Подвижность электронов

Эта статья о подвижности электронов и дырок в металлах и полупроводниках. Общую концепцию см. в разделе « Электрическая мобильность» .

В физике твердого тела подвижность электронов характеризует, насколько быстро электрон может перемещаться через металл или полупроводник , когда его толкает или тянет электрическое поле . существует аналогичная величина Для дырок , называемая подвижностью дырок . Термин «мобильность носителей» в целом относится как к подвижности электронов, так и к подвижности дырок.

Подвижность электронов и дырок представляют собой частные случаи электрической подвижности заряженных частиц в жидкости под действием приложенного электрического поля.

Когда электрическое поле E прикладывается к куску материала, электроны реагируют, двигаясь со средней скоростью, называемой скоростью дрейфа , $v_{d}$. Тогда подвижность электронов μ определяется как $$v_{d}=\mu E.$$

Подвижность электронов почти всегда указывается в единицах см. ² /( В ⋅ с ). Это отличается от СИ единицы мобильности , м. ² /( В ⋅ с ). Они связаны на 1 м. ² /(V⋅s) = 10 ⁴ см ² /(V⋅s).

Проводимость пропорциональна произведению подвижности и концентрации носителей. Например, одна и та же проводимость может исходить от небольшого числа электронов с высокой подвижностью каждого или от большого количества электронов с малой подвижностью каждого. Что касается полупроводников, поведение транзисторов и других устройств может сильно различаться в зависимости от того, много ли электронов с низкой подвижностью или мало электронов с высокой подвижностью. Поэтому подвижность является очень важным параметром полупроводниковых материалов. Почти всегда более высокая мобильность приводит к повышению производительности устройства при прочих равных условиях.

Подвижность полупроводника зависит от концентрации примесей (включая концентрации доноров и акцепторов), концентрации дефектов, температуры, концентрации электронов и дырок. Это также зависит от электрического поля, особенно в сильных полях, когда происходит насыщение скорости . Это может быть определено эффектом Холла или выведено из поведения транзистора.

Введение

Скорость дрейфа в электрическом поле

Основная статья: Скорость дрейфа

Без какого-либо приложенного электрического поля в твердом теле электроны и дырки движутся хаотично . Следовательно, в среднем не будет общего движения носителей заряда в каком-либо конкретном направлении с течением времени.

Однако при приложении электрического поля каждый электрон или дырка ускоряется электрическим полем. Если бы электрон находился в вакууме, он бы ускорялся до постоянно возрастающей скорости (так называемый баллистический транспорт ). Однако в твердом теле электрон многократно рассеивается на дефектах кристалла , фононах , примесях и т. д., в результате чего он теряет часть энергии и меняет направление. Конечный результат состоит в том, что электрон движется с конечной средней скоростью, называемой скоростью дрейфа . Это чистое движение электронов обычно намного медленнее, чем обычно происходящее случайное движение.

Два носителя заряда, электроны и дырки, обычно имеют разные скорости дрейфа в одном и том же электрическом поле.

Квазибаллистический транспорт возможен в твердых телах, если электроны ускоряются на очень малом расстоянии (размером со среднее свободное время ) или в течение очень короткого времени (столько же, сколько среднее свободное время ). В этих случаях скорость дрейфа и подвижность не имеют значения.

Определение и единицы измерения

См. Также: Электрическая мобильность

Подвижность электронов определяется уравнением: $$v_{d}=\mu _{e}E.$$ где:

• E - величина электрического поля, приложенного к материалу,
• v _d - величина скорости дрейфа электронов (другими словами, скорость дрейфа электронов ), вызванная электрическим полем, и
• μ _e — подвижность электронов.

Подвижность дырок определяется аналогичным уравнением: $$v_{d}=\mu _{h}E.$$ Подвижность электронов и дырок по определению положительна.

Обычно скорость дрейфа электронов в материале прямо пропорциональна электрическому полю, а это означает, что подвижность электронов постоянна (не зависит от электрического поля). Когда это не так (например, в очень больших электрических полях), подвижность зависит от электрического поля.

Единица скорости в СИ — м/с , а единица электрического поля в СИ — В / м . Следовательно, единицей подвижности в СИ является (м/с)/(В/м) = м. ² /( В ⋅ с ). Однако подвижность гораздо чаще выражается в см. ² /(V⋅s) = 10 ⁻⁴ м ² /(V⋅s).

