеброй типа I Neumann Algebra. Полем На самом деле достаточно рассмотреть только представления фактора, т.е. представления π, для которых π ( a ) ″ является фактором.

Говорят, что локально компактная группа имеет тип I, когда и только тогда, когда ее группа C*-алгебра -тип I.

Однако, если C*-Algebra имеет представления не типа I, то по результатам Джеймса Глимма он также имеет представления типа II и типа III. Таким образом, для C*-Algebras и локально компактных групп, имеет смысл говорить о свойствах типа I и не типа I.

C*-Algebras и квантовая теория поля

В квантовой механике один обычно описывает физическую систему с C*-Algebra A с элементом единицы; Самостоятельные элементы A (элементы x с x* = x ) рассматриваются как наблюдаемые , измеримые величины системы. Состояние ) системы определяется как положительный функционал на ( a c -линейной карте φ: a → c с φ ( u*u ≥ 0 для всех u ∈ A ) такого, что φ (1) = 1. ожидаемое Значение наблюдаемого x , если система находится в состоянии φ, тогда φ ( x ).

Этот подход C*-Algebra используется в аксиоматизации HAAG-Kastler локальной теории квантовых поля , где каждый открытый набор Minkowski-Time связан с C*-Algebra.

Смотрите также

Банаховая алгебра
Банах *-Ahrgebra
*-алгебра
Гильберт C*-Module
Оператор K-Theory
Система операторов , однозначное подпространство C *-Algebra, которая *-Closed.
Гельфанд -Нэймамк -Сегал Строительство
Джордан Оператор Алгебра

Примечания

^ Doran & Belfi 1986 , с. 5–6, Google Books .
^ Doran & Belfi 1986 , p. 6, Google Books .
^ Сегал 1947
Сегал 1947 , с. 75
^ Джон А. Холбрук, Дэвид У. Крибс и Рэймонд Лафламм. «Бесшумные подсистемы и структура коммутанта в квантовой коррекции ошибок». Квантовая обработка информации . Том 2, номер 5, стр. 381–419. Октябрь 2003.

Ссылки

Arveson, W. (1976), приглашение C*-Algebra , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0 Полем Отличное введение в предмет, доступный для тех, кто знает базовый функциональный анализ .
Connes, Alain (1994), некоммутативная геометрия , ISBN 0-12-185860-х Полем Эта книга широко рассматривается как источник нового исследовательского материала, обеспечивая большую поддержку интуиции, но это сложно.
Dixmier, Жак (1969), Les C*-Algèbres и их представления , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1 Полем Это несколько устаревшая ссылка, но все еще считается высококачественной технической экспозицией. Он доступен на английском языке от North Holland Press.
Доран, Роберт С .; Белфи, Виктор А. (1986), Характеристики C*-Algebras: Теоремы Гельфанд-Наймарка , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8 .
Emch, G. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и теории квантовых поля , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3 Полем Математически строгая ссылка, которая обеспечивает обширный опыт физики.
AI Shtern (2001) [1994], "C*-Algebra" , Энциклопедия математики , Ems Press
Sakai, S. (1971), C*-Algebras and W*-Algebras , Springer, ISBN 3-540-63633-1 .
Сегал, Ирвинг (1947), «Независимые представления об алгебрах оператора», Бюллетень Американского математического общества , 53 (2): 73–88, doi : 10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 .

[1] Doran & Belfi 1986 , с. 5–6, Google Books .

[2] Doran & Belfi 1986 , p. 6, Google Books .

[3] Сегал 1947

[4] Сегал 1947 , с. 75

[5] Джон А. Холбрук, Дэвид У. Крибс и Рэймонд Лафламм. «Бесшумные подсистемы и структура коммутанта в квантовой коррекции ошибок». Квантовая обработка информации . Том 2, номер 5, стр. 381–419. Октябрь 2003.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

v Т и Спектральная теория и ^*-алгебра
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem