Гипотеза Кеплера

Гипотеза Кеплера , названная в честь математика и астронома 17-го века Иоганна Кеплера , представляет собой математическую теорему об упаковке сфер в трехмерном евклидовом пространстве . В нем говорится, что ни одно расположение сфер одинакового размера , заполняющее пространство, не имеет большей средней плотности, чем у кубической плотной упаковки ( гранецентрированная кубическая ) и гексагональной плотной упаковки . Плотность этих расположений составляет около 74,05%.

В 1998 году Томас Хейлс , следуя подходу, предложенному Фейешем Тотом (1953) , объявил, что у него есть доказательство гипотезы Кеплера. Доказательство Хейлза — это исчерпывающее доказательство, включающее проверку множества отдельных случаев с использованием сложных компьютерных вычислений. Рецензенты заявили, что они «на 99% уверены» в правильности доказательства Хейлза, и гипотеза Кеплера была принята как теорема . В 2014 году команда проекта Flyspeck, возглавляемая Хейлсом, объявила о завершении формального доказательства гипотезы Кеплера с использованием комбинации помощников по доказательству Isabelle и HOL Light . В 2017 году формальное доказательство было принято журналом Forum of Mathematics, Pi .

Фон

Диаграммы кубической плотной упаковки (слева) и гексагональной плотной упаковки (справа).

Представьте себе, что вы наполняете большой контейнер маленькими сферами одинакового размера: скажем, фарфоровый кувшин с одинаковыми шариками. «Плотность» композиции равна общему объему всех шариков, разделенному на объем кувшина. Максимизировать количество шариков в кувшине означает создать расположение шариков между стенками и дном кувшина, имеющее максимально возможную плотность, чтобы шарики были упакованы вместе как можно плотнее.

Эксперимент показывает, что, бросая шарики в случайном порядке, не прилагая усилий для их плотного расположения, можно достичь плотности около 65%. Однако более высокой плотности можно добиться, если аккуратно расположить шарики следующим образом:

1. Для первого слоя шариков расположите их в виде шестиугольной решетки ( сотовый узор ).
2. Поместите следующий слой шариков в самые нижние промежутки, которые вы можете найти над и между шариками в первом слое, независимо от рисунка.
3. Продолжайте ту же процедуру заполнения самых нижних промежутков предыдущего слоя, третьего и остальных слоев, пока шарики не достигнут верхнего края кувшина.

На каждом этапе есть как минимум два варианта размещения следующего слоя, поэтому этот незапланированный метод укладки сфер создает несчетное бесконечное количество одинаково плотных упаковок. Наиболее известные из них называются кубической плотной упаковкой и гексагональной плотной упаковкой . Каждая из этих схем имеет среднюю плотность

${\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}=0.740480489\ldots$

Гипотеза Кеплера утверждает, что это лучшее, что можно сделать — никакое другое расположение шариков не имеет более высокой средней плотности: несмотря на то, что существует поразительно много возможных различных расположений, которые следуют той же процедуре, что и шаги 1–3, упаковка (согласно гипотезе Кеплера) невозможна. процедура или нет) возможно, в один кувшин можно поместить больше шариков.

Происхождение

Одна из диаграмм из Strena Seu de Nive Sexangula , иллюстрирующая гипотезу Кеплера.

Гипотезу впервые высказал Иоганн Кеплер ( 1611 ) в своей статье «О шестиугольной снежинке». Он начал изучать расположение сфер в результате переписки с английским математиком и астрономом Томасом Харриотом в 1606 году. Хэрриот был другом и помощником сэра Уолтера Рэли , который попросил Хэрриота найти формулы для подсчета сложенных друг на друга пушечных ядер, задание что, в свою очередь, заставило знакомого Рэли математика задуматься о том, как лучше всего складывать пушечные ядра. Харриот опубликовал исследование различных схем укладки в 1591 году и продолжил разработку ранней версии атомной теории .

Девятнадцатый век

У Кеплера не было доказательства гипотезы, и следующий шаг сделал Карл Фридрих Гаусс ( 1831 ), доказавший, что гипотеза Кеплера верна, если сферы приходится располагать в правильную решетку .

