Кривизна пространства и времени, введение в геометрический анализ
«Кривизна пространства и времени с введением в геометрический анализ» — это учебник для студентов-математиков и физиков по дифференциальной геометрии , посвященный приложениям к общей теории относительности . Оно было написано Ивой Ставровой на основе курса, который она преподавала в Математическом институте Парк-Сити в 2013 году, а затем в колледже Льюиса и Кларка . [1] [2] и был опубликован в 2020 году Американским математическим обществом как часть серии книг «Студенческая математическая библиотека». [1]
Темы
[ редактировать ]Книга «Искривление пространства и времени» разделена на пять глав по 14 разделов, каждый из которых охватывает материал одной лекции. [1] Его темы освещены как математически, так и исторически со ссылкой на оригинальный исходный материал Бернхарда Римана и других. [3] Однако он намеренно избегает некоторых тем дифференциальной топологии , которые традиционно рассматривались в курсах дифференциальной геометрии, включая абстрактные многообразия и касательные векторы . [2] Вместо этого он приближается к предмету через геометрию, основанную на координатах, подчеркивая величины, которые инвариантны при изменении координат. Его цели включают в себя как предоставление студентам сокращенного пути к пониманию математики Эйнштейна, так и продвижение кривизны как основного способа описания формы и геометрии. [4]
В первой главе римановы многообразия определяются как вложенные подмножества евклидовых пространств, а не как абстрактные пространства. Он использует символы Кристоффеля для формулирования дифференциальных уравнений являются геодезические : , решениями которых [1] и описывает формулу Кошуля и функционал энергии [3] Примеры включают евклидову метрику , сферическую геометрию , проективную геометрию и полуплоскую модель Пуанкаре гиперболической плоскости . [1] [2] Глава 2 включает векторные поля , градиенты , дивергенции , [2] производные по направлению , тензорное исчисление , [1] Брекеты лжи , [3] Тождества Грина , принцип максимума и связь Леви-Чивита . [2] Здесь начинается обсуждение кривизны и тензора кривизны Римана , которое продолжается в главе 3. [1] [3] «сердце книги», [4] чьи темы включают поля Якоби , кривизну Риччи , скалярную кривизну , [2] Теорема Майерса , неравенство Бишопа–Громова и параллельный транспорт . [4]
После этих математических предисловий последние две главы являются более физическими: четвертая глава посвящена специальной теории относительности , общей теории относительности , метрике Шварцшильда и т. д . [1] и координаты Крускала–Секереша . [3] Темы последней главы включают геометрический анализ , уравнение Пуассона для потенциальных полей распределения зарядов и массу в общей теории относительности . [1]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Как обычно для учебника, в «Кривизне пространства и времени» есть упражнения, которые расширяют охват тем и делают его пригодным в качестве текста для курсов бакалавриата.Хотя существует множество учебников по дифференциальной геометрии для студентов бакалавриата, в них, как правило, используется абстрактный математический взгляд на предмет, и на момент публикации « Кривизны пространства и времени» курсы, основанные на этом материале, несколько вышли из моды. Эта книга необычна тем, что в ней используется более прямой подход к тем частям предмета, которые наиболее важны для физики. Однако, хотя он пытается охватить этот материал самодостаточно, рецензент Марк Хуначек предупреждает, что он может быть слишком сложным для типичных студентов-математиков и, возможно, лучше предназначен для студентов-отличников, а также «математически сложных специалистов по физике». Он также предлагает книгу в качестве введения в эту область для исследователей, занимающихся другими темами. [1]
Рецензент Ханс-Берт Радемахер называет эту книгу «замечательной книгой» с «превосходной мотивацией и идеями», но предлагает ее в качестве дополнения к стандартным текстам и курсам, а не в качестве основной основы для преподавания этого материала. [2] И хотя рецензент Джастин Корвино находит недостатки в некоторых деталях, он предполагает, что под руководством преподавателей по этим трудным местам книга подойдет как для самостоятельного изучения, так и для курса по продвинутым темам, а также станет «обязательной литературой» для студентов, увлеченных изучением математики. за теориями Эйнштейна. [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж Хуначек, Марк (октябрь 2021 г.), «Обзор кривизны пространства и времени » , MAA Reviews , Математическая ассоциация Америки
- ^ Перейти обратно: а б с д и ж г Радемахер, Ханс-Берт, «Обзор кривизны пространства и времени », zbMATH , Zbl 1472.83001
- ^ Перейти обратно: а б с д и Сучава, Богдан Д. (июль 2021 г.), «Обзор кривизны пространства и времени », The Mathematical Intelligencer , doi : 10.1007/s00283-021-10108-3 , S2CID 253818213
- ^ Перейти обратно: а б с д Корвино, Джастин (сентябрь 2021 г.), «Обзор кривизны пространства и времени », The American Mathematical Monthly , 128 (8): 764–768, doi : 10.1080/00029890.2021.1945378 , S2CID 237609917