Комплексная группа отражений

В математике комплексная группа отражений — это конечная группа, действующая в конечномерном комплексном векторном пространстве , которое порождается комплексными отражениями : нетривиальными элементами, которые поточечно фиксируют комплексную гиперплоскость .

Комплексные группы отражений возникают при изучении теории инвариантов полиномов колец . В середине 20 века они были полностью засекречены в работах Шепарда и Тодда. Особые случаи включают симметрическую группу перестановок, группы диэдра и, в более общем смысле, все конечные вещественные группы отражений ( группы Кокстера или группы Вейля , включая группы симметрии правильных многогранников ).

Определение [ править ]

(Комплексное) отражение r (иногда также называемое псевдоотражением или унитарным отражением ) конечномерного комплексного векторного пространства V — это элемент $r\in GL(V)$ конечного порядка, который поточечно фиксирует комплексную гиперплоскость, т. е. фиксированное пространство $\operatorname {Fix} (r):=\operatorname {ker} (r-\operatorname {Id} _{V})$ имеет коразмерность 1.

( конечная ) комплексная группа отражений $W\subseteq GL(V)$ является конечной подгруппой $GL(V)$ который создается отражениями.

Свойства [ править ]

Любая реальная группа отражений становится комплексной группой отражений, если мы расширим скаляры от Р до С. от В частности, все конечные группы Кокстера или группы Вейля дают примеры комплексных групп отражений.

Комплексная группа отражений W неприводима , если единственным W -инвариантным собственным подпространством соответствующего векторного пространства является начало координат. размерность векторного пространства называется рангом W. В этом случае

Число Кокстера $h$ неприводимой комплексной группы отражений W ранга $n$ определяется как $h={\frac {|{\mathcal {R}}|+|{\mathcal {A}}|}{n}}$ где ${\mathcal {R}}$ обозначает набор отражений и ${\mathcal {A}}$ обозначает множество отражающих гиперплоскостей.В случае вещественных групп отражений это определение сводится к обычному определению числа Кокстера для конечных систем Кокстера.

Классификация [ править ]

Любая комплексная группа отражений является произведением неприводимых комплексных групп отражений, действующих на сумму соответствующих векторных пространств. ^[1] Поэтому достаточно классифицировать неприводимые комплексные группы отражений.

Неприводимые комплексные группы отражений были классифицированы Г. К. Шепардом и Дж. А. Тоддом ( 1954 ). Они доказали, что каждая неприводимая принадлежит бесконечному семейству G ( m , p , n ), зависящему от трех целочисленных положительных параметров (с p, делящим m ), или является одним из 34 исключительных случаев, которые они пронумеровали от 4 до 37. ^[2] Группа G ( m , 1, n ) — обобщенная симметрическая группа ; эквивалентно, это сплетение симметрической группы Sym( n ) с циклической группой порядка m . В качестве группы матриц ее элементы могут быть реализованы как мономиальные матрицы, ненулевые элементы которых являются корнями m -й степени из единицы .

Группа G ( m , p , n ) является подгруппой индекса p группы G ( m , 1, n ). G ( m , p , n ) имеет порядок m ^нн !/ п . В качестве матриц его можно реализовать как подмножество, в котором произведение ненулевых элементов представляет собой корень ( m / p )-й степени из единицы (а не просто корень m -й степени). Алгебраически G ( m , p , n ) является полупрямым произведением абелевой группы порядка m. ^н/ p симметричной группой Sym( n ); элементы абелевой группы имеют вид ( θ ¹, я ^a_а2, ..., я ^н), где θ — примитивный корень m-й степени из единицы и Σ a _i ≡ 0 mod p , а Sym( n ) действует перестановками координат. ^[3]

Группа G ( m , p , n ) действует неприводимо на C ^н за исключением случаев m = 1, n > 1 (симметрическая группа) и G (2, 2, 2) ( четверка Клейна ). В этих случаях С ^н распадается как сумма неприводимых представлений размерностей 1 и n - 1.

