Шансы

В вероятностей теории шансы служат мерой вероятности определенного результата. Шансы обычно используются в азартных играх и статистике . Например, для события, вероятность которого составляет 40%, можно сказать, что шансы составляют «2 к 5», «2 к 3 за» или «3 к 2 против».

В азартных играх коэффициенты часто выражаются как отношение возможной чистой прибыли к возможному чистому убытку. Однако во многих ситуациях вы платите возможный проигрыш («ставку» или «ставку») авансом, и, если вы выиграете, вам выплачивается чистый выигрыш, а также вы также получаете возврат своей ставки. Таким образом, ставка 2 по принципу «3 к 2» приводит к выплате 3 + 2 = 5 , что называется «5 к 2». Когда коэффициенты Moneyline указаны как положительное число $+ X$ , это означает, что по ставке выплачивается $X$ до 100. Когда коэффициенты Moneyline указаны как отрицательное число $X,$ это означает, что по ставке выплачивается 100 до $X.$ —

Шансы имеют простую связь с вероятностью . Когда вероятность выражается числом от 0 до 1, взаимосвязь между вероятностью $p$ и шансами следующая. Обратите внимание: если вероятность должна быть выражена в процентах, эти значения вероятности следует умножить на 100%.

« $X$ в $Y$ » означает, что вероятность равна $p = X / Y$ .
« $Х$ в $пользу Y$ » означает, что вероятность равна $p = X /(X + Y)$ .
« $X$ к $Y$ против» означает, что вероятность равна $p = Y /(X + Y)$ .
«Выплачивает $X$ Y $»$ означает, что ставка является справедливой, если вероятность равна $p = Y /(X + Y)$ .
«Платит $X$ за $Y$ » означает, что ставка является справедливой, если вероятность равна $p = Y / X$ .
«Выплата $+ X$ » означает, что ставка справедлива, если вероятность равна $p = 100/(X + 100)$ .
«выплата $- X$ » означает, что ставка справедлива, если вероятность равна $p = X /(X + 100)$ .

Числа шансов можно масштабировать. Если $k$ — любое положительное число, то от $X$ до $Y$ — то же самое, что от $kX$ до $kY$ , и аналогично, если «to» заменяется на «in» или «for». Например, «3 против 2» — это то же самое, что и «1,5 против 1» и «6 против 4».

Когда значение вероятности $p$ (между 0 и 1; не процент) можно записать в виде дроби $N / D$ , то можно сказать, что шансы равны « $p /(1- p)$ к 1 в пользу», « $( 1- p)/ p$ к 1 против", " $N$ в $D$ ", " $N$ к $D - N$ за" или " $D - N$ к $N$ против", и их можно масштабировать до эквивалентных шансов. Аналогично, справедливые коэффициенты ставок могут быть выражены как « $(1- p)/ p$ к 1», « $1 / p$ за 1», «+ $100(1- p)/ p$ », « $-100 p /(1- p)$ ", " $D - N$ до $N$ ", " $D$ за $N$ ", "+ $100(D - N)/ N$ " или " $-100 N /(D - N)$ ".

История

Язык шансов, такой как использование таких фраз, как «десять к одному» для интуитивно оцененных рисков, появился в шестнадцатом веке, задолго до развития теории вероятностей . ^[1] Шекспир писал:

Знал, что мы отважились на такие опасные моря
Что если бы мы прожили жизнь, это было бы десять к одному
- Уильям Шекспир , Генрих IV, Часть II , Акт I, Сцена 1, строки 181–2.

