Формализм Гупты – Блейлера

В квантовой теории поля формализм Гупты -Блейлера представляет собой способ квантования электромагнитного поля . Формулировка принадлежит физикам-теоретикам Сурадж Н. Гупта. и Конрад Блейлер .

Обзор

Во-первых, рассмотрим одиночный фотон . Базис гильбертовым однофотонного векторного пространства (ниже объясняется, почему оно не является пространством ) задается собственными состояниями $|k,\epsilon _{\mu }\rangle$ где $k$, 4- импульс равен нулю ( $k^{2}=0$) и $k_{0}$ компонент, энергия, положительна и $\epsilon _{\mu }$ – единичный вектор поляризации и индекс $\mu$ находится в диапазоне от 0 до 3. Итак, $k$ однозначно определяется пространственным импульсом ${\vec {k}}$. Используя обозначение Бра-кета , этому пространству придается полуторалинейная форма , определяемая формулой

$\langle {\vec {k}}_{a};\epsilon _{\mu }|{\vec {k}}_{b};\epsilon _{\nu }\rangle =(-\eta _{\mu \nu })\,2|{\vec {k}}_{a}|\,\delta ({\vec {k}}_{a}-{\vec {k}}_{b})$,

где $2|{\vec {k}}_{a}|$ Фактором является реализация ковариации Лоренца . --- . Здесь используется метрическая сигнатура + Однако эта полуторалинейная форма дает положительные нормы для пространственных поляризаций, но отрицательные нормы для времяподобных поляризаций. Отрицательные вероятности нефизичны, не говоря уже о том, что физический фотон имеет только две поперечные поляризации, а не четыре.

Если учесть калибровочную ковариацию, то становится понятно, что фотон может иметь три возможные поляризации (две поперечные и одну продольную (т.е. параллельно 4-импульсу)). Это обусловлено ограничением $k\cdot \epsilon =0$. Однако продольная составляющая — это всего лишь нефизическая мера. Хотя было бы неплохо определить более строгое ограничение, чем приведенное выше, которое оставляет только две поперечные компоненты, легко проверить, что это не может быть определено лоренц-ковариантным способом, поскольку то, что является трансверсальным в одной системе отсчета, не является трансверсальным в одной системе отсчета. Перехожу в другое.

Чтобы решить эту трудность, сначала посмотрим на подпространство с тремя поляризациями. Полуторалинейная форма, ограниченная им, является просто полуопределенной , что лучше, чем неопределенное. При этом подпространство с нулевой нормой оказывается не чем иным, как калибровочными степенями свободы. Итак, определим физическое гильбертово пространство как фактор-пространство подпространства трех поляризаций по его подпространству с нулевой нормой. Это пространство имеет положительно определенную форму, что делает его настоящим гильбертовым пространством.

Эту технику можно аналогичным образом распространить на бозонное пространство Фока многочастичных фотонов. Используя стандартный прием сопряженных операторов рождения и уничтожения , но с помощью этого факторного приема, можно сформулировать свободного поля векторный потенциал как распределение с операторным значением. $A$ удовлетворяющий

$\partial ^{\mu }\partial _{\mu }A=0$

с условием

$\langle \chi |\partial ^{\mu }A_{\mu }|\psi \rangle =0$

для физических состояний $|\chi \rangle$ и $|\psi \rangle$ в пространстве Фока (подразумевается, что физические состояния на самом деле являются классами эквивалентности состояний, отличающихся состоянием нулевой нормы).

Это не то же самое, что

$\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$.

Обратите внимание, что если O — любой калибровочно-инвариантный оператор,

$\langle \chi |O|\psi \rangle$

не зависит от выбора представителей классов эквивалентности, а значит, эта величина корректно определена.

Это неверно для некалибровочно-инвариантных операторов в целом, поскольку калибровка Лоренца по-прежнему оставляет остаточные калибровочные степени свободы.

Во взаимодействующей теории квантовой электродинамики калибровочное условие Лоренца все еще применяется, но $A$ больше не удовлетворяет уравнению свободной волны.

См. также

• БРСТ-формализм
• Квантовая калибровочная теория
• Квантовая электродинамика
• ξ манометр

Ссылки

• Блейлер, К. (1950), «Новый метод лечения продольных и скалярных фотонов», Helv Phys. Acta (на немецком языке), 23 (5): 567–586, doi : 10.5169/seals-112124 (доступна загрузка в формате PDF) {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Гупта, С. (1950), "Теория продольных фотонов в квантовой электродинамике", Proc. Физ. Соц. , 63А (7): 681–691, Бибкод : 1950PPSA...63..681G , номер doi : 10.1088/0370-1298/63/7/301