Особые случаи G ( m , p , n ) [ править ]

Группы Кокстера [ править ]

Когда m = 2, представление, описанное в предыдущем разделе, состоит из матриц с вещественными элементами, и, следовательно, в этих случаях G ( m , p , n ) является конечной группой Кокстера. В частности: ^[4]

G (1, 1, n ) имеет тип A _{n −1} = [3,3,...,3,3] = ... ; симметрическая группа порядка n !
G (2, 1, n ) имеет тип B _n = [3,3,...,3,4] = ... ; гипероктаэдрическая группа второго порядка ^нн !
G (2, 2, n ) имеет тип D _n = [3,3,...,3 ^1,1] = ... , заказ 2 ^нн !/2.

Кроме того, когда m = p и n = 2, группа G ( p , p , 2) является группой диэдра порядка 2 p ; как группа Кокстера, введите I ₂ ( p ) = [ p ] = (и группа Вейля G ₂ при p = 6).

Другие особые случаи и совпадения [ править ]

Единственные случаи, когда две группы G ( m , p , n ) изоморфны как комплексные группы отражений. ^{[ нужны разъяснения ]} заключаются в том, что G ( ma , pa , 1) изоморфна G ( mb , pb , 1) для любых натуральных чисел a , b (и оба изоморфны циклической группе порядка m / p ). Однако бывают и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы.

Группы G (3, 3, 2) и G (1, 1, 3) изоморфны симметрической группе Sym(3). Группы G (2, 2, 3) и G (1, 1, 4) изоморфны симметрической группе Sym(4). И G (2, 1, 2), и G (4, 4, 2) изоморфны группе диэдра порядка 8. А группы G (2 p , p , 1) циклические порядка 2, как и G ( 1, 1, 2).

Список неприводимых комплексных групп отражений

В первых трёх строках этого списка есть несколько дубликатов; подробности см. в предыдущем разделе.

ST — число Шепарда–Тодда группы отражений.
Ранг — это размерность комплексного векторного пространства, в котором действует группа.
Структура описывает структуру группы. Символ * обозначает центральный продукт двух групп. Для ранга 2 фактор по (циклическому) центру представляет собой группу вращений тетраэдра, октаэдра или икосаэдра ( T = Alt(4), O = Sym(4), I = Alt(5) порядка 12. , 24, 60), как указано в табл. Для обозначения 2 ¹⁺⁴, см. дополнительную специальную группу .
Порядок – это количество элементов группы.
Reflections описывает количество отражений: 2 ⁶4 ¹² означает, что имеется 6 отражений 2-го порядка и 12 4-го порядка.
Степени дают степени фундаментальных инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группы номер 4 образуют кольцо многочленов с двумя образующими степеней 4 и 6.