шестнадцатого века Эрудит Кардано продемонстрировал эффективность определения шансов как соотношения благоприятных и неблагоприятных исходов. Из этого определения следует тот факт, что вероятность события определяется отношением благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. ^[2]

Статистическое использование

В статистике шансы представляют собой выражение относительных вероятностей, обычно обозначаемых как шансы в пользу . Шансы (в пользу) события или предложения — это отношение вероятности того, что событие произойдет, к вероятности того, что событие не произойдет. Математически это испытание Бернулли , так как оно имеет ровно два исхода. В случае конечного выборочного пространства равновероятных исходов это отношение количества исходов , при которых событие происходит, к числу исходов, при которых событие не происходит; они могут быть представлены как W и L (для побед и поражений) или S и F (для успеха и неудачи). Например, вероятность того, что случайно выбранный день недели приходится на выходные, составляет от двух до пяти (2:5), поскольку дни недели образуют выборочное пространство из семи исходов, а событие происходит для двух из исходов ( суббота и воскресенье), а не остальные пять. ^[3]^[4] И наоборот, учитывая шансы как отношение целых чисел, это может быть представлено вероятностным пространством конечного числа равновероятных исходов. Эти определения эквивалентны, поскольку деление обоих членов соотношения на количество исходов дает вероятности: $2:5=(2/7):(5/7).$ И наоборот, шансы против — противоположное соотношение. Например, шансы на то, что случайный день недели окажется выходным, составляют 5:2.

Шансы и вероятность могут быть выражены в прозе с помощью предлогов to и in: «шансы такого-то числа к такому-то количеству на (или против) [некоторого события]» относятся к шансам — отношению числа (равновероятных) исходов в пользу и против (или наоборот); «Шансы такого-то количества [исходов] в таком-то [исходах]» относятся к вероятности — количеству (равновероятных) исходов в пользу относительно числа за и против вместе взятых. Например, «шансы на выходные составляют 2 к 5», а «шансы на выходные составляют 2 к 7». В повседневном использовании слова шансы и шансы (или шанс ) часто используются как взаимозаменяемые, чтобы неопределенно указать некоторую меру шансов или вероятности, хотя предполагаемое значение можно определить, отметив, является ли предлог между двумя числами to или in . ^[5]^[6]^[7]

Математические отношения

Коэффициенты могут быть выражены как соотношение двух чисел, и в этом случае оно не уникально - масштабирование обоих членов на один и тот же коэффициент не меняет пропорции: коэффициенты 1:1 и коэффициенты 100:100 одинаковы (четные коэффициенты). Коэффициенты также можно выразить в виде числа путем деления членов отношения — в этом случае оно уникально (разные дроби могут представлять одно и то же рациональное число ). Шансы как соотношение, шансы как число и вероятность (также число) связаны простыми формулами, и аналогичным образом шансы в пользу и шансы против, а также вероятность успеха и вероятность неудачи имеют простые отношения. Шансы варьируются от 0 до бесконечности, а вероятности — от 0 до 1 и, следовательно, часто представляются в процентах от 0% до 100%: изменение соотношения переключает шансы на шансы против, и аналогичным образом вероятность успеха с вероятностью неудачи.

Учитывая шансы (в пользу) как соотношение W:L (количество выигрышных исходов:количество проигрышных исходов), шансы в пользу (как число) $o_{f}$ и шансы против (как число) $o_{a}$ могут быть вычислены путем простого деления и являются мультипликативными обратными :

{\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{a}&=1\end{aligned}}

Аналогично, учитывая шансы как отношение, вероятность успеха $p$ или неудачи $q$ может быть вычислена путем деления, а вероятность успеха и вероятность неудачи в сумме равны единице (единице), поскольку они являются единственно возможными результатами. В случае конечного числа равновероятных исходов это можно интерпретировать как количество исходов, при которых происходит событие, деленное на общее количество событий:

{\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=L/(W+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}

Учитывая вероятность p, шансы как отношение равны $p:q$ (от вероятности успеха к вероятности неудачи), а шансы в виде чисел можно вычислить путем деления:

{\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}

И наоборот, учитывая шансы как число $o_{f},$ это можно представить как соотношение $o_{f}:1,$ или наоборот $1:(1/o_{f})=1:o_{a},$ из которого можно вычислить вероятность успеха или неудачи:

{\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\end{aligned}}

Таким образом, если выразить это дробью с числителем 1, вероятность и шансы различаются ровно на 1 в знаменателе: вероятность 1 из 100 (1/100 = 1%) равна вероятности от 1 до 99 (1/99). = 0,0101... = 0,01 ), а вероятность от 1 до 100 (1/100 = 0,01) равна вероятности 1 из 101 (1/101 = 0,00990099... = 0,0099 ) . Это незначительная разница, если вероятность мала (близка к нулю или «большие шансы»), но является существенной, если вероятность велика (близка к единице).