Это означало, что любая упаковка, опровергающая гипотезу Кеплера, должна была быть нерегулярной. Но исключить все возможные нерегулярные расположения очень сложно, и именно поэтому гипотезу Кеплера так трудно доказать. Фактически, существуют нерегулярные структуры, которые более плотны, чем кубическая плотная упаковка, в достаточно небольшом объеме, но теперь известно, что любая попытка расширить эти структуры для заполнения большего объема всегда снижает их плотность.

После Гаусса в девятнадцатом веке дальнейшего прогресса в доказательстве гипотезы Кеплера не произошло. В 1900 году Дэвид Гильберт включил ее в свой список двадцати трех нерешенных проблем математики — она составляет часть восемнадцатой проблемы Гильберта .

Двадцатый век

Следующий шаг к решению был сделан Ласло Фейешем Тотом . Фейес Тот (1953) показал, что проблема определения максимальной плотности всех расположений (правильных и нерегулярных) может быть сведена к конечному (но очень большому) числу вычислений. Это означало, что доказательство методом исчерпания в принципе было возможно. Как понял Фейеш Тот, достаточно быстрый компьютер мог бы превратить этот теоретический результат в практический подход к проблеме.

Тем временем предпринимались попытки найти верхнюю границу максимальной плотности любого возможного расположения сфер. Английский математик Клод Амброуз Роджерс (см. Роджерс (1958) ) установил верхнюю границу значения около 78%, а последующие усилия других математиков немного уменьшили это значение, но это все равно было намного больше, чем плотность кубической плотной упаковки, составляющая около 74%.

В 1990 году У И Сян заявил, что доказал гипотезу Кеплера. Доказательство получило высокую оценку Британской энциклопедии и науки , а Сян также был удостоен чести на совместных заседаниях AMS-MAA. Ву-И Сян ( 1993 , 2001 ) утверждал, что доказал гипотезу Кеплера, используя геометрические методы. Однако Габор Фейеш Тот (сын Ласло Фейеша Тота) заявил в своей рецензии на газету: «Что касается деталей, я считаю, что многие ключевые утверждения не имеют приемлемых доказательств». Хейлз (1994) дал подробную критику работы Сяна, на что Сян (1995) ответил. В настоящее время существует мнение, что доказательство Сяна неполно.

Доказательство Хейлза

Следуя предложенному подходу Ласло Фейес Тот , Томас Хейлс , работавший тогда в Мичиганском университете , определили, что максимальную плотность всех расположений можно найти путем минимизации функции со 150 переменными. В 1992 году при содействии своего аспиранта Сэмюэля Фергюсона он приступил к исследовательской программе по систематическому применению методов линейного программирования для нахождения нижней границы значения этой функции для каждой из набора, насчитывающего более 5000 различных конфигураций сфер. Если бы для каждой из этих конфигураций можно было найти нижнюю границу (значения функции), превышающую значение функции для кубической плотной упаковки, то гипотеза Кеплера была бы доказана. Чтобы найти нижние оценки для всех случаев, потребовалось решить около 100 000 задач линейного программирования.

Представляя ход своего проекта в 1996 году, Хейлз сказал, что конец уже близок, но для его завершения может потребоваться «год или два». В августе 1998 года Хейлз объявил, что доказательство завершено. На тот момент он состоял из 250 страниц заметок и 3 гигабайт компьютерных программ, данных и результатов.

Несмотря на необычность доказательства, редакторы «Анналов математики» согласились опубликовать его при условии, что оно будет принято комиссией из двенадцати рецензентов. В 2003 году, после четырех лет работы, руководитель рефери Габор Фейеш Тот сообщил, что комиссия «на 99% уверена» в правильности доказательства, но не смогла подтвердить правильность всех компьютерных расчетов. .

Хейлз (2005) опубликовал 100-страничную статью, подробно описывающую некомпьютерную часть своего доказательства. Хейлз и Фергюсон (2006) и несколько последующих статей описали вычислительные части. Хейлз и Фергюсон получили премию Фулкерсона за выдающиеся работы в области дискретной математики за 2009 год.