СТ	Классифицировать	Структура и названия	Имена Кокстера	Заказ	Размышления	Степени	Состепени
1	п -1	Симметричная группа G (1,1, n ) = Sym( n )		н !	2 ^{п ( п - 1)/2}	2, 3, ..., н	0,1,..., п - 2
2	н	грамм ( м , п , п ) м > 1, п > 1, п \| m ( G (2,2,2) приводима)		м ^нн !/ п	2 ^{мн ( п -1)/2}, д ^{п φ( d )} ( д \| м / п , д > 1)	м ,2 м ,..,( п - 1) м ; мин / п	0, m ,..., ( n − 1) m, если p < m ; 0, м ,...,( п - 2) м , ( п - 1) м - п, если р = м
2	2	G ( p ,1,2) p > 1,	p[4]2 или	2 р ²	2 ^п, д ^{2φ( д )} ( д \| п , д > 1)	п ; 2р	0, п
2	2	Группа диэдра G ( p , p ,2) p > 2	[ п ] или	2 р	2 ^п	2, с	0, п-2
3	1	Циклическая группа G ( p ,1,1) = Z _p	п [] или	п	д ^{φ( д )} ( д \| п , д > 1)	п	0
4	2	W( ₎ , Z2 _L2 . Т	3[3]3 или , ⟨2,3,3⟩	24	3 ⁸	4,6	0,2
5	2	З ₆ . Т	3[4]3 или	72	3 ¹⁶	6,12	0,6
6	2	З ₄ . Т	3[6]2 или	48	2 ⁶3 ⁸	4,12	0,8
7	2	З ₁₂ . Т	‹3,3,3› ₂ или ⟨2,3,3⟩ ₆	144	2 ⁶3 ¹⁶	12,12	0,12
8	2	З ₄ . О	4[3]4 или	96	2 ⁶4 ¹²	8,12	0,4
9	2	З ₈ . О	4[6]2 или или ⟨2,3,4⟩ ₄	192	2 ¹⁸4 ¹²	8,24	0,16
10	2	З ₁₂ . О	4[4]3 или	288	2 ⁶3 ¹⁶4 ¹²	12,24	0,12
11	2	С ₂₄ . О	⟨2,3,4⟩ ₁₂	576	2 ¹⁸3 ¹⁶4 ¹²	24,24	0,24
12	2	Z ₂. O = GL ₂( F ₃)	⟨2,3,4⟩	48	2 ¹²	6,8	0,10
13	2	З ₄ . О	⟨2,3,4⟩ ₂	96	2 ¹⁸	8,12	0,16
14	2	З ₆ . О	3[8]2 или	144	2 ¹²3 ¹⁶	6,24	0,18
15	2	З ₁₂ . О	⟨2,3,4⟩ ₆	288	2 ¹⁸3 ¹⁶	12,24	0,24
16	2	З ₁₀ . Я , ⟨2,3,5⟩ × Z ₅	5[3]5 или	600	5 ⁴⁸	20,30	0,10
17	2	З ₂₀ . я	5[6]2 или	1200	2 ³⁰5 ⁴⁸	20,60	0,40
18	2	З ₃₀ . я	5[4]3 или	1800	3 ⁴⁰5 ⁴⁸	30,60	0,30
19	2	З ₆₀ . я	⟨2,3,5⟩ ₃₀	3600	2 ³⁰3 ⁴⁰5 ⁴⁸	60,60	0,60
20	2	З ₆ . я	3[5]3 или	360	3 ⁴⁰	12,30	0,18
21	2	З ₁₂ . я	3[10]2 или	720	2 ³⁰3 ⁴⁰	12,60	0,48
22	2	З ₄ . я	⟨2,3,5⟩ ₂	240	2 ³⁰	12,20	0,28
23	3	W(H ₃ ) = Z ₂ × PSL ₂ (5)	[5,3],	120	2 ¹⁵	2,6,10	0,4,8
24	3	W(J ₃ (4)) = Z ₂ × PSL ₂ (7), Клейн	[1 1 1 ⁴] ⁴,	336	2 ²¹	4,6,14	0,8,10
25	3	W(L ₃ ) = W(P ₃ ) = 3 ¹⁺².SL ₂ (3) Гессен	3[3]3[3]3,	648	3 ²⁴	6,9,12	0,3,6
26	3	W(M ₃ ) = Z ₂ ×3 ¹⁺².SL ₂ (3) Гессен	2[4]3[3]3,	1296	2 ⁹ 3 ²⁴	6,12,18	0,6,12
27	3	W(J ₃ (5)) = Z ₂ ×( Z ₃ .Alt(6)), Валентина	[1 1 1 ⁵] ⁴, [1 1 1 ⁴] ⁵,	2160	2 ⁴⁵	6,12,30	0,18,24
28	4	W(F ₄ ) = (SL ₂ (3)* SL ₂ (3)).( Z ₂ × Z ₂ )	[3,4,3],	1152	2 ¹²⁺¹²	2,6,8,12	0,4,6,10
29	4	W(N ₄ ) = ( Z ₄ *2 ^{1 + 4}).Сим(5)	[1 1 2] ⁴,	7680	2 ⁴⁰	4,8,12,20	0,8,12,16
30	4	W(H ₄ ) = (SL ₂ (5)*SL ₂ (5)). З ₂	[5,3,3],	14400	2 ⁶⁰	2,12,20,30	0,10,18,28
31	4	W(EN ₄ ) = W(O ₄ ) = ( Z ₄ *2 ^1 + 4).Sp ₄ (2)		46080	2 ⁶⁰	8,12,20,24	0,12,16,28
32	4	W(L ₄ ) = Z ₃ × Sp ₄ (3)	3[3]3[3]3[3]3,	155520	3 ⁸⁰	12,18,24,30	0,6,12,18
33	5	W(K ₅ ) = Z ₂ × Ω ₅ (3) = Z ₂ × PSp ₄ (3) = Z ₂ × PSU ₄ (2)	[1 2 2] ³,	51840	2 ⁴⁵	4,6,10,12,18	0,6,8,12,14
34	6	W _K6 ) Z3.Ом ₌ ( ⁻ ₆ (3). Z ₂ , группа Митчелла	[1 2 3] ³,	39191040	2 ¹²⁶	6,12,18,24,30,42	0,12,18,24,30,36
35	6	W(E ₆ ) = SO ₅ (3) = О ⁻ ₆ (2) = ПСп ₄ (3). З ₂ = БП ₄ (2). З ₂	[3 ^2,2,1],	51840	2 ³⁶	2,5,6,8,9,12	0,3,4,6,7,10
36	7	W(E ₇ ) = Z ₂ ×Sp ₆ (2)	[3 ^3,2,1],	2903040	2 ⁶³	2,6,8,10,12,14,18	0,4,6,8,10,12,16
37	8	W(E ₈ )= Z ₂ .O ⁺ ₈(2)	[3 ^4,2,1],	696729600	2 ¹²⁰	2,8,12,14,18,20,24,30	0,6,10,12,16,18,22,28