Подвижность обычно сильно зависит от примесей материала и температуры и определяется эмпирически. Значения мобильности обычно представлены в виде таблицы или диаграммы. Мобильность электронов и дырок в данном материале также различна.

Вывод

Начнем со второго закона Ньютона : $$a=F/m_{e}^{*}$$ где:

• а — ускорение между столкновениями.
• F - электрическая сила, действующая электрическим полем, а
• $m_{e}^{*}$ – эффективная масса электрона.

Поскольку сила, действующая на электрон, равна − eE : $$a=-{\frac {eE}{m_{e}^{*}}}$$

Это ускорение электрона между столкновениями. Следовательно, скорость дрейфа равна: $$v_{d}=a\tau _{c}=-{\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,$$ где $\tau _{c}$ среднее свободное время

Поскольку нас интересует только то, как изменяется скорость дрейфа в зависимости от электрического поля, мы объединяем неопределенные члены вместе, чтобы получить $$v_{d}=-\mu _{e}E,$$ где $\mu _{e}={\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}$

Аналогично для дырок имеем $$v_{d}=\mu _{h}E,$$ где $\mu _{h}={\frac {e\tau _{c}}{m_{h}^{*}}}$ Обратите внимание, что как подвижность электронов, так и подвижность дырок положительны. Знак минус добавляется к скорости дрейфа электронов, чтобы учесть отрицательный заряд.

Отношение к плотности тока

Плотность дрейфового тока, возникающего в электрическом поле, можно рассчитать по скорости дрейфа. Рассмотрим образец с площадью поперечного сечения A, длиной l и концентрацией электронов n. Ток, переносимый каждым электроном, должен быть $-ev_{d}$, так что полная плотность тока, обусловленная электронами, определяется выражением: $$J_{e}={\frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}$$ Используя выражение для $v_{d}$ дает $$J_{e}=en\mu _{e}E$$ Аналогичная система уравнений применима и к дыркам (заметим, что заряд дырки положителен). Следовательно, плотность тока, обусловленная дырками, определяется выражением $$J_{h}=ep\mu _{h}E$$ где p — концентрация дырок и $\mu _{h}$ подвижность отверстия.

Полная плотность тока представляет собой сумму электронной и дырочной составляющих: $$J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E$$

Связь с проводимостью

Ранее мы получили зависимость между подвижностью электронов и плотностью тока. $$J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E$$ Теперь закон Ома можно записать в виде $$J=\sigma E$$ где $\sigma$ определяется как проводимость. Поэтому мы можем записать: $$\sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}$$ который можно факторизовать на $$\sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})$$

Связь с диффузией электронов

В области, где n и p меняются с расстоянием, диффузионный ток накладывается на ток, обусловленный проводимостью. Этот диффузионный ток регулируется законом Фика : $$F=-D_{\text{e}}\nabla n$$ где:

• F — поток.
• D _e – коэффициент диффузии или коэффициент диффузии
• $\nabla n$ - градиент концентрации электронов

Коэффициент диффузии носителя заряда связан с его подвижностью соотношением Эйнштейна . Для классической системы (например, газа Больцмана) оно гласит: $$D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}k_{\mathrm {B} }T}{e}}$$ где:

• k _B — постоянная Больцмана
• Т — абсолютная температура
• e - электрический заряд электрона

Для металла, описываемого ферми-газом (ферми-жидкостью), следует использовать квантовую версию соотношения Эйнштейна. Обычно температура намного меньше энергии Ферми, в этом случае следует использовать следующую формулу: $$D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}E_{F}}{e}}$$ где:

• E _F — энергия Ферми

Примеры

Типичная подвижность электронов при комнатной температуре (300 К) в таких металлах, как золото , медь и серебро, составляет 30–50 см. ² /(В⋅с). Подвижность носителей в полупроводниках зависит от легирования. В кремнии (Si) подвижность электронов порядка 1000, в германии около 4000, а в арсениде галлия до 10000 см-1. ² /(В⋅с). Подвижность дырок обычно ниже и колеблется примерно в пределах 100 см. ² /(В⋅с) в арсениде галлия, до 450 в кремнии и 2000 в германии.

Очень высокая подвижность была обнаружена в нескольких сверхчистых низкоразмерных системах, таких как двумерные электронные газы ( 2DEG ) (35 000 000 см-1). ² /(В⋅с) при низкой температуре), углеродные нанотрубки (100 000 см ² /(В⋅с) при комнатной температуре) и отдельно стоящий графен (200 000 см ² /(В⋅с) при низкой температуре). Разработанные к настоящему времени органические полупроводники ( полимер , олигомер ) имеют подвижность носителей менее 50 см-1. ² /(В⋅с) и обычно ниже 1, а у хорошо работающих материалов измеренное значение ниже 10.

Список самых высоких измеренных подвижностей [см ² /(V⋅s)]

Материал	Подвижность электронов	Мобильность отверстий
Гетероструктуры AlGaAs/GaAs	35,000,000	5,800,000
Отдельно стоящий графен	200,000
Углеродные нанотрубки	79,000
Кубический арсенид бора (к-БА)	1,600
Кристаллический кремний	1,400	450
Поликристаллический кремний	100
Металлы (Al, Au, Cu, Ag)	10–50
2D-материал (MoS 2 )	10–50
Органика	8.6	43
Аморфный кремний	~1

Зависимость электрического поля и насыщение скорости

Основная статья: Насыщение скоростью

В слабых полях скорость дрейфа v _d пропорциональна электрическому полю E , поэтому подвижность μ постоянна. Это значение µ называется подвижностью в низком поле .

Однако по мере увеличения электрического поля скорость носителя сублинейно и асимптотически возрастает до максимально возможного значения, называемого скоростью насыщения v _sat . Например, значение v _sat порядка 1×10. ⁷ см/с как для электронов, так и для дырок в Si. Это порядка 6×10. ⁶ см/с для Ge. Эта скорость является характеристикой материала и сильно зависит от уровня легирования или примесей и температуры. Это одно из ключевых свойств материалов и полупроводниковых устройств, которые определяют такое устройство, как предельный предел скорости отклика и частоты транзистора.

Это явление насыщения скоростей является результатом процесса, называемого оптических фононов рассеянием . В сильных полях носители ускоряются достаточно, чтобы между столкновениями получить достаточную кинетическую энергию для испускания оптического фонона, и делают это очень быстро, прежде чем снова ускоряться. Скорость, которую достигает электрон перед испусканием фонона, равна: $${\frac {m^{*}v_{\text{emit}}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{\text{phonon (opt.)}}$$ где ω _{фонон(опт.)} — угловая частота оптического фонона, а m* — эффективная масса носителя в направлении электрического поля. Величина E- _{фонона (опт.)} составляет 0,063 эВ для Si и 0,034 эВ для GaAs и Ge. Скорость насыщения составляет только половину v _{испускания} , потому что электрон стартует с нулевой скорости и ускоряется до v _{испускания} в каждом цикле. (Это несколько упрощенное описание. )

Насыщение скоростей — не единственное возможное поведение в сильном поле. Другой — эффект Ганна , при котором достаточно сильное электрическое поле может вызвать междолинный перенос электронов, что снижает скорость дрейфа. Это необычно; увеличение электрического поля почти всегда увеличивает скорость дрейфа или оставляет ее неизменной. Результатом является отрицательное дифференциальное сопротивление .

В режиме насыщения скорости (или других эффектов сильного поля) подвижность является сильной функцией электрического поля. Это означает, что мобильность является несколько менее полезной концепцией по сравнению с простым обсуждением скорости дрейфа напрямую.

Связь между рассеянием и подвижностью

Напомним, что подвижность по определению зависит от скорости дрейфа. Основным фактором, определяющим скорость дрейфа (кроме эффективной массы ), является время рассеяния , т.е. как долго носитель баллистически ускоряется электрическим полем, пока он не рассеется (не столкнется) с чем-то, что изменит его направление и/или энергию. Наиболее важными источниками рассеяния в типичных полупроводниковых материалах, обсуждаемых ниже, являются рассеяние на ионизированных примесях и рассеяние акустических фононов (также называемое решеточным рассеянием). В некоторых случаях могут иметь значение другие источники рассеяния, такие как рассеяние на нейтральных примесях, рассеяние оптических фононов, поверхностное рассеяние и рассеяние на дефектах .

