Кристаллографическая точечная группа
В кристаллографии кристаллографическая точечная группа — это трехмерная точечная группа , операции симметрии которой совместимы с трехмерной кристаллографической решеткой . По кристаллографическому ограничению он может содержать только одно-, двух-, трех-, четырех- и шестикратные повороты или ротоинверсии. Это уменьшает количество кристаллографических точечных групп до 32 (из бесконечного числа общих точечных групп). Эти 32 группы тождественны 32 типам морфологической (внешней) кристаллической симметрии, выведенным в 1830 году Иоганном Фридрихом Христианом Гесселем из рассмотрения наблюдаемых кристаллических форм.
В классификации кристаллов каждой пространственной группе сопоставляют кристаллографическую точечную группу путем «забывания» трансляционных составляющих операций симметрии. То есть, превращая вращения винта во вращения, скольжение отражений в отражения и перемещение всех элементов симметрии в начало координат. Каждая кристаллографическая точечная группа определяет (геометрический) кристаллический класс кристалла.
Точечная группа кристалла определяет, среди прочего, направленное изменение физических свойств, возникающих из его структуры, включая оптические свойства, такие как двойное лучепреломление , или электрооптические особенности, такие как эффект Поккельса .
Обозначения
[ редактировать ]Группы точек названы в соответствии с симметрией их компонентов. Существует несколько стандартных обозначений, используемых кристаллографами, минералогами и физиками .
Чтобы узнать о соответствии двух систем ниже, см. Кристаллическую систему .
Обозначение Шенфлиса
[ редактировать ]В нотации Шенфлиса группы точек обозначаются буквенным символом с индексом. Символы, используемые в кристаллографии, означают следующее:
- C n (для циклического ) указывает на то, что группа имеет ось вращения n -кратного порядка. C nh — это C n с добавлением зеркальной (отражательной) плоскости, перпендикулярной оси вращения . C nv — это C n с добавлением n зеркальных плоскостей, параллельных оси вращения.
- S 2n (от Spiegel , по-немецки зеркало ) обозначает группу только с 2n -кратной осью вращения-отражения .
- D n (для двугранного или двустороннего) указывает, что группа имеет ось вращения n-го порядка плюс n осей двойного порядка, перпендикулярных этой оси. D nh Кроме того, имеет зеркальную плоскость, перпендикулярную оси n -кратности. D nd имеет, помимо элементов D n , зеркальные плоскости, параллельные оси n -кратности.
- Буква Т (от тетраэдра ) указывает на то, что группа имеет симметрию тетраэдра. T d включает в себя неправильные операции вращения, T исключает неправильные операции вращения, а Th представляет собой T с добавлением инверсии.
- Буква О (от октаэдра ) указывает на то, что группа имеет симметрию октаэдра, с ( О h ) или без ( О ) неправильных операций (тех, которые меняют направленность).
Согласно кристаллографической ограничительной теореме n = 1, 2, 3, 4 или 6 в 2- или 3-мерном пространстве.
н | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
---|---|---|---|---|---|
С н | С 1 | С 2 | С 3 | С 4 | CС6 |
С нв | С 1в = С 1h | С 2 в | С 3В | С 4В | С 6в |
С нх | С 1 час | С 2 часа | С 3 часа | С 4 часа | С 6 часов |
Д н | Д 1 = С 2 | DД2 | Д 3 | Д 4 | Д 6 |
Д нх | Д 1h = С 2в | Д 2 часа | Д 3 часа | Д 4 часа | Д 6ч |
Д нд | Д 1д = С 2ч | Д 2д | Д 3д | Д 4д | Д 6д |
С 2н | SS2 | С 4 | SS6 | С 8 | С 12 |
D 4d и D 6d фактически запрещены, поскольку содержат неправильные вращения с n=8 и 12 соответственно. таблице плюс T , Td и , Th групп в , O Oh 27 точечных . составляют 32 кристаллографические точечные группы
Обозначения Германа – Могена
[ редактировать ]Сокращенная форма обозначений Германа – Могена, обычно используемая для пространственных групп, также служит для описания кристаллографических точечных групп. Названия групп
Кристальная семья | Кристаллическая система | Названия групп | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Кубический | 23 | m 3 | 432 | 4 3м | м 3 м | |||
Шестиугольный | Шестиугольный | 6 | 6 | 6 ⁄ m | 622 | 6 мм | 6 м2 | 6/ммм |
Треугольный | 3 | 3 | 32 | 3m | 3 m | |||
четырехугольный | 4 | 4 | 4 ⁄ m | 422 | 4 мм | 4 2 м | 4/ммм | |
орторомбический | 222 | мм2 | М-м-м | |||||
Моноклиника | 2 | 2 ⁄ m | м | |||||
Триклиника | 1 | 1 |
Соответствие между разными обозначениями
