Надежная конструкция параметров

Робастный проект параметров , предложенный Геничи Тагучи , представляет собой экспериментальный план , используемый для использования взаимодействия между контролем и неконтролируемыми переменными шума путем робастификации — поиска настроек факторов управления, которые минимизируют изменение реакции от неконтролируемых факторов. Контрольные переменные — это переменные, над которыми экспериментатор имеет полный контроль. Шумовые переменные лежат на другой стороне спектра. Хотя эти переменные можно легко контролировать в экспериментальных условиях, за пределами экспериментального мира их контролировать очень сложно, если вообще возможно. В надежных конструкциях параметров используется соглашение об именах, аналогичное соглашению о FFD. А 2 ^{(м1+м2)-(п1-р2)} представляет собой двухуровневую схему, где m1 — количество факторов управления, m2 — количество факторов шума, p1 — уровень фракционирования факторов управления, а p2 — уровень фракционирования факторов шума.

Эффект разреженности. Взаимодействия могут существенно повлиять на реакцию только в том случае, если хотя бы один из родительских факторов оказывает влияние на реакцию.

Рассмотрим пример выпечки торта RPD из Монтгомери (2005), где экспериментатор хочет улучшить качество торта. Хотя производитель торта может контролировать количество муки, сахара, разрыхлителя и красителя в торте, другие факторы, такие как температура духовки и время выпечки, не поддаются контролю. Производитель может распечатать инструкции по времени выпекания 20 минут, но в реальном мире он не может контролировать привычки потребителей в выпечке. Изменения в качестве торта могут возникнуть из-за выпекания при температуре 325° вместо 350° или из-за того, что пирог оставался в духовке на слишком короткий или слишком длительный период времени. Надежные конструкции параметров направлены на минимизацию влияния факторов шума на качество. В этом примере производитель надеется свести к минимуму влияние колебаний времени выпечки на качество торта, и для этого требуются оптимальные настройки факторов управления.

RPD в основном используются в условиях моделирования, где неконтролируемые шумовые переменные обычно легко контролируются. В то время как в реальном мире факторы шума трудно контролировать; в экспериментальных условиях легко поддерживать контроль над этими факторами. В примере с выпечкой торта экспериментатор может изменять время выпекания и температуру духовки, чтобы понять последствия таких колебаний, которые могут возникнуть, когда контроль больше не находится в его/ее руках.

Надежные планы параметров очень похожи на дробные факторные планы (FFD) в том смысле, что оптимальная схема может быть найдена с использованием матриц Адамара , сохраняются принципы иерархии эффектов и разреженности факторов, а при фракционировании полных RPD присутствует псевдоним. Как и FFD, RPD представляют собой проверочные конструкции и могут предоставить линейную модель имеющейся системы. Под иерархией эффектов для FFD подразумевается, что взаимодействия более высокого порядка имеют тенденцию оказывать незначительное влияние на реакцию. Как утверждает Каррауэй, на реакцию, скорее всего, будут влиять основные эффекты, затем двухфакторные взаимодействия, затем трехфакторные взаимодействия и так далее. Концепция разреженности эффекта заключается в том, что не все факторы будут влиять на реакцию. Эти принципы являются основой фракционирования матриц Адамара. Путем фракционирования экспериментаторы могут делать выводы за меньшее количество прогонов и с меньшими ресурсами. Часто РПД используются на ранних стадиях эксперимента. Поскольку двухуровневые RPD предполагают линейность влияния факторов, для моделирования кривизны можно использовать другие методы после уменьшения количества факторов.

Строительство

Частичный шаблон проектирования. Матрицы Адамара можно нормализовать и фракционировать для создания плана эксперимента.