Упругое рассеяние означает, что энергия (почти) сохраняется во время рассеяния. Некоторыми процессами упругого рассеяния являются рассеяние на акустических фононах, рассеяние на примесях, пьезоэлектрическое рассеяние и т. д. При рассеянии акустических фононов электроны рассеиваются из состояния k в k' , испуская или поглощая фонон с волновым вектором q . Это явление обычно моделируется, предполагая, что колебания решетки вызывают небольшие сдвиги энергетических зон. Дополнительный потенциал, вызывающий процесс рассеяния, создается отклонениями зон из-за этих небольших переходов из замороженных положений решетки.

Рассеяние ионизированных примесей

Полупроводники легированы донорами и/или акцепторами, которые обычно ионизируются и, таким образом, заряжаются. Кулоновские силы отклонят электрон или дырку, приближающуюся к ионизированной примеси. Это известно как рассеяние на ионизированных примесях . Величина отклонения зависит от скорости носителя и его близости к иону. Чем сильнее легирован материал, тем выше вероятность того, что носитель столкнется с ионом за заданное время, тем меньше среднее свободное время между столкновениями и тем меньше подвижность. При определении силы этих взаимодействий из-за дальнодействующего характера кулоновского потенциала другие примеси и свободные носители приводят к значительному уменьшению дальности взаимодействия с носителями по сравнению с затравочным кулоновским взаимодействием.

Если эти рассеиватели находятся вблизи границы раздела, сложность проблемы возрастает из-за существования кристаллических дефектов и нарушений. Центры захвата заряда, рассеивающие свободные носители заряда, во многих случаях образуются из-за дефектов, связанных с оборванными связями. Рассеяние происходит потому, что после захвата заряда дефект становится заряженным и, следовательно, начинает взаимодействовать со свободными носителями. Если рассеянные носители находятся в инверсионном слое на границе раздела, то пониженная размерность носителей отличает этот случай от случая объемного рассеяния на примесях, поскольку носители движутся только в двух измерениях. Шероховатость межфазной границы также вызывает рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела.

Решёточное (фононное) рассеяние

При любой температуре выше абсолютного нуля колеблющиеся атомы создают в кристалле волны давления (акустические), которые называются фононами . Как и электроны, фононы можно рассматривать как частицы. Фонон может взаимодействовать (столкнуться) с электроном (или дыркой) и рассеять его. При более высокой температуре появляется больше фононов и, следовательно, увеличивается рассеяние электронов, что имеет тенденцию к снижению подвижности.

Пьезоэлектрическое рассеяние

Пьезоэлектрический эффект может возникнуть только в сложных полупроводниках из-за их полярной природы. В большинстве полупроводников он мал, но может приводить к возникновению локальных электрических полей, вызывающих рассеяние носителей путем их отклонения. Этот эффект важен в основном при низких температурах, когда другие механизмы рассеяния слабы. Эти электрические поля возникают из-за искажения основной элементарной ячейки, когда в решетке в определенных направлениях прикладывается деформация.

Рассеяние шероховатости поверхности

Рассеяние на шероховатости поверхности, вызванное межфазным беспорядком, представляет собой рассеяние на короткие расстояния, ограничивающее подвижность квазидвумерных электронов на границе раздела. По трансмиссионным электронным микрофотографиям высокого разрешения было установлено, что граница раздела не является резкой на атомном уровне, но фактическое положение межфазной плоскости варьируется на один или два атомных слоя вдоль поверхности. Эти изменения носят случайный характер и вызывают флуктуации энергетических уровней на границе раздела, что затем вызывает рассеяние.

Рассеивание сплавов

В сложных полупроводниках (сплавах), которыми являются многие термоэлектрические материалы, рассеяние, вызванное возмущением кристаллического потенциала из-за случайного расположения замещающих видов атомов в соответствующей подрешетке, известно как рассеяние сплава. Это может произойти только в тройных или более высоких сплавах, поскольку их кристаллическая структура формируется путем случайной замены некоторых атомов в одной из подрешеток (подрешеток) кристаллической структуры. Как правило, это явление довольно слабое, но в определенных материалах или обстоятельствах оно может стать доминирующим эффектом, ограничивающим проводимость. В объемных материалах рассеянием на границе раздела обычно пренебрегают.

Неупругое рассеяние

В ходе процессов неупругого рассеяния происходит значительный обмен энергией. Как и при упругом рассеянии фононов, в неупругом случае потенциал возникает из-за деформаций энергетических зон, вызванных колебаниями атомов. Оптические фононы, вызывающие неупругое рассеяние, обычно имеют энергию в диапазоне 30-50 мэВ, для сравнения: энергии акустических фононов обычно меньше 1 мэВ, но некоторые из них могут иметь энергию порядка 10 мэВ. В процессе рассеяния происходит значительное изменение энергии носителей. Оптические или высокоэнергетические акустические фононы также могут вызывать междолинное или межзонное рассеяние, что означает, что рассеяние не ограничивается одной долиной.

Электрон-электронное рассеяние

В соответствии с принципом Паули электроны можно считать невзаимодействующими, если их плотность не превышает значения 10 ¹⁶ ~10 ¹⁷ см ⁻³ или значение электрического поля 10 ³ В/см. Однако значительно выше этих пределов начинает доминировать электрон-электронное рассеяние. Большой радиус действия и нелинейность кулоновского потенциала, управляющего взаимодействием между электронами, затрудняют борьбу с этими взаимодействиями.

Связь между подвижностью и временем рассеяния

Простая модель дает приблизительную связь между временем рассеяния (средним временем между событиями рассеяния) и подвижностью. Предполагается, что после каждого акта рассеяния движение носителя хаотизировано, поэтому его средняя скорость равна нулю. После этого он равномерно ускоряется в электрическом поле, пока снова не рассеется. Результирующая средняя дрейфовая подвижность составит: $$\mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}$$ где q — элементарный заряд , m носителя * — эффективная масса , а τ — среднее время рассеяния.

Если эффективная масса анизотропна (зависит от направления), m * — эффективная масса в направлении электрического поля.

Правило Маттиссена

Обычно присутствует более одного источника рассеяния, например, как примеси, так и фононы решетки. Обычно очень хорошим приближением является объединение их влияний с помощью «Правила Маттиссена» (разработанного на основе работы Августа Маттиссена в 1864 году):

$${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}.$$ где μ — фактическая подвижность, $\mu _{\rm {impurities}}$ - это подвижность, которую имел бы материал, если бы было рассеяние на примесях, но не было другого источника рассеяния, и $\mu _{\rm {lattice}}$ - это подвижность, которую имел бы материал, если бы существовало рассеяние решеточных фононов, но не было другого источника рассеяния. Для других источников рассеяния могут быть добавлены другие термины, например $${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defects}}}}+\cdots .$$ Правило Маттиссена также можно сформулировать через время рассеяния: $${\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots .$$ где τ — истинное среднее время рассеяния, а τ _{примесей} — время рассеяния, если было рассеяние на примесях, но не было другого источника рассеяния, и т. д.

Правило Маттиссена является приблизительным и не является универсальным. Это правило недействительно, если факторы, влияющие на подвижность, зависят друг от друга, поскольку отдельные вероятности рассеяния нельзя суммировать, если они не независимы друг от друга. Среднее свободное время полета носителя и, следовательно, время релаксации обратно пропорциональны вероятности рассеяния. Например, рассеяние на решетке изменяет среднюю скорость электронов (в направлении электрического поля), что, в свою очередь, изменяет тенденцию к рассеянию примесей. Существуют более сложные формулы, которые пытаются учесть эти эффекты.

Температурная зависимость подвижности

Типичная температурная зависимость подвижности

	И	Ге	GaAs
Электроны	∝T −2.4	∝T −1.7	∝T −1.0
Дыры	∝T −2.2	∝T −2.3	∝T −2.1

С повышением температуры концентрация фононов увеличивается и вызывает усиление рассеяния. Таким образом, решеточное рассеяние все больше и больше снижает подвижность носителей при более высокой температуре. Теоретические расчеты показывают, что подвижность в неполярных полупроводниках, таких как кремний и германий, определяется взаимодействием акустических фононов . Ожидается, что результирующая мобильность будет пропорциональна T  ^−3/2 , в то время как ожидается, что подвижность, обусловленная только рассеянием оптических фононов, будет пропорциональна T  ^−1/2 . Экспериментальные значения температурной зависимости подвижности в Si, Ge и GaAs приведены в таблице.