Дополнительную информацию, включая диаграммы, презентации и костепени сложных групп отражений, см. в таблицах (Michel Broué, Gunter Malle & Raphaël Rouquier, 1998 ).

Степени [ править ]

Шепард и Тодд доказали, что конечная группа, действующая в комплексном векторном пространстве, является комплексной группой отражений тогда и только тогда, когда ее кольцо инвариантов является кольцом многочленов ( теорема Шевалле-Шепарда-Тодда ). Для $\ell$ будучи рангом группы отражения, степени $d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }$ образующих кольца инвариантов называются степенями W и перечислены в столбце выше, озаглавленном «степени». Они также показали, что многие другие инварианты группы определяются степенями следующим образом:

Центр неприводимой группы отражений является циклическим, порядка наибольшего общего делителя степеней.
Порядок комплексной группы отражений является произведением ее степеней.
Число отражений равно сумме степеней минус ранг.
Неприводимая комплексная группа отражений возникает из вещественной группы отражений тогда и только тогда, когда она имеет инвариант степени 2.
Степени d _i удовлетворяют формуле $\prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.$

Костепени [ править ]

Для $\ell$ будучи рангом группы отражения, костепени $d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}$ W может быть определен как $\prod _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*}-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.$

Для реальной группы отражений костепенью являются степени минус 2.
Число гиперплоскостей отражения равно сумме костепеней плюс ранг.

Хорошо сгенерированные сложные группы отражений [ править ]

По определению, каждая комплексная группа отражений порождается своими отражениями. Однако набор отражений не является минимальным порождающим набором, и каждая неприводимая комплексная группа отражений ранга $n$ имеет минимальный порождающий набор, состоящий либо из $n$ , либо $из n + 1$ отражений. В первом случае говорят, что группа хорошо сгенерирована .

Свойство корректности эквивалентно условию $d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }$ для всех $1\leq i\leq \ell$ . Так, например, из классификации можно прочитать, что группа $G (m, p, n)$ корректно порождена тогда и только тогда, когда p = 1 или m .

Для неприводимых хорошо порожденных комплексных групп отражений число Кокстера $h,$ определенное выше, равно наибольшей степени: $h=d_{\ell }$ . Приводимая комплексная группа отражений называется корректно порожденной, если она является произведением неприводимых корректно порожденных комплексных групп отражений. Каждая конечная вещественная группа отражений корректно порождена.