Матрицы Адамара – это квадратные матрицы, состоящие только из + и –. Если матрица Адамара нормализована и фракционирована, получается шаблон проектирования. Однако не все конструкции одинаковы, а это означает, что некоторые конструкции лучше других, и для определения того, какая конструкция лучше, используются определенные критерии проектирования. После получения шаблона проектирования экспериментаторы обычно знают, какую настройку следует установить для каждого фактора. Каждая строка в шаблоне обозначает серию, а каждый столбец — фактор. Для частичного шаблона проектирования, показанного слева, экспериментатор выявил семь факторов, которые могут повлиять на реакцию, и надеется получить представление о том, какие факторы оказывают влияние за восемь прогонов. При первом запуске для факторов 1, 4, 5 и 6 устанавливаются высокие уровни, а для факторов 2, 3 и 7 — низкие уровни. Низкие и высокие уровни — это настройки, обычно определяемые экспертом в данной области. Эти значения являются крайними, но не настолько крайними, чтобы реакция смещалась в негладкие области. После каждого прогона получаются результаты; и путем изменения нескольких факторов за один проход вместо использования Метод OFAT позволяет оценить взаимодействие между переменными, а также влияние отдельных факторов. Если два фактора взаимодействуют, то влияние одного фактора на реакцию различно в зависимости от настроек другого фактора.

Правильное фракционирование матриц Адамара занимает очень много времени. Рассмотрим 24-прогонную схему, учитывающую шесть факторов. Количество планов Адамара в каждой матрице Адамара равно 23, выберите 6; это 100 947 дизайнов из каждой матрицы Адамара 24 × 24. Поскольку существует 60 матриц Адамара такого размера, общее количество сравниваемых планов составляет 6 056 820. Леопки, Бингем и Ситтер (2006) использовали полную методологию поиска и перечислили лучшие RPD для 12, 16 и 20 прогонов. Поскольку работа по полному поиску является настолько исчерпывающей, лучшие проекты для больших серий часто недоступны. В этом случае можно использовать другие статистические методы для фракционирования матрицы Адамара таким образом, чтобы допускалось только допустимое количество псевдонимов. Для FFD были созданы эффективные алгоритмы, такие как прямой выбор и обратное исключение , но из-за сложности наложения псевдонимов, возникающей при различении переменных управления и шума, эти методы еще не доказали свою эффективность для RPD.

История и критерии проектирования

Чтобы полностью понять критерии проектирования, необходимо понимание истории и дробных факторных планов. FFD стремятся понять, какие факторы влияют на реакцию, и стремятся оптимизировать реакцию, находя соответствующие настройки факторов. В отличие от RPD, FFD не различают управляющие и шумовые переменные.

Разрешение и минимальная аберрация

В 2003 году Бингэм и Ситтер определены максимальное разрешение и минимальная аберрация для двухуровневых дробных факторных планов. Разрешение определяет наихудшее количество присутствующих сглаживаний, а аберрация определяет, какая часть этого наихудшего сглаживания присутствует в проекте. Резолюция III определяет псевдонимы основных эффектов с двухфакторными взаимодействиями. Резолюция IV определяет псевдонимы основных эффектов с трехфакторными взаимодействиями. Резолюция V определяет основные эффекты псевдонимов с четырехфакторными взаимодействиями. По мере увеличения разрешения уровень наложения псевдонимов становится менее серьезным, поскольку взаимодействия более высокого порядка имеют тенденцию оказывать незначительное влияние на ответ. Разрешение измеряет стандартные конструкции; то есть эффекты либо полностью совмещены, либо не имеют псевдонимов вообще. Рассмотрим следующее утверждение: «Фактор А является псевдонимом двухфакторного взаимодействия факторов BC». Это означает, что если двухфакторное взаимодействие BC оказывает влияние на ответ, то оценка влияния фактора А на ответ искажается, поскольку эффект фактора А невозможно отличить от эффекта BC. Очевидно, что конструкция с разрешением V предпочтительнее конструкции с разрешением IV.

Проекты с одинаковым разрешением не всегда одинаковы, и знания о том, какой тип псевдонимов является худшим, недостаточно, чтобы понять, какой дизайн лучше. Вместо этого необходимо дальнейшее исследование того, насколько наихудший случай псевдонимов необходим. Эта идея известна как минимальная аберрация. Лучшие проекты содержат наименьшее количество псевдонимов в худшем случае. Если оба проекта D1 и D2 являются проектами разрешения V, но D1 имеет больше случаев основных эффектов, связанных с 4-факторными взаимодействиями, то D2 является лучшим дизайном. D2 — лучший вариант, поскольку здесь имеется большее количество хорошо оцененных эффектов.

