Отношения ортогональности Шура

В математике отношения ортогональности Шура , которые были доказаны Иссаи Шуром посредством леммы Шура , выражают центральный факт о представлениях конечных групп . Они допускают обобщение на случай компактных групп вообще и, в частности, на компактные группы Ли , такие как группа вращений SO(3) .

Конечные группы

Внутреннее заявление

Пространство группы комплекснозначных конечной функций класса G имеет : естественный продукт скалярный

$\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\alpha (g){\overline {\beta (g)}}$

где ${\overline {\beta (g)}}$ обозначает комплексно-сопряженное значение $\beta$ на г. ​По отношению к этому скалярному продукту неприводимые характеры образуют ортонормированный базис пространства функций класса, и это дает соотношение ортогональности для строк характерастол:

$\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}i\neq j,\\1&{\mbox{ if }}i=j.\end{cases}}$

Для $g,h\in G$, применение того же внутреннего продукта к столбцам таблицы символов дает:

$\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}\left|C_{G}(g)\right|&{\mbox{ if }}g,h{\mbox{ are conjugate }}\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}$

где сумма ведется по всем неприводимым характерам $\chi _{i}$ из $G$, и $\left|C_{G}(g)\right|$ обозначает порядок централизатора ​ ​ $g$. Обратите внимание: поскольку g и h сопряжены тогда и только тогда, когда они находятся в одном столбце таблицы символов, это означает, что столбцы таблицы символов ортогональны.

Отношения ортогональности могут помочь во многих вычислениях, включая:

• разложение неизвестного иероглифа как линейной комбинации неприводимых иероглифов;
• построение полной таблицы символов, когда известны только некоторые из неприводимых символов;
• нахождение порядков централизаторов представителей классов сопряженности группы; и
• найти порядок группы.

Заявление о координатах

Позволять $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}$ быть матричным элементом неприводимого матричного представления $\Gamma ^{(\lambda )}$ конечной группы $G=\{R\}$ порядка | Г |. Поскольку можно доказать, что любое матричное представление любой конечной группы эквивалентно унитарному представлению , мы предполагаем $\Gamma ^{(\lambda )}$ унитарен:

$\sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,$

где $l_{\lambda }$ - (конечная) размерность неприводимого представления $\Gamma ^{(\lambda )}$.

Отношения ортогональности , действительные только для матричных элементов неприводимых представлений:

$\sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.$

Здесь $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}$ представляет собой комплексное сопряжение $\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,$ и сумма ведется по всем элементам G . Кронекера Дельта $\delta _{\lambda \mu }$ равно 1, если матрицы находятся в одном неприводимом представлении $\Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}$. Если $\Gamma ^{(\lambda )}$ и $\Gamma ^{(\mu )}$ неэквивалентныэто ноль. Два других дельты Кронекера утверждают, что индексы строк и столбцов должны быть равны ( $n=n'$ и $m=m'$), чтобы получить ненулевой результат. Эта теорема также известна как Большая (или Великая) теорема ортогональности.

Каждая группа имеет идентификационное представление (все элементы группы сопоставлены с 1).Это неприводимое представление. Из великих соотношений ортогональности немедленно следует, что

$\sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0$

для $n,m=1,\ldots ,l_{\mu }$ и любое неприводимое представление $\Gamma ^{(\mu )}\,$ не равно представлению идентичности.

Пример группы перестановок на 3 объектах

3! перестановки трех объектов образуют группу порядка 6, обычно обозначаемую S ₃ ( симметричная группа степени три). Эта группа изоморфна точечной группе $C_{3v}$, состоящий из тройной оси вращения и трех вертикальных зеркальных плоскостей. Группы имеют двумерное неприводимое представление ( l = 2). В случае S3 _{это представление обычно} называютпо таблице Янга $\lambda =[2,1]$ и в случае $C_{3v}$обычно пишут $\lambda =E$. В обоих случаях представление состоит из следующих шести действительных матриц, каждая из которых представляет один элемент группы:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}$

Нормализация элемента (1,1):

$\sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.$

Таким же образом можно показать нормировку остальных элементов матрицы: (2,2), (1,2) и (2,1).Ортогональность элементов (1,1) и (2,2):

$\sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.$

Аналогичные соотношения справедливы и для ортогональности элементов (1,1), (1,2) и т. д.На примере легко убедиться, что все суммы соответствующих матричных элементов равны нулю из-заортогональность данного неприводимого представления тождественному представлению.