Группы пастырей [ править ]

Хорошо сгенерированные комплексные группы отражений включают подмножество, называемое группами Шепарда . Эти группы являются группами симметрии правильных комплексных многогранников . В частности, к ним относятся группы симметрии правильных вещественных многогранников. Группы Шепарда можно охарактеризовать как группы комплексного отражения, допускающие представление «по типу Кокстера» с помощью линейной диаграммы. То есть с группой Шепарда связаны положительные целые числа $p 1, ..., p n$ и $q 1, ..., q n - 1$ такие, что существует порождающий набор $s 1, ..., s n,$ удовлетворяющий соотношениям

(s_{i})^{p_{i}}=1

для

i = 1,..., n

,

s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}

если

|i-j|>1

,

и

s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots

где продукты с обеих сторон имеют

q i

членов, для

i = 1, ..., n - 1

.

Эта информация иногда собирается в символе типа Кокстера $p 1 [q 1] p 2 [q 2] ... [q n - 1] p n$ , как показано в таблице выше.

Среди групп бесконечного семейства $G (m, p, n)$ группами Шепарда являются те, в которых $p = 1$ . Также существует 18 исключительных групп Шепардов, из которых три настоящие. ^[5]^[6]

Матрицы Картана [ править ]

Расширенная матрица Картана определяет унитарную группу. Группы Шепарда ранга n имеют n образующих.Обычные матрицы Картана имеют диагональные элементы 2, а унитарные отражения такого ограничения не имеют. ^[7]Например, группа ранга 1 порядка p (с символами p[], ) определяется матрицей $\times 1$ 1 $\left[1-e^{2\pi i/p}\right]$ .

Данный: $\zeta _{p}=e^{2\pi i/p},\omega =\zeta _{3}=e^{2\pi i/3}={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}}),\zeta _{4}=e^{2\pi i/4}=i,\zeta _{5}=e^{2\pi i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}),\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ .

1 место
Группа		Картан	Группа		Картан
2[]		$\left[{\begin{matrix}2\end{matrix}}\right]$	3[]		$\left[{\begin{matrix}1-\omega \end{matrix}}\right]$
4[]		$\left[{\begin{matrix}1-i\end{matrix}}\right]$	5[]		$\left[{\begin{matrix}1-\zeta _{5}\end{matrix}}\right]$

2-й ранг
Группа		Картан	Группа		Картан
Г ₄	3[3]3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-\omega &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	Г ₅	3[4]3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-2\omega &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$
Г ₆	2[6]3	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\omega +i\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	Г ₈	4[3]4	$\left[{\begin{smallmatrix}1-i&1\\-i&1-i\end{smallmatrix}}\right]$
G_G9	2[6]4	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\(1+{\sqrt {2}})\zeta _{8}&1+i\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₁₀	3[4]4	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-i-\omega &1-i\end{smallmatrix}}\right]$
Г ₁₄	3[8]2	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\1-\omega +\omega ^{2}{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₁₆	5[3]5	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\zeta _{5}&1\\-\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$
Г ₁₇	2[6]5	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\zeta _{5}-i\zeta ^{3}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₁₈	3[4]5	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\-\omega -\zeta _{5}&1-\zeta _{5}\end{smallmatrix}}\right]$
G_G20	3[5]3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &1\\\omega (\tau -2)&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$	Г ₂₁	2[10]3	$\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1-\omega -i\omega ^{2}\tau &1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$

3-й ранг
Группа		Картан	Группа		Картан
Г ₂₂	<5,3,2> ₂	$\left[{\begin{smallmatrix}2&\tau +i-1&-i+1\\-\tau -i-1&2&i\\i-1&-i&2\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₂₃	[5,3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &0\\-\tau &2&-1\\0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$
Г ₂₄	[1 1 1 ⁴] ⁴	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&-\lambda \\-1&2&-1\\1+\lambda &-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₂₅	3[3]3[3]3	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}\\0&\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$
Г ₂₆	3[3]3[4]2	$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &-\omega ^{2}&0\\\omega ^{2}&1-\omega &-1\\0&-1+\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₂₇	[1 1 1 ⁵] ⁴	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &-\omega \\-\tau &2&-\omega ^{2}\\-\omega ^{2}&\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$