Они рассчитаны на несколько простых коэффициентов:

шансы (отношение)	$o_{f}$	$o_{a}$	$p$	$q$
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0.5	66. 66 %	33. 33 %
1:2	0.5	2	33. 33 %	66. 66 %
4:1	4	0.25	80%	20%
1:4	0.25	4	20%	80%

9:1	9	0. 1	90%	10%
10:1	10	0.1	90. 90 %	9. 09 %
99:1	99	0. 01	99%	1%
100:1	100	0.01	99. 0099 %	0. 9900 %

Эти преобразования обладают определенными особыми геометрическими свойствами: преобразования между шансами за и шансами против (соответственно вероятностью успеха с вероятностью неудачи), а также между шансами и вероятностью представляют собой преобразования Мёбиуса (дробные линейные преобразования). Таким образом, они конкретизируются тремя точками ( резко 3-транзитивными ). Обмен шансов на и против обменов 0 и бесконечность, фиксация 1, при этом вероятность успеха меняется на вероятность неудачи, меняются местами 0 и 1, фиксация 0,5; они оба порядка 2, следовательно, циклические преобразования . Преобразование шансов в вероятность исправляет 0, отправляет бесконечность в 1 и отправляет 1 в 0,5 (вероятность четных шансов составляет 50%), и наоборот; это параболическое преобразование .

Приложения

В теории вероятностей и статистике шансы и подобные отношения могут быть более естественными и удобными, чем вероятности. В некоторых случаях лог-шанс используется , который представляет собой логит вероятности. Проще говоря, коэффициенты часто умножаются или делятся, а log преобразует умножение в сложение, а деление в вычитание. Это особенно важно в логистической модели , в которой логарифмические шансы целевой переменной представляют собой линейную комбинацию наблюдаемых переменных.

Подобные соотношения используются и в других статистических целях; Центральное значение имеет отношение правдоподобия в правдоподобной статистике , которое используется в байесовской статистике как фактор Байеса .

Коэффициенты особенно полезны в задачах последовательного принятия решений, например, в задачах о том, как остановиться (в режиме онлайн) на последнем конкретном событии , которое решается алгоритмом коэффициентов .

Шансы представляют собой соотношение вероятностей; Отношение шансов — это отношение шансов, то есть отношение отношений вероятностей. Отношения шансов часто используются при анализе клинических испытаний . Хотя они обладают полезными математическими свойствами, они могут давать противоречивые результаты : событие с вероятностью 80% произойдет в четыре раза более вероятно , чем событие с вероятностью 20%, но шансы в 16 раз выше на менее вероятное событие (4–1 против , или 4), чем на более вероятное (1–4, или 4–1 против , или 0,25).

Пример №1: Есть 5 розовых шариков, 2 синих шарика и 8 фиолетовых шариков. Каковы шансы в пользу выбора синего шарика?

Ответ: Шансы на выпадение синего шарика составляют 2:13. Точно так же можно сказать, что шансы против 13:2 . В пользу синих 2 из 15 шансов, против синих – 13 из 15.

В теории вероятностей и статистике , где переменная p представляет собой вероятность в пользу бинарного события, а вероятность против события равна 1- p , «шансы» события представляют собой частное двух, или ${\frac {p}{1-p}}$ . Это значение можно рассматривать как относительную вероятность того, что событие произойдет, выраженную в виде дроби (если оно меньше 1) или кратного (если оно равно или больше единицы) вероятности того, что событие не произойдет. .

Пример №2

В первом примере вверху утверждение о том, что шансы на воскресенье составляют «один к шести» или, реже, «одна шестая», означает, что вероятность случайного выбора воскресенья составляет одну шестую от вероятности не выбрать воскресенье. В то время как математическая вероятность события имеет значение в диапазоне от нуля до единицы, «шансы» в пользу того же самого события лежат между нулем и бесконечностью. Шансы против события с вероятностью, заданной как p, равны ${\frac {1-p}{p}}$ . Шансы против воскресенья составляют 6:1 или 6/1 = 6. Вероятность того, что случайный день не окажется воскресеньем, в 6 раз выше.

Использование азартных игр

При подбрасывании монеты или матчевом забеге между двумя лошадьми с одинаковым соотношением сил двум людям разумно делать одинаковые ставки. Однако в более изменчивых ситуациях, таких как скачки с участием нескольких участников или футбольный матч между двумя неравными командами, ставки «с коэффициентом» дают возможность принять во внимание соответствующие вероятности возможных исходов. Использование коэффициентов в азартных играх облегчает размещение ставок на события, в которых вероятности различных исходов различаются.

В современную эпоху большинство ставок с фиксированным коэффициентом происходит между букмекерской организацией, такой как букмекерская контора , и частным лицом, а не между отдельными людьми. Сложились разные традиции представления клиентам шансов.

Дробные шансы

Дробные коэффициенты, которые предпочитают букмекеры Великобритании . и Ирландии , а также распространены в скачках , указывают чистую сумму, которая будет выплачена игроку в случае победы, относительно ставки ^[8] Коэффициент 4/1 означает, что игрок может получить прибыль в размере 400 фунтов стерлингов на ставке в 100 фунтов стерлингов. Если коэффициент составляет 1/4, игрок заработает 25 фунтов стерлингов при ставке в 100 фунтов стерлингов. В любом случае, выиграв, игрок всегда получает обратно первоначальную ставку; таким образом, если коэффициент равен 4/1, игрок получает в общей сложности 500 фунтов стерлингов (400 фунтов стерлингов плюс первоначальные 100 фунтов стерлингов). Коэффициенты 1/1 известны как «эвены» или «четные деньги» .

Числитель , и знаменатель дробных коэффициентов часто являются целыми числами поэтому, если бы выплата букмекера должна была составлять 1,25 фунта стерлингов за каждую ставку в 1 фунт стерлингов, это было бы эквивалентно 5 фунтам стерлингов за каждые поставленные 4 фунта стерлингов, и поэтому коэффициенты были бы выражены как 5/ 4. Однако не все дробные коэффициенты традиционно считываются с использованием наименьшего общего знаменателя . Например, учитывая, что существует структура шансов 5/4, 7/4, 9/4 и т. д., шансы, которые математически равны 3/2, легче сравнивать, если они выражены в эквивалентной форме 6/4.

Дробные коэффициенты также известны как британские коэффициенты, британские коэффициенты, ^[9] или, в этой стране, традиционные шансы . Обычно они обозначаются знаком «/», но также могут быть обозначены знаком «-», например 4/1 или 4–1. Коэффициенты со знаменателем 1 часто представлены в списках только как числитель. ^{[ нужна ссылка ]}

Разновидность дробных коэффициентов известна как коэффициенты Гонконга . Дробные и гонконгские коэффициенты на самом деле взаимозаменяемы. Единственное отличие состоит в том, что коэффициенты в Великобритании представлены в виде дробных чисел (например, 6/5), а коэффициенты в Гонконге — в десятичных числах (например, 1,2). Оба демонстрируют чистую прибыль.

Десятичные шансы

Европейские коэффициенты также представляют собой потенциальный выигрыш (чистую прибыль), но, кроме того, они учитывают ставку (например, 6/5 или 1,2 плюс 1 = 2,2). ^[10]

Десятичные коэффициенты, популярные в континентальной Европе , Австралии , Новой Зеландии , Канаде и Сингапуре , представляют собой соотношение суммы выплаты, включая первоначальную ставку, к самой ставке. Следовательно, десятичные шансы на результат эквивалентны десятичному значению дробных шансов плюс один. ^[11] Таким образом, четные коэффициенты 1/1 указаны в десятичном формате как 2,00. Обсуждаемые выше дробные коэффициенты 4/1 оцениваются как 5,00, а коэффициенты 1/4 — как 1,25. Это считается идеальным вариантом для экспресс -ставок, поскольку выплачиваемые коэффициенты представляют собой просто произведение коэффициентов для каждого исхода, на который делается ставка. Если рассматривать десятичные коэффициенты с точки зрения ставок, то у аутсайдера будет большее из двух десятичных знаков, а у фаворита — меньшее из двух. Чтобы рассчитать десятичные коэффициенты, вы можете использовать уравнение Выплата = Начальная ставка × Десятичное значение. ^[12]. Например, если вы поставите 100 евро на то, что «Ливерпуль» победит «Манчестер Сити» с коэффициентом 2,00, выплата, включая вашу ставку, составит 200 евро (100 евро × 2,00). ставок отдают предпочтение десятичным коэффициентам, Биржи поскольку с ними легче всего работать в торговле, поскольку они отражают обратную величину вероятности исхода. ^[13] Например, указанный коэффициент 5,00 равен вероятности 1/5,00, то есть 0,20 или 20%.

Десятичные коэффициенты также известны как европейские коэффициенты , цифровые коэффициенты или континентальные коэффициенты. ^[9]

Шансы на денежную линию

Американские букмекеры предпочитают коэффициенты Moneyline. Приведенная цифра может быть либо положительной, либо отрицательной.

Когда коэффициенты денежной линии положительны, цифра указывает чистый выигрыш для ставки в 100 долларов (это делается для исхода, который считается менее вероятным, чем нет). Например, чистый выигрыш 4/1 будет указан как +400.
Когда коэффициенты денежной линии отрицательны, цифра показывает, какую сумму денег необходимо поставить, чтобы получить чистый выигрыш в размере 100 долларов (это делается для исхода, который считается более вероятным, чем нет). Например, чистый выигрыш в размере 1/4 будет равен –400.

Шансы на денежную линию часто называют американскими шансами . Ставка на «денежную линию» относится к шансам на прямой исход игры без учета разброса очков . В большинстве случаев фаворит будет иметь отрицательные шансы на денежную линию (меньший выигрыш для более безопасной ставки), а проигравший будет иметь положительные шансы на денежную линию (больший выигрыш для рискованной ставки). Однако, если команды равны, обе команды могут одновременно иметь отрицательную линию (например, -110 -110 или -105 -115) из-за взятия дома.

Оптовые коэффициенты

Оптовые коэффициенты — это «реальные шансы» или 100% вероятность наступления события. Эта 100%-ная книга отображается без какой-либо букмекерской конторы , маржи которую часто называют « оверраундом » букмекерской конторы.

«оптовых коэффициентов» Индекс — это индекс всех цен на вероятностном рынке, работающий при 100% конкурентоспособности и отображаемый без учета какой-либо прибыли для участников рынка.

Шансы на азартные игры и вероятности

В азартных играх отображаемые шансы не отражают истинные шансы (как это представляет букмекер) на то, что событие произойдет или не произойдет, а представляют собой сумму, которую букмекерская контора выплатит по выигрышной ставке вместе с необходимой ставкой. При формулировании отображаемых коэффициентов букмекерская контора учитывает размер прибыли, что фактически означает, что выплата успешному игроку меньше, чем та, которую представляет истинная вероятность того, что событие произойдет. Эта прибыль известна как «оверраунд» в «книге» («книга» относится к старомодному регистру, в котором записывались ставки, и является производным от термина «букмекерская контора») и относится к сумме «шансы» следующим образом:

Например, в скачках с участием трех лошадей истинная вероятность победы каждой лошади в зависимости от ее относительных способностей может составлять 50%, 40% и 10%. Сумма этих трех процентов составляет 100%, что представляет собой справедливую «книгу». Истинные шансы на победу для каждой из трех лошадей составляют 1–1, 3–2 и 9–1 соответственно.