Формальное доказательство

В январе 2003 года Хейлз объявил о начале совместного проекта по полному формальному доказательству гипотезы Кеплера. Цель заключалась в том, чтобы устранить любую оставшуюся неопределенность в отношении достоверности доказательства путем создания формального доказательства, которое можно было бы проверить с помощью автоматизированного программного обеспечения для проверки доказательств, такого как HOL Light и Isabelle . Этот проект назывался Flyspeck — расширение аббревиатуры FPK, обозначающей формальное доказательство Кеплера . В начале этого проекта, в 2007 году, Хейлз подсчитал, что для создания полного формального доказательства потребуется около 20 лет работы. Хейлз опубликовал «план» формального доказательства в 2012 году; О завершении проекта было объявлено 10 августа 2014 года. статью под названием «Формальное доказательство гипотезы Кеплера» В январе 2015 года Хейлз и 21 его сотрудник опубликовали на arXiv , утверждая, что доказали эту гипотезу. В 2017 году формальное доказательство было принято журналом Forum of Mathematics .

Связанные проблемы

Туэ Теорема

Правильная шестиугольная упаковка — самая плотная упаковка кругов на плоскости (1890 г.). Плотность π ⁄ √ 12 .

Двумерный аналог гипотезы Кеплера; доказательство элементарно. Хенк и Циглер приписывают этот результат Лагранжу в 1773 г. (см. ссылки, стр. 770).

Простое доказательство Чау и Чанга от 2010 года использует триангуляцию Делоне для набора точек, которые являются центрами кругов в насыщенной упаковке кругов.

Гипотеза о шестиугольных сотах

Наиболее эффективным разбиением плоскости на равные площади является правильная шестиугольная мозаика.

Связано с теоремой Туэ.

Гипотеза о додекаэдре

Объем многогранника Вороного сферы в упаковке равных сфер не меньше объема правильного додекаэдра с вписанным радиусом 1. Доказательство Маклафлина: за что он получил премию Моргана 1999 года .

Связанная проблема, для доказательства которой используются методы, аналогичные доказательству Хейлза гипотезы Кеплера. Гипотеза Л. Фейеша Тота в 1950-х годах.

Проблема Кельвина

Какая пена наиболее эффективна в трех измерениях? Предполагалось, что эта проблема может быть решена с помощью структуры Кельвина , и в это широко верили на протяжении более 100 лет, пока она не была опровергнута в 1993 году открытием структуры Вейра-Фелана . Удивительное открытие структуры Вейра-Фелана и опровержение гипотезы Кельвина является одной из причин осторожности при принятии доказательства Хейлза гипотезы Кеплера.

Упаковка сфер в более высоких измерениях

В 2016 году Марина Вязовская объявила о доказательстве оптимальной упаковки сфер в размерности 8, что быстро привело к решению в размерности 24. Однако вопрос об оптимальной упаковке сфер в размерностях, отличных от 1, 2, 3, 8 и 24, все еще остается открытым.

Гипотеза упаковки Улама

Неизвестно, существует ли выпуклое тело, оптимальная плотность упаковки которого ниже, чем у сферы.