Обобщенное разрешение и обобщенная минимальная аберрация

Фонтана, Пистоне и Рогантен создал индикаторную функцию для двухуровневых дробных факторных планов, а в 2003 году Йе расширил индикаторную функцию для регулярных и нерегулярных планов. При этом Е установил обобщенное разрешение и обобщенную минимальную аберрацию. В то время как обычные конструкции - это конструкции, размер партии которых равен степени двойки; нерегулярные конструкции могут быть кратны четырем. В нестандартных проектах эффекты могут быть полностью, частично или не иметь псевдонимов. Обобщенная минимальная аберрация и обобщенное разрешение учитывают это частичное сглаживание.

Формально Йе (2003) различает регулярные и нерегулярные конструкции и утверждает, что любую полиномиальную функцию можно записать как

${\begin{aligned}F(x)&=\sum _{J\in P}b_{J}X_{J}(x)\\&=\sum _{J\in PC}\sum _{K\in PN}b_{J\cup K}X_{J\cup K}(x)\end{aligned}}$ Где:

$b_{L}={\frac {1}{2^{m}}}\sum _{x\in F}X_{L}(x);\quad b_{0}={\frac {n}{2^{m}}}$

Если $\left|{\frac {b_{J\cup K}}{b_{0}}}\right|=1$ тогда конструкция правильная; в противном случае существует частичное сглаживание.

Приоритет эффектов адаптирован из Леоппки, Бингема и Ситтера (2006). RPD должны защищать оценку наиболее приоритетных эффектов.

Пока Йе разрабатывал эту функцию индикатора, Бингэм и Ситтер работали над уточнением разрешения и аберраций для робастных расчетов параметров. В 2006 году Леоппки, Бингхэм и Ситтер опубликовали шаблон расширенной длины слова и индикаторную функцию для надежного проектирования параметров. Поскольку RPD заботятся о минимизации изменений процесса из-за факторов шума, приоритет эффектов меняется по сравнению с иерархией эффектов FFD. Основные эффекты по-прежнему являются первым приоритетом, а двухфакторные взаимодействия по-прежнему являются вторым приоритетом; но если какое-либо взаимодействие имеет взаимодействие с управлением шумом (CN), то это взаимодействие увеличивается на 0,5 по шкале приоритета. Например, трехфакторное взаимодействие CCN будет приоритетом 3 в FFD, поскольку трехфакторные взаимодействия являются третьим приоритетом, двухфакторные взаимодействия являются вторым приоритетом, а основные эффекты являются первым приоритетом. Однако, поскольку RPD обеспокоены переменными шума, взаимодействие CCN является эффектом приоритета 2,5. Взаимодействие CN увеличивает приоритет на 0,5; поэтому традиционный приоритет 3 минус 0,5 для взаимодействия CN дает приоритет 2,5. Полную таблицу приоритетов можно найти в Leoppky, Bingham and Sitter (2006).

Сравнение дизайна

Дальнейшее изучение представленных принципов обеспечит более глубокое понимание сравнения проектов.

Для обычных дробных факторных планов длина слова будет определять, какие типы псевдонимов присутствуют. Например, слово «2367» можно разбить на структуры псевдонимов следующим образом:

Структура псевдонимов	Значение структуры псевдонимов
2=367	Оценка влияния фактора 2 на реакцию совмещается с трехфакторным взаимодействием факторов 3, 6 и 7.
3=267	Оценка влияния фактора 3 на реакцию совмещается с трехфакторным взаимодействием факторов 2, 6 и 7.
6=237	Если трехфакторное взаимодействие факторов 2, 3 и 7 влияет на ответ, оценка фактора 6 на ответ искажается.
7=236	Невозможно провести различие между действием фактора 7 и эффектом трехфакторного взаимодействия 236.
23=67	Двухфакторные взаимодействия не могут быть точно оценены, поскольку они связаны с другими двухфакторными взаимодействиями.

Слово 2367 имеет длину 4, и наихудший случай наложения псевдонимов заключается в том, что основные эффекты накладываются на трехфакторные взаимодействия, а двухфакторные взаимодействия накладываются на другие двухфакторные взаимодействия.