Прямые последствия

След матрицы представляет собой сумму диагональных элементов матрицы:

$\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}.$

Коллекция следов - это характер $\chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}$ представительства. Часто пишут дляслед матрицы в неприводимом представлении с характером $\chi ^{(\lambda )}$

$\chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right).$

В таких обозначениях можно записать несколько символьных формул:

$\sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,$

что позволяет нам проверить, является ли представление неприводимым. (Формула означает, что строки в любой таблице символов должны быть ортогональными векторами.)И

$\sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,$

что помогает нам определить, как часто неприводимое представление $\Gamma ^{(\lambda )}$ содержится в приводимом представлении $\Gamma \,$ с характером $\chi (R)$.

Например, если

$n^{(\lambda )}\,|G|=96$

и порядок группы

$|G|=24\,$

тогда сколько раз это $\Gamma ^{(\lambda )}\,$ содержится в заданном приводимое представление $\Gamma \,$ является

$n^{(\lambda )}=4\,.$

см. в разделе «Теория персонажей» Дополнительную информацию о групповых персонажах .

Компактные группы

Обобщение отношений ортогональности с конечных групп на компактные группы (которые включают компактные группы Ли, такие как SO (3)) в основном просто: замените суммирование по группе интегрированием по группе.

Каждая компактная группа $G$ имеет единственную биинвариантную меру Хаара , так что объем группы равен 1. Обозначим эту меру через $dg$. Позволять $(\pi ^{\alpha })$ — полный набор неприводимых представлений $G$, и пусть $\phi _{v,w}^{\alpha }(g)=\langle v,\pi ^{\alpha }(g)w\rangle$ быть матричным коэффициентом представления $\pi ^{\alpha }$. Тогда отношения ортогональности можно сформулировать в двух частях:

1) Если $\pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }$ затем

$\int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0$

2) Если $\{e_{i}\}$ является ортонормированным базисом пространства представления $\pi ^{\alpha }$ затем

$\int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g){\overline {\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)}}dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}{\frac {1}{d^{\alpha }}}$

где $d^{\alpha }$ это размерность $\pi ^{\alpha }$. Эти отношения ортогональности и тот факт, что все представления имеют конечные размеры, являются следствиями теоремы Питера – Вейля .

Пример: SO(3)

Примером группы параметров r = 3 является группа матриц SO(3), состоящая из всех ортогональных матриц 3 × 3 с единичным определителем . Возможная параметризация этой группы осуществляется в терминах углов Эйлера: $\mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )$ (см., например, эту статью, где описан явный вид элемента SO(3) через углы Эйлера). Границы $0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi$ и $0\leq \beta \leq \pi$.

Не только рецепт расчета элемента объема $\omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}$ зависит от выбранных параметров, но и конечный результат, т.е. аналитический вид весовой функции (меры) $\omega (\mathbf {x} )$.

Например, параметризация угла Эйлера SO (3) дает вес $\omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,$ а параметризация n, ψ дает вес $\omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,$с $0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi .$

Можно показать, что неприводимые матричные представления компактных групп Ли конечномерны и могут быть выбраны унитарными:

$\Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.$

С помощью сокращенных обозначений

$\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}$

отношения ортогональности принимают вид

$\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},$

с объемом группы:

$|G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.$

В качестве примера отметим, что неприводимыми представлениями SO(3) являются вигнеровские D-матрицы. $D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )$, которые имеют размерность $2\ell +1$. С

$|\mathrm {SO} (3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},$

они удовлетворяют

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.$

Ссылки

В любой физически или химически ориентированной книге по теории групп упоминаются отношения ортогональности. Следующие более продвинутые книги дают доказательства:

• М. Хамермеш, Теория групп и ее приложения к физическим проблемам , Аддисон-Уэсли, Ридинг (1962). (Перепечатано Дувром).
• У. Миллер-младший, Группы симметрии и их приложения , Academic Press, Нью-Йорк (1972).
• Дж. Ф. Корнуэлл, Теория групп в физике (Три тома), Том 1, Academic Press, Нью-Йорк (1997).

В следующих книгах даются более математически ориентированные трактовки:

• Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 13-20 . ISBN  0387901906 . ISSN   0072-5285 . ОСЛК   2202385 .
• Сенгупта, Амбар Н. (2012). Представление конечных групп. Полупростое введение . Спрингер. ISBN  978-1-4614-1232-8 . ОСЛК   875741967 .