Ранг 4
Группа			Картан	Группа			Картан
Г ₂₈	[3,4,3]		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₂₉	[1 1 2] ⁴		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0\\-1&2&-i&0\\-i+1&i&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$
Г ₃₀	[5,3,3]		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-\tau &0&0\\-\tau &2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₃₂	3[3]3[3]3		$\left[{\begin{smallmatrix}1-\omega &\omega ^{2}&0&0\\-\omega ^{2}&1-\omega &-\omega ^{2}&0\\0&\omega ^{2}&1-\omega &\omega ^{2}\\0&0&-\omega ^{2}&1-\omega \end{smallmatrix}}\right]$

5-й ранг
Группа			Картан	Группа			Картан
Г ₃₁	О ₄		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&i+1&0&-i+1\\-1&2&-i&0&0\\-i+1&i&2&-1&-i+1\\0&0&-1&2&-1\\i+1&0&i+1&-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	Г ₃₃	[1 2 2] ³		$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&-1&0\\0&-1&2&-\omega &0\\0&-1&-\omega ^{2}&2&-\omega ^{2}\\0&0&0&-\omega &2\end{smallmatrix}}\right]$

См. также [ править ]

Параболическая подгруппа группы отражений

Ссылки [ править ]

^ Лерер и Тейлор, Теорема 1.27.
^ Лерер и Тейлор, с. 271.
^ Лерер и Тейлор, Раздел 2.2.
^ Лерер и Тейлор, Пример 2.11.
^ Питер Орлик , Виктор Райнер, Энн В. Шеплер. Знаковое представление групп Шепарда . Математические Аннален . Март 2002 г., том 322, выпуск 3, стр. 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
^ Коксетер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, 1974.
^ Унитарные группы отражения, стр. 91-93.

Бруэ, Мишель ; Малле, Гюнтер; Рукье, Рафаэль (1995), «О группах комплексных отражений и связанных с ними группах кос» (PDF) , Представления групп (Banff, AB, 1994) , CMS Conf. Учеб., вып. 16, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–13, MR 1357192.
Бруэ, Мишель ; Малле, Гюнтер; Рукье, Рафаэль (1998), «Комплексные группы отражений, группы кос, алгебры Гекке», Журнал чистой и прикладной математики , 1998 (500): 127–190, CiteSeerX 10.1.1.128.2907 , doi : 10.1515/crll.1998.064 , ISSN 0075-4102 , МР 1637497
Делинь, Пьер (1972), «Постройки обобщенных групп кос», Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007/BF01406236 , ISSN 0020-9910 , MR 0422673 , S2CID 123680847
Хиллер, Говард Геометрия групп Кокстера. Исследовательские заметки по математике, 54. Питман (Программа расширенных публикаций), Бостон, Массачусетс – Лондон, 1982. iv+213 стр. ISBN 0-273-08517-4 *
Лерер, Густав И.; Тейлор, Дональд Э. (2009), Унитарные группы отражения , Серия лекций Австралийского математического общества, том. 20, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-74989-3 , МР 2542964
Шепард, GC; Тодд, Дж. А. (1954), «Конечные унитарные группы отражений» , Canadian Journal of Mathematics , 6 , Канадское математическое общество: 274–304, doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , ISSN 0008-414X , MR 0059914 , S2CID 3342221
Коксетер , Конечные группы, порожденные унитарными отражениями , 1966, 4. Графические обозначения , Таблица n-мерных групп, порожденных n унитарными отражениями. стр. 422–423

Внешние ссылки [ править ]

системы вычислительной алгебры MAGMA Страница

[1] Лерер и Тейлор, Теорема 1.27.

[2] Лерер и Тейлор, с. 271.

[3] Лерер и Тейлор, Раздел 2.2.

[4] Лерер и Тейлор, Пример 2.11.

[5] Питер Орлик , Виктор Райнер, Энн В. Шеплер. Знаковое представление групп Шепарда . Математические Аннален . Март 2002 г., том 322, выпуск 3, стр. 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]

[6] Коксетер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, 1974.

[7] Унитарные группы отражения, стр. 91-93.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]