Как ${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$, где $\Sigma$ — сечение рассеяния электронов и дырок в центре рассеяния, $\left\langle v\right\rangle$ представляет собой среднее тепловое значение (статистика Больцмана) по всем скоростям электронов или дырок в нижней зоне проводимости или верхней валентной зоне, можно определить температурную зависимость подвижности. Здесь используется следующее определение сечения рассеяния: количество частиц, рассеянных в телесный угол dΩ в единицу времени, деленное на количество частиц на площадь за время (интенсивность падения), которое исходит из классической механики. Поскольку статистика Больцмана справедлива для полупроводников $\left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}$.

Для рассеяния на акустических фононах, при температурах значительно выше температуры Дебая, расчетное сечение Σ _ph определяется из квадрата средней амплитуды колебаний фонона, пропорционального T . Рассеяние на заряженных дефектах (ионизированных донорах или акцепторах) приводит к сечению ${\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}$. Эта формула представляет собой сечение рассеяния для «резерфордовского рассеяния», когда точечный заряд (носитель) проходит мимо другого точечного заряда (дефекта), испытывающего кулоновское взаимодействие.

Температурные зависимости этих двух механизмов рассеяния в полупроводниках можно определить, объединив формулы для τ, Σ и $\left\langle v\right\rangle$, для рассеяния на акустических фононах ${\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}$ и от заряженных дефектов ${\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}$.

Однако эффект рассеяния на ионизированных примесях уменьшается с ростом температуры, поскольку средние тепловые скорости носителей увеличиваются. Таким образом, носители при прохождении проводят меньше времени вблизи ионизированной примеси и, таким образом, снижается эффект рассеяния ионов.

Эти два эффекта действуют одновременно на носителей согласно правилу Маттиссена. При более низких температурах доминирует рассеяние на ионизированных примесях, а при более высоких – рассеяние на фононах, и фактическая подвижность достигает максимума при промежуточной температуре.

Неупорядоченные полупроводники

Плотность состояний твердого тела, обладающего краем подвижности, $E_{C}$.

В то время как в кристаллических материалах электроны можно описать волновыми функциями, распространенными по всему твердому телу, этого не происходит в системах со значительным структурным беспорядком, таких как поликристаллические или аморфные полупроводники. Андерсон предположил, что помимо критического значения структурного беспорядка, Электронные состояния будут локализованы . Локализованные состояния описываются как ограниченные конечной областью реального пространства, нормализуемые и не способствующие транспортировке. Расширенные состояния разбросаны по размеру материала, не поддаются нормализации и способствуют транспортировке. В отличие от кристаллических полупроводников, в неупорядоченных полупроводниках подвижность обычно увеличивается с температурой.

Множественный захват и выпуск

Позже Мотт разработал концепция границы мобильности. Это энергия $E_{C}$, выше которого электроны переходят из локализованного состояния в делокализованное. В этом описании, называемом множественным захватом и высвобождением , электроны могут путешествовать только в расширенных состояниях и постоянно захватываются и повторно высвобождаются из локализованных состояний с более низкой энергией. Поскольку вероятность выхода электрона из ловушки зависит от его тепловой энергии, подвижность можно описать соотношением Аррениуса в такой системе :

Энергетическая зонная диаграмма, изображающая перенос электронов при многократном захвате и высвобождении.

$$\mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{\text{A}}}{k_{\text{B}}T}}\right)$$

где $\mu _{0}$ является префактором мобильности, $E_{\text{A}}$ – энергия активации, $k_{\text{B}}$ - постоянная Больцмана, а $T$ это температура. Энергию активации обычно оценивают путем измерения подвижности как функции температуры. Энергию Урбаха можно использовать в качестве показателя энергии активации в некоторых системах.

