Рост подгруппы

В математике — рост подгрупп это раздел теории групп , занимающийся количественными вопросами о подгруппах данной группы .

Позволять $G$ быть конечно порожденной группой . Тогда для каждого целого числа $n$ определять $a_{n}(G)$ быть числом подгрупп $H$ индекса ​ $n$ в $G$. Аналогично, если $G$ является топологической группой , $s_{n}(G)$ обозначает количество открытых подгрупп $U$ индекса $n$ в $G$. Аналогично определяют $m_{n}(G)$ и $s_{n}^{\triangleleft }(G)$ для обозначения количества максимальных и нормальных подгрупп индекса $n$, соответственно.

Рост подгрупп изучает эти функции, их взаимодействие и характеристику теоретико-групповых свойств с точки зрения этих функций.

Теория была мотивирована желанием перечислить конечные группы заданного порядка и аналогией с Михаила Громова понятием о росте слов .

Нильпотентные группы

Позволять $G$ — конечно порожденная без кручения нильпотентная группа . Тогда существует композиционный ряд с бесконечными циклическими факторами, который индуцирует биекцию (хотя и не обязательно гомоморфизм ).

$\mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow G$

такие, что групповое умножение может быть выражено полиномиальными функциями по этим координатам; в частности, умножение определимо . Используя методы модельной теории , p-адических целых чисел Ф. Грюневальд, Д. Сигал и Г. Смит показали, что локальная дзета-функция

$\zeta _{G,p}(s)=\sum _{\nu =0}^{\infty }s_{p^{n}}(G)p^{-ns}$

является рациональной функцией в $p^{-s}$.

В качестве примера позвольте $G$ — дискретная группа Гейзенберга . В этой группе есть "презентация" с генераторами $x,\,y,\,z$ и отношения

$[x,y]=z,[x,z]=[y,z]=1.$

Следовательно, элементы $G$ можно представить в виде троек $(a,\,b,\,c)$ целых чисел с групповой операцией, заданной формулой

$(a,b,c)\circ (a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab').$

Каждой подгруппе конечного индекса $U$ из $G$, сопоставьте множество всех «хороших оснований» $U$ следующее. Обратите внимание, что $G$ есть нормальная серия

$G=\langle x,y,z\rangle \triangleright \langle y,z\rangle \triangleright \langle z\rangle \triangleright 1$

с бесконечными циклическими факторами . тройка $(g_{1},g_{2},g_{3})\in G$ называется хорошей основой $U$, если $g_{1},g_{2},g_{3}$ генерировать $U$, и $g_{2}\in \langle y,z\rangle ,g_{3}\in \langle z\rangle$. В общем, определить множество хороших базисов для фиксированной подгруппы довольно сложно. $U$. Чтобы преодолеть эту трудность, определяют набор всех хороших базисов всех подгрупп конечного индекса и определяют, сколько из них принадлежат одной данной подгруппе. Чтобы сделать это точным, нужно вложить группу Гейзенберга над целыми числами в группу над p-адическими числами . После некоторых вычислений приходим к формуле

$\zeta _{G,p}(s)={\frac {1}{(1-p^{-1})^{3}}}\int _{\mathcal {M}}|a_{11}|_{p}^{s-1}|a_{22}|_{p}^{s-2}|a_{33}|_{p}^{s-3}\;d\mu ,$

где $\mu$ является Хаара мерой $\mathbb {Z} _{p}$, $|\cdot |_{p}$ обозначает p-адическое абсолютное значение и ${\mathcal {M}}$ представляет собой набор кортежей $p$-адические целые числа

$\{a_{11},a_{12},a_{13},a_{22},a_{23},a_{33}\}$

такой, что

$\{x^{a_{11}}y^{a_{12}}z^{a_{13}},y^{a_{22}}z^{a_{23}},z^{a_{33}}\}$

является хорошим базисом некоторой подгруппы конечного индекса. Последнее условие можно перевести в

$a_{33}|a_{11}\cdot a_{22}$.