Ссылки

Публикации

• Асте, Томазо; Вейре, Денис (2000), В поисках идеальной упаковки , Бристоль: IOP Publishing Ltd., doi : 10.1887/0750306483 , ISBN  978-0-7503-0648-5 , МР   1786410
• Гаусс, Карл Ф. (1831), «Исследования свойств положительных троичных квадратичных форм Людвига Августа Зебера» , Научные объявления Геттингиша (108): 1065–1077
• Хейлз, Томас К. (2000), «Пушечные ядра и соты» , Уведомления Американского математического общества , 47 (4): 440–449, ISSN   0002-9920 , MR   1745624. Элементарное изложение доказательства гипотезы Кеплера.
• Хейлз, Томас К. (2005), «Доказательство гипотезы Кеплера», Annals of Mathematics , Second Series, 162 (3): 1065–1185, arXiv : math/9811078 , doi : 10.4007/annals.2005.162.1065 , ISSN   0003-486X , МР   2179728
• Хейлз, Томас К. (2006), «Исторический обзор гипотезы Кеплера», Дискретная и вычислительная геометрия , 36 (1): 5–20, doi : 10.1007/s00454-005-1210-2 , ISSN   0179-5376 , MR   2229657
• Хейлз, Томас К.; Фергюсон, Сэмюэл П. (2006), «Формулировка гипотезы Кеплера» (PDF) , Discrete & Computational Geometry , 36 (1): 21–69, arXiv : math/9811078 , doi : 10.1007/s00454-005-1211 -1 , ISSN   0179-5376 , МР   2229658 , С2КИД   6529590
• Хейлз, Томас К.; Фергюсон, Сэмюэл П. (2011), Гипотеза Кеплера: доказательство Хейлса-Фергюсона , Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-1-4614-1128-4
• Хейлз, Томас К. (2012), «Упаковки плотных сфер: план формальных доказательств», серия лекций Лондонского математического общества , 400 , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-61770-3
• Хенк, Мартин; Циглер, Гюнтер (2008), Гипотеза Кеплера , Математика. Проблемы и теоремы, вып. 2, Турин: Эйнауди
• Сян, Ву-И (1993), «О проблеме упаковки сфер и доказательстве гипотезы Кеплера», International Journal of Mathematics , 4 (5): 739–831, doi : 10.1142/S0129167X93000364 , ISSN   0129-167X , MR   1245351
• Сян, Ву-И (1995), «Ответ на статью Т. К. Хейлза: Статус гипотезы Кеплера », The Mathematical Intelligencer , 17 (1): 35–42, doi : 10.1007/BF03024716 , ISSN   0343-6993 , MR   1319992 , S2CID   119641512
• Сян, Ву-И (2001), Принцип наименьшего действия при образовании кристаллов плотной упаковки и гипотеза Кеплера , Nankai Tracts in Mathematics, vol. 3, Ривер-Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., doi : 10.1142/9789812384911 , ISBN  978-981-02-4670-9 , МР   1962807
• Кеплер, Иоганнес (1611), Strena seu de nive sexangula [ Шестиугольная снежинка ] (на латыни), Paul Dry Books, ISBN  978-1-58988-053-5 , МР   0927925
  • «О шестиугольной снежинке» . Открытие Кеплера . Архивировано из оригинала 19 декабря 2007 г.
• Хейлз, Томас К.; Маклафхин, Шон (2010), «Гипотеза о додекаэдре», Журнал Американского математического общества , 23 (2): 299–344, arXiv : math.MG/9811079 , Bibcode : 2010JAMS...23..299H , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00647-X
• Маршал, Кристиан (2011), «Исследование гипотезы Кеплера: проблема плотнейшей упаковки», Mathematische Zeitschrift , 267 (3–4): 737–765, doi : 10.1007/s00209-009-0644-2 , S2CID   122088451
• Роджерс, Калифорния (1958), «Упаковка равных сфер», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 8 (4): 609–620, doi : 10.1112/plms/s3-8.4.609 , ISSN   0024-6115 , МР   0102052
• Шпиро, Джордж Г. (2003), гипотеза Кеплера , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-08601-7 , МР   2133723
• Фейес Тот, Л. (1953), Положения на плоскости, на сфере и в пространстве , Основные принципы математических наук в отдельных представлениях с особым учетом областей применения, Том LXV, Берлин, Нью-Йорк: Springer- Верлаг , номер домена : 10.1007/978-3-642-65234-9 , ISBN.  978-3-642-65235-6 , МР   0057566

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Кеплера» . Математический мир .
• Титульный лист книги «О шестиугольной снежинке»
• Домашняя страница Томаса Хейлза
• Домашняя страница проекта Flyspeck
• Обзор доказательства Хейлза. Архивировано 27 сентября 2011 г. в Wayback Machine.
• Статья Даны Маккензи в журнале American Scientist
• Flyspeck I: Ручные графы, проверенное перечисление ручных плоских графов, определенное Томасом К. Хейлзом в его доказательстве гипотезы Кеплера.