Переменное изменение диапазона

При низкой температуре или в системах с большой степенью структурного беспорядка (например, в полностью аморфных системах) электроны не могут получить доступ к делокализованным состояниям. В такой системе электроны могут перемещаться только путем туннелирования из одного узла в другой в процессе, называемом прыжком с переменным диапазоном . В исходной теории скачкообразного изменения диапазона, разработанной Моттом и Дэвисом, вероятность $P_{ij}$, перескока электрона с одного сайта $i$, на другой сайт $j$, зависит от их разделения в пространстве $r_{ij}$, и их разделение по энергии $\Delta E_{ij}$.

$$P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{B}T}}\right)$$

Здесь $P_{0}$ является префактором, связанным с частотой фононов в материале, и $\alpha$ – параметр перекрытия волновых функций. Мобильность в системе, управляемой скачкообразным изменением диапазона, можно показать. быть:

$$\mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{-1/(d+1)}\right)$$

где $\mu _{0}$ является префактором мобильности, $T_{0}$ - это параметр (с размерами температуры), который количественно определяет ширину локализованных состояний, и $d$ – размерность системы.

Измерение подвижности полупроводников

Мобильность зала

Основная статья: Эффект Холла

Установка для измерения эффекта Холла для отверстий

Установка для измерения эффекта Холла для электронов

Подвижность носителей чаще всего измеряют с помощью эффекта Холла . Результат измерения называется «подвижностью Холла» (что означает «подвижность, полученная на основе измерения эффекта Холла»).

Рассмотрим полупроводниковый образец прямоугольного сечения, как показано на рисунках, ток течет в направлении x , а магнитное поле приложено в направлении z . Результирующая сила Лоренца будет ускорять электроны ( n материалы -типа) или дырки (материалы p -типа) в направлении (- y ), согласно правилу правой руки , и создавать электрическое поле ξ _y . В результате на образце возникает напряжение, которое можно измерить высокоомным вольтметром. Это напряжение V _H называется напряжением Холла . V _H является отрицательным для материала n -типа и положительным для p материала -типа.

Математически сила Лоренца, действующая на заряд q, определяется выражением

Для электронов: $${\vec {F}}_{Hn}=-q({\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z})$$

Для отверстий: $${\vec {F}}_{Hp}=+q({\vec {v}}_{p}\times {\vec {B}}_{z})$$

В установившемся состоянии эта сила уравновешивается силой, создаваемой напряжением Холла, так что результирующей силы на носителях в направлении y нет . Для электронов

$${\vec {F}}_{y}=(-q){\vec {\xi }}_{y}+(-q)[{\vec {v}}_{n}\times {\vec {B}}_{z}]=0$$

$$\Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0$$

$$\xi _{y}=v_{x}B_{z}$$

Для электронов поле направлено в направлении – y , а для дырок – в направлении + y .

Электронный ток I определяется выражением $I=-qnv_{x}tW$. Подставьте v _x в выражение для ξ _y ,

$$\xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}$$

где R _Hn — коэффициент Холла для электрона и определяется как $$R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}$$

С $\xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}$ $$R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}$$

Аналогично для дырок $$R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}$$

Из коэффициента Холла мы можем получить подвижность носителей следующим образом: $${\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\&=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}$$

Сходным образом, $$\mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}$$

Здесь значения V _Hp (напряжение Холла), t (толщина образца), I (ток) и B (магнитное поле) могут быть измерены непосредственно, а проводимости σ _n или σ _p либо известны, либо могут быть получены из измерения удельное сопротивление.

Полевая мобильность

См. также: МОП-транзистор

Не путать с эффектом Вина .

Подвижность также можно измерить с помощью полевого транзистора (FET). Результат измерения называется «полевой подвижностью» (что означает «подвижность, полученная на основе полевых измерений»).

Измерение может осуществляться двумя способами: в режиме насыщения или в линейной области. ( см. в MOSFET Описание различных режимов или регионов работы .)

Использование режима насыщения

В этой технике для каждого фиксированного напряжения затвора V _GS напряжение сток-исток V _DS увеличивается до тех пор, пока ток I _D не достигнет насыщения. Затем квадратный корень из этого тока насыщения строится в зависимости от напряжения на затворе и крутизна m _sat измеряется . Тогда подвижность равна: $$\mu =m_{\text{sat}}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}$$ где L и W — длина и ширина канала, а C _i — емкость изолятора затвора на единицу площади. Это уравнение происходит из приближенного уравнения для МОП-транзистора в режиме насыщения: $$I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.$$ где Vth _. – пороговое напряжение Это приближение игнорирует эффект Эрли , среди прочего, (модуляцию длины канала). На практике этот метод может недооценивать истинную мобильность.