Теперь интеграл можно преобразовать в повторную сумму, чтобы получить

$\zeta _{G,p}(s)=\sum _{a\geq 0}\sum _{b\geq 0}\sum _{c=0}^{a+b}p^{-as-b(s-1)-c(s-2)}={\frac {1-p^{3-3s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})(1-p^{2-2s})(1-p^{2-3s})}}$

где окончательная оценка состоит в многократном применении формулы значения геометрической прогрессии . Из этого мы делаем вывод, что $\zeta _{G}(s)$ может быть выражено через дзета-функцию Римана как

$\zeta _{G}(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)\zeta (2s-2)\zeta (2s-3)}{\zeta (3s-3)}}.$

Для более сложных примеров вычисления усложняются, и вообще нельзя ожидать замкнутого выражения для $\zeta _{G}(s)$. Местный фактор

$\zeta _{G,p}(s)$

всегда может быть выражено как определимое $p$-адический интеграл. Применяя результат Макинтайра к теории моделей $p$-адические целые числа, снова можно сделать вывод, что $\zeta _{G}(s)$ является рациональной функцией в $p^{-s}$. Более того, М. дю Сотуа и Ф. Грюневальд показали, что интеграл можно аппроксимировать L-функциями Артина . Используя тот факт, что L-функции Артина голоморфны в окрестности прямой $\Re (s)=1$, они показали, что для любой нильпотентной группы без кручения функция $\zeta _{G}(s)$ мероморфен области в

$\Re (s)>\alpha -\delta$

где $\alpha$ представляет собой сходимости абсциссу $\zeta _{G}(s)$, и $\delta$ — некоторое положительное число, голоморфное в некоторой окрестности $\Re (s)=\alpha$. Используя тауберову теорему, это означает, что

$\sum _{n\leq x}s_{n}(G)\sim x^{\alpha }\log ^{k}x$

для некоторого действительного числа $\alpha$ и неотрицательное целое число $k$.

Рост подгруппы и представления смежных классов

Позволять $G$ быть группой, $U$ подгруппа индекса $n$. Затем $G$ действует на множестве левых смежных классов $U$ в $G$ сдвигом влево:

$g(hU)=(gh)U.$

Таким образом, $U$ индуцирует гомоморфизм ​ $G$ в симметрическую группу на $G/U$. $G$ действует транзитивно на $G/U$, и наоборот, при транзитивном действии $G$ на

$\{1,\ldots ,n\},$

стабилизатор точки 1 является подгруппой индекса $n$ в $G$. С момента набора

$\{2,\ldots ,n\}$

можно переставить в

$(n-1)!$

способами, мы обнаруживаем, что $s_{n}(G)$ равно числу переходных $G$-действия, разделенные на $(n-1)!$. Среди всех $G$-действий, мы можем отличить транзитивные действия с помощью тщательного анализа и прийти к следующей формуле

$s_{n}(G)={\frac {h_{n}(G)}{(n-1)!}}-\sum _{\nu =1}^{n-1}{\frac {h_{n-\nu }(G)s_{\nu }(G)}{(n-\nu )!}},$

где $h_{n}(G)$ обозначает количество гомоморфизмов

$\varphi :G\rightarrow S_{n}.$

В ряде случаев функция $h_{n}(G)$ тогда легче подойти $s_{n}(G)$, и, если $h_{n}(G)$ становится достаточно большой, сумма имеет пренебрежимо малый порядок, следовательно, получается асимптотическая формула для $s_{n}(G)$.

В качестве примера позвольте $F_{2}$ — свободная группа с двумя образующими. Тогда каждое отображение образующих $F_{2}$ продолжается до гомоморфизма

$F_{2}\rightarrow S_{n},$

то есть

$h_{n}(F_{2})=(n!)^{2}.$

Из этого мы делаем вывод

$s_{n}(F_{2})\sim n\cdot n!.$

Для более сложных примеров оценка $h_{n}(G)$ включает в себя теорию представлений и статистические свойства симметричных групп .