Длина слов становится менее упрощенной, когда речь идет о RPD, поскольку изменился приоритет эффектов. Рассмотрим слово 23578 , где факторы 2, 3 и 5 являются контрольными переменными, а факторы 7 и 8 — переменными шума. Из этого слова можно получить следующие строки псевдонимов:

2=3578, 3=2578 5=2378 или C=CCNN
7=2358, 8=2357 или N=CCCN
23=578, 25=378, 35=278 или CC=CNN
27=358 и 28=357 или CN=CCN
235=78 или CCC=NN

Теперь, когда можно увидеть, какие типы сглаживания возникают, необходимо использовать приоритет эффектов Леопки, Бингама и Ситтера, чтобы определить наихудшее количество присутствующих сглаживаний. Это означает, что любое взаимодействие CN повышает приоритет на 0,5; а длина слова получается путем суммирования каждой стороны строки псевдонимов. В таблице ниже приведены суммы для каждого типа псевдонимов, встречающихся в слове 23578.

Приоритет(С) = 1	Приоритет (CCNN) = 3	Сумма = 4
Приоритет (N) = 1	Приоритет (CCCN) = 3,5	Сумма = 4,5
Приоритет(CC) = 2	Приоритет (CNN) = 2,5	Сумма = 4,5
Приоритет (CN) = 1,5	Приоритет (CCN) = 2,5	Сумма = 4
Приоритет(CCC) = 3	Приоритет(NN) = 2	Сумма = 5

Поскольку меньшие суммы указывают на худшее сглаживание, это слово имеет наихудший сглаживание длиной 4. Важно понимать что в FFD не будет учитываться дифференциация между управлением и шумом, и это слово будет иметь длину 5; но RPD учитывает это различие, и хотя кажется, что слово имеет длину 5, критерии проектирования определяют приоритет 4. Теперь предположим, что проект D1 содержит только только что проанализированное слово (23578). Если бы D1 сравнивали с D2 и наихудшим псевдонимом, обнаруженным в D2, был приоритет 3,5, то D1 был бы лучшим дизайном. Однако если наихудший случай совмещения D2 имел приоритет 4, то необходимо учитывать минимальную аберрацию. Для каждого дизайна мы рассчитаем частоты каждого типа наихудшего псевдонима. Лучший дизайн будет выбран как дизайн, который сводит к минимуму возникновение наихудшего псевдонима. Эти частоты могут быть организованы с использованием шаблона расширенной длины слова (EWLP).

Обозначения

Понятие минимальной аберрации можно понять из определения, данного Леопппки, Бингемом и Ситтером (2006):

Для любых двух 2 ^{(m1+m2 )-(p1+p2)} дробные факторные робастные параметры, D1 и D2, мы говорим, что D1 имеет меньшую аберрацию, чем D2, если существует r такой, что B _i (D1) = B _i (D2) для всех i < r – 1 и B _r (D1 ) < B _р (D2) . Если ни один другой проект не имеет меньшей аберрации, чем D1, то D1 представляет собой план с дробными факторными параметрами минимальной аберрации.

Леопки, Бингем и Ситтер (2006) также предоставляют функцию индикатора RPD следующим образом:

Для данного плана D и серии xεD определяют контраст X _L(x) = Π _lεL x _l на D, где L ∈ P и P — множество всех подмножеств {1, 2 , ..., м} . Далее, определите PC _всех как множество всех подмножеств {1, 2,..., m} как множество _{и P N} подмножеств {1, 2,..., m} , где элемент P имеет вид L ≡ J ∪ K , где J ∈ _PC и K ∈ _PN .