Использование линейной области

В этой технике транзистор работает в линейной области (или «омическом режиме»), где VDS _мало и $I_{D}\propto V_{GS}$ с уклоном м _лин . Тогда подвижность равна: $$\mu =m_{\text{lin}}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}}.$$ Это уравнение происходит из приближенного уравнения для МОП-транзистора в линейной области: $$I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS}^{2}}{2}}\right)$$ На практике этот метод может переоценить истинную подвижность, поскольку, если V _DS недостаточно мал, а V _G недостаточно велик, МОП-транзистор может не оставаться в линейной области.

Оптическая мобильность

Подвижность электронов может быть определена путем измерений методом бесконтактного лазерного фотоотражения . По мере прохождения образца через фокус проводится серия измерений фотоотражения. Длина диффузии электронов и время рекомбинации определяются путем регрессионной аппроксимации данных. Затем соотношение Эйнштейна используется для расчета подвижности.

Терагерцовая мобильность

Подвижность электронов можно рассчитать на основе измерений терагерцового зонда с временным разрешением . Фемтосекундные лазерные импульсы возбуждают полупроводник, и результирующая фотопроводимость измеряется с помощью терагерцового зонда, который обнаруживает изменения в терагерцовом электрическом поле.

Микроволновая проводимость с временным разрешением (TRMC)

Основная статья: Микроволновая проводимость с разрешением по времени

Показатель подвижности носителей заряда можно оценить с помощью микроволновой проводимости с временным разрешением (TRMC). Импульсный оптический лазер используется для создания электронов и дырок в полупроводнике, которые затем обнаруживаются по увеличению фотопроводимости. Зная оптическую плотность образца, размеры и плотность падающей лазерной энергии, параметр $\phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})$ можно оценить, где $\phi$ - доход генерации носителей (между 0 и 1), $\mu _{e}$ подвижность электронов и $\mu _{h}$ – подвижность дырки. $\phi \Sigma \mu$ имеет те же размеры, что и подвижность, но тип носителя (электрон или дырка) не указан.

Зависимость концентрации легирования в сильнолегированном кремнии

Носителями заряда в полупроводниках являются электроны и дырки. Их количество контролируется концентрацией примесных элементов, т.е. концентрацией легирования. Таким образом, концентрация легирования оказывает большое влияние на подвижность носителей.

Несмотря на значительный разброс экспериментальных данных , для некомпенсированного материала (без противолегирования) для сильнолегированных подложек (т.е. $10^{18}\mathrm {cm} ^{-3}$ и выше) подвижность в кремнии часто характеризуют эмпирической зависимостью : $$\mu =\mu _{o}+{\frac {\mu _{1}}{1+\left({\frac {N}{N_{\text{ref}}}}\right)^{\alpha }}}$$ где N — концентрация легирования (либо ND _, либо NA ₎ , а N _ref и α — подгоночные параметры. При комнатной температуре приведенное выше уравнение принимает вид:

Большинство перевозчиков: $$\mu _{n}(N_{D})=65+{\frac {1265}{1+\left({\frac {N_{D}}{8.5\times 10^{16}}}\right)^{0.72}}}$$ $$\mu _{p}(N_{A})=48+{\frac {447}{1+\left({\frac {N_{A}}{6.3\times 10^{16}}}\right)^{0.76}}}$$

Миноритарные перевозчики: $$\mu _{n}(N_{A})=232+{\frac {1180}{1+\left({\frac {N_{A}}{8\times 10^{16}}}\right)^{0.9}}}$$ $$\mu _{p}(N_{D})=130+{\frac {370}{1+\left({\frac {N_{D}}{8\times 10^{17}}}\right)^{1.25}}}$$

Эти уравнения применимы только к кремнию и только в слабом поле.

См. также

• Скорость электричества

Внешние ссылки

• запись в глоссарии полупроводников, посвященная подвижности электронов. Архивировано 4 января 2009 г. в Wayback Machine.
• Калькулятор удельного сопротивления и подвижности от чистого помещения BYU
• Онлайн-лекция - Мобильность с атомистической точки зрения