[ редактировать ]Кристальная семья | Кристаллическая система | Герман-Моген | Шубников [1] | Шенфлис | Орбифолд | Коксетер | Заказ | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(полный) | (короткий) | |||||||
Триклиника | 1 | 1 | С 1 | 11 | [ ] + | 1 | ||
1 | 1 | С я = S 2 | × | [2 + ,2 + ] | 2 | |||
Моноклиника | 2 | 2 | С 2 | 22 | [2] + | 2 | ||
м | м | С с = С 1h | * | [ ] | 2 | |||
2/м | С 2 часа | 2* | [2,2 + ] | 4 | ||||
орторомбический | 222 | 222 | D 2 = V | 222 | [2,2] + | 4 | ||
мм2 | мм2 | С 2 в | *22 | [2] | 4 | |||
М-м-м | Д 2h = V ч | *222 | [2,2] | 8 | ||||
четырехугольный | 4 | 4 | С 4 | 44 | [4] + | 4 | ||
4 | 4 | С 4 | 2× | [2 + ,4 + ] | 4 | |||
4/м | С 4 часа | 4* | [2,4 + ] | 8 | ||||
422 | 422 | Д 4 | 422 | [4,2] + | 8 | |||
4 мм | 4 мм | С 4В | *44 | [4] | 8 | |||
4 2 м | 4 2 м | Д 2д = В д | 2*2 | [2 + ,4] | 8 | |||
4/ммм | Д 4 часа | *422 | [4,2] | 16 | ||||
Шестиугольный | Треугольный | 3 | 3 | С 3 | 33 | [3] + | 3 | |
3 | 3 | С 3и = С 6 | 3× | [2 + ,6 + ] | 6 | |||
32 | 32 | Д 3 | 322 | [3,2] + | 6 | |||
3m | 3m | С 3В | *33 | [3] | 6 | |||
3 | 3 m | Д 3д | 2*3 | [2 + ,6] | 12 | |||
Шестиугольный | 6 | 6 | CС6 | 66 | [6] + | 6 | ||
6 | 6 | С 3 часа | 3* | [2,3 + ] | 6 | |||
6/м | С 6 часов | 6* | [2,6 + ] | 12 | ||||
622 | 622 | Д 6 | 622 | [6,2] + | 12 | |||
6 мм | 6 мм | С 6в | *66 | [6] | 12 | |||
6 м2 | 6 м2 | Д 3 часа | *322 | [3,2] | 12 | |||
6/ммм | Д 6ч | *622 | [6,2] | 24 | ||||
Кубический | 23 | 23 | Т | 332 | [3,3] + | 12 | ||
3 | m 3 | Т ч | 3*2 | [3 + ,4] | 24 | |||
432 | 432 | ТО | 432 | [4,3] + | 24 | |||
4 3м | 4 3м | Т д | *332 | [3,3] | 24 | |||
3 | м 3 м | Ой | *432 | [4,3] | 48 |
Изоморфизмы
[ редактировать ]Многие кристаллографические точечные группы имеют одинаковую внутреннюю структуру. Например, точечные группы 1 , 2 и m содержат разные операции геометрической симметрии (инверсию, вращение и отражение соответственно), но все они имеют общую структуру циклической группы C 2 . Все изоморфные группы имеют один и тот же порядок , но не все группы одного и того же порядка изоморфны. Точечные группы, которые изоморфны, показаны в следующей таблице: [2]
Герман-Моген | Шенфлис | Заказ | Абстрактная группа | |
---|---|---|---|---|
1 | С 1 | 1 | С 1 | |
1 | С я = S 2 | 2 | С 2 | |
2 | С 2 | 2 | ||
м | С с = С 1h | 2 | ||
3 | С 3 | 3 | С 3 | |
4 | С 4 | 4 | С 4 | |
4 | С 4 | 4 | ||
2/м | С 2 часа | 4 | Д 2 = С 2 × С 2 | |
222 | D 2 = V | 4 | ||
мм2 | С 2 в | 4 | ||
3 | С 3и = С 6 | 6 | CС6 | |
6 | CС6 | 6 | ||
6 | С 3 часа | 6 | ||
32 | Д 3 | 6 | Д 3 | |
3m | С 3В | 6 | ||
М-м-м | Д 2h = V ч | 8 | Д 2 × С 2 | |
4/м | С 4 часа | 8 | С 4 × С 2 | |
422 | Д 4 | 8 | Д 4 | |
4 мм | С 4В | 8 | ||
4 2 м | Д 2д = В д | 8 | ||
6/м | С 6 часов | 12 | С 6 × С 2 | |
23 | Т | 12 | A 4 | |
3 m | Д 3д | 12 | Д 6 | |
622 | Д 6 | 12 | ||
6 мм | С 6в | 12 | ||
6 м2 | Д 3 часа | 12 | ||
4/ммм | Д 4 часа | 16 | Д 4 × С 2 | |
6/ммм | Д 6ч | 24 | Д 6 × С 2 | |
m 3 | Т ч | 24 | А 4 × С 2 | |
432 | ТО | 24 | С 4 | |
4 3м | Т д | 24 | ||
м 3 м | Ой | 48 | С 4 × С 2 |
В этой таблице используются циклические группы (C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 6 ), группы диэдра (D 2 , D 3 , D 4 , D 6 ), одна из чередующихся групп (A 4 ), и одна из симметрических групп (S 4 ). Здесь символ «×» указывает на прямое произведение .
Вывод кристаллографической точечной группы (кристаллического класса) из пространственной группы
[ редактировать ]- Оставьте тип решетки Браве .
- Преобразуйте все элементы симметрии с трансляционными компонентами в соответствующие им элементы симметрии без трансляционной симметрии. (Плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости, оси винтов преобразуются в простые оси вращения.)
- Оси вращения, оси ротоинверсии и плоскости зеркал остаются неизменными.
См. также
[ редактировать ]- Молекулярная симметрия
- Группа точек
- Космическая группа
- Группы точек в трех измерениях
- Кристаллическая система
Ссылки
[ редактировать ]- ^ «(Международные таблицы) Аннотация» . Архивировано из оригинала 4 июля 2013 г. Проверено 25 ноября 2011 г.
- ^ Новак, Я (18 июля 1995 г.). «Молекулярный изоморфизм». Европейский журнал физики . 16 (4). Издательство ИОП: 151–153. Бибкод : 1995EJPh...16..151N . дои : 10.1088/0143-0807/16/4/001 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250887121 .