Чтобы получить прибыль от принятых ставок, букмекерская контора может принять решение увеличить значения до 60%, 50% и 20% для трех лошадей соответственно. Это представляет собой шансы против каждого из них: 4–6, 1–1 и 4–1 по порядку. Теперь эти значения составляют 130 %, что означает, что книга имеет округление 30 (130–100). Значение 30 представляет собой сумму прибыли букмекерской конторы, если он сделает ставки в хороших пропорциях на каждую из лошадей. Например, если он возьмет 60, 50 и 20 фунтов стерлингов соответственно на трех лошадей, он получит 130 фунтов в виде ставок, но вернет только 100 фунтов (включая ставки), в зависимости от того, какая лошадь выиграет. И ожидаемая величина его прибыли будет положительной, даже если все сделают ставку на одну и ту же лошадь. Искусство букмекерства заключается в том, чтобы устанавливать достаточно низкие коэффициенты, чтобы иметь положительную ожидаемую величину прибыли, сохраняя при этом коэффициенты достаточно высокими для привлечения клиентов и в то же время привлекая достаточное количество ставок для каждого исхода, чтобы уменьшить его подверженность риску.

Исследование ставок на футбол показало, что вероятность победы команды хозяев обычно примерно на 3,4% меньше, чем значение, рассчитанное на основе коэффициентов (например, 46,6% для четных коэффициентов). Для побед гостей он был примерно на 3,7% меньше, для ничьих – на 5,7%. ^[14]

Чтобы понять вероятности в рулетке и рассчитать их, необходимо знать формулу. Вы берете числа, на которые сделана ставка, и делите их на общее количество чисел в рулетке (в зависимости от вашей версии игры). Потом умножаешь на 100. ^[15]

Получение прибыли в азартных играх предполагает прогнозирование соотношения истинных вероятностей и шансов на выплату. спортивные информационные услуги Профессиональные и полупрофессиональные игроки, делающие ставки на спорт, часто используют для достижения этой цели.

Коэффициенты или суммы, которые заплатит букмекерская контора, определяются общей суммой ставок на все возможные события. Они отражают баланс ставок по обе стороны события и включают вычет брокерской комиссии букмекера («виг» или «вигориш » ).

Кроме того, в зависимости от того, как на ставки влияет юрисдикция, букмекерская контора и/или выигравший игрок могут взимать налоги. Это может быть принято во внимание при предложении коэффициентов и/или может уменьшить сумму, выигранную игроком.

См. также

Ссылки

^ Джеймс, Франклин (2001). Наука предположений: доказательства и вероятности до Паскаля . Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. стр. 280–281.
^ Некоторые законы и проблемы классической вероятности и то, как Кардано их предвидел Горрохум, P. Chance , 2012 г. журнал
^ Вольфрам Математический мир. «Wolfram MathWorld (Шансы)» . Вольфрам Рисерч Инк . Проверено 16 мая 2012 г.
^ Гельман, Эндрю; Карлин, Джон Б.; Стерн, Хэл С.; Рубин, Дональд Б. (2003). «1,5». Байесовский анализ данных (2-е изд.). ЦРК Пресс.
^ Многоштатная лотерейная ассоциация. «Добро пожаловать в Powerball – Призы» . Многогосударственная лотерейная ассоциация. Архивировано из оригинала 19 октября 2015 года . Проверено 16 мая 2012 г.
^ Лиза Гроссман (28 октября 2010 г.). «Шансы найти экзопланеты размером с Землю составляют 1 к 4» . Проводной . Проверено 16 мая 2012 г.
^ Вольфрам Альфа. «Вольфрам Альфа (Вероятности в покере)» . Вольфрам Альфа . Проверено 16 мая 2012 г.
^ «Школа ставок: понимание дробных и десятичных коэффициентов ставок» . Цель. 10 января 2011 года . Проверено 27 марта 2014 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Формат ставок» . Всемирная биржа ставок. Архивировано из оригинала 2 мая 2014 года . Проверено 27 марта 2014 г.
^ «Понимание коэффициентов ставок – денежная линия, дробные коэффициенты, десятичные коэффициенты, коэффициенты Гонконга, коэффициенты IN, коэффициенты MA» . Футбольная вдова . Проверено 10 декабря 2014 г.
^ «Дробные шансы» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2014 года . Проверено 27 марта 2014 г.
^ «Понимание коэффициентов ставок на спорт и как их читать» . Атлетик . 25 января 2022 г. Проверено 25 сентября 2022 г.
^ Кортис, Доминик (2015). «Ожидаемые значения и дисперсия выплат букмекерам: теоретический подход к установлению ограничений на коэффициенты» . Журнал рынков прогнозов . 1. 9 : 1–14. дои : 10.5750/jpm.v9i1.987 .
^ Лисандро Кауниц; и др. (октябрь 2017 г.). «Обыграть букмекеров с помощью их собственных цифр – и как устроен рынок спортивных ставок». arXiv : 1710.02824 [ стат.AP ].
^ "Шансы" . 21 ноября 2023 г.

[Franklin-1] Джеймс, Франклин (2001). Наука предположений: доказательства и вероятности до Паскаля . Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. стр. 280–281.

[columbia.edu-2] Некоторые законы и проблемы классической вероятности и то, как Кардано их предвидел Горрохум, P. Chance , 2012 г. журнал

[Wolfram-3] Вольфрам Математический мир. «Wolfram MathWorld (Шансы)» . Вольфрам Рисерч Инк . Проверено 16 мая 2012 г.

[Gelman-4] Гельман, Эндрю; Карлин, Джон Б.; Стерн, Хэл С.; Рубин, Дональд Б. (2003). «1,5». Байесовский анализ данных (2-е изд.). ЦРК Пресс.

[Powerball-5] Многоштатная лотерейная ассоциация. «Добро пожаловать в Powerball – Призы» . Многогосударственная лотерейная ассоциация. Архивировано из оригинала 19 октября 2015 года . Проверено 16 мая 2012 г.

[Wired-6] Лиза Гроссман (28 октября 2010 г.). «Шансы найти экзопланеты размером с Землю составляют 1 к 4» . Проводной . Проверено 16 мая 2012 г.

[Wolfram2-7] Вольфрам Альфа. «Вольфрам Альфа (Вероятности в покере)» . Вольфрам Альфа . Проверено 16 мая 2012 г.

[Goal-8] «Школа ставок: понимание дробных и десятичных коэффициентов ставок» . Цель. 10 января 2011 года . Проверено 27 марта 2014 г.

[wbx-9] Перейти обратно: ^а ^б «Формат ставок» . Всемирная биржа ставок. Архивировано из оригинала 2 мая 2014 года . Проверено 27 марта 2014 г.

[SW1-10] «Понимание коэффициентов ставок – денежная линия, дробные коэффициенты, десятичные коэффициенты, коэффициенты Гонконга, коэффициенты IN, коэффициенты MA» . Футбольная вдова . Проверено 10 декабря 2014 г.

[Betstarter-11] «Дробные шансы» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2014 года . Проверено 27 марта 2014 г.

[12] «Понимание коэффициентов ставок на спорт и как их читать» . Атлетик . 25 января 2022 г. Проверено 25 сентября 2022 г.

[Cortis-13] Кортис, Доминик (2015). «Ожидаемые значения и дисперсия выплат букмекерам: теоретический подход к установлению ограничений на коэффициенты» . Журнал рынков прогнозов . 1. 9 : 1–14. дои : 10.5750/jpm.v9i1.987 .

[Lisandro_Kaunitz-14] Лисандро Кауниц; и др. (октябрь 2017 г.). «Обыграть букмекеров с помощью их собственных цифр – и как устроен рынок спортивных ставок». arXiv : 1710.02824 [ стат.AP ].

[15] "Шансы" . 21 ноября 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]