Расширенный шаблон длины слова

Бингем и Ситтер (2006) разработали EWLP, предложив следующую концепцию:

Пусть F — робастный параметрический план с индикаторной функцией F(x)= Σ _JεPC Σ _KاPN b _J∪K X _J∪K (x) , если b _J∪K ≠ 0 , то X _J∪K является слово конструкции F с длиной слова r + (1- |b _J∪K ⁄ b ₀ |)/2 , где |b _J∪K ⁄ b ₀ | является мерой степени смешения слова X _J∪K . Далее, пусть g _r+l/2t — количество слов длины (r+l/2t) , где r = 2,0, 2,5, 3,0,... согласно таблице 2.1. Таким образом, шаблон расширенной длины слова надежного проектирования параметров равен (g _2.0 ,...,g _{2.0+((t-1)) ⁄ 2t} ,...,g _m-1 ,...,g _{m+(t- 1) ⁄ 2т} ) .

Рассмотрим конструкции D1 и D2 со следующими EWLP:

Д1: [(0 0 3)(2 3 1)(2 5 5)]

D2: [(0 0 3)(2 4 0)(2 4 6)]

EWLP можно читать слева направо, поскольку левая сторона указывает на наиболее серьезный уровень псевдонимов, а при движении вправо псевдонимы становятся менее серьезными. D2 — лучший дизайн, потому что здесь встречается на один случай более серьезного псевдонима больше, чем в D1.

Использование и примеры

Планирование экспериментов (DOE) является фундаментальной частью экспериментирования, моделирования и симуляции. Банки утверждает: «Планирование эксперимента направлено на сокращение времени и усилий, связанных с моделированием, путем определения информации, которую необходимо собрать из каждой репликации моделирования, количества повторений, которые необходимо сделать, и того, какие изменения параметров модели необходимо сравнить». После того, как концептуальная модель была реализована в виде программной модели, Министерству энергетики необходимо провести эксперименты и получить результаты моделирования наиболее своевременным и экономически эффективным способом. Следующие примеры демонстрируют ситуации, в которых RPD можно использовать для получения важных выводов.

Пример 1

Рассмотрим пример производства перманентных маркеров, адаптированный из работы Брюэра, Каррауэя и Ингрэма (2010). Эксперты в данной области (SME) выделили семь факторов, которые могут повлиять на качество маркера: количество чернил, пропанола содержание , содержание бутанола , содержание диацетона, качество контейнера, влажность и температура . Количество чернил, содержание пропанола, бутанола, диацетона и качество тары определяются производителем; влажность и температуру, хотя их легко контролировать в экспериментальных условиях, невозможно контролировать после того, как продукт покинул руки производителя. Даже если производитель заявляет, что температура маркера должна поддерживаться в пределах от 35 до 80 градусов по Фаренгейту , потребители могут находиться при температуре 90 градусов или не обращать внимания на этот совет. Это изменение неконтролируемо и влияет на мнение потребителей о продукте; поэтому производитель хочет, чтобы продукт был устойчив к изменениям температуры.

Для прогона всех возможных комбинаций факторов потребуется 128 прогонов. Однако, фракционируя эту матрицу, влияние факторов можно увидеть за гораздо меньшее количество прогонов. Следовательно, фракционирование является менее дорогостоящим и занимает меньше времени.

После создания РПД качество постоянного маркера проверяется в конце каждого запуска. Это пример живого моделирования, поскольку для проверки качества маркера необходимо смоделировать влажность и температуру реального мира. Компания-производитель перманентных маркеров предпочитает имитировать высокие или низкие температуры и влажность вместо того, чтобы ездить в определенные места, где можно использовать маркер. Производитель экономит время и деньги и достигает того же эффекта, что и тот, кто использует маркер в экстремальных погодных условиях или где-либо еще.

Пример 2

Представьте, что вас наняли менеджером магазина и вы хотите повысить эффективность труда. Вы заметили, что в любое время дня работает одинаковое количество людей, но магазин более загружен с полудня до 15:30 и пуст после 19:00. Вы не хотите рисковать нехваткой персонала, поэтому предпочитаете моделировать различные сценарии, чтобы определить лучшее решение для планирования. Контролирующие факторы, влияющие на оптимальность планирования, могут включать количество людей в смену, тогда как неконтролируемые факторы могут включать погоду и транспортный поток.

Конструктивная модель реализуется для понимания рассматриваемой дилеммы, а RPD — это метод, используемый для определения настроек факторов управления, которые нам нужны, чтобы минимизировать влияние факторов шума. Другими словами, с помощью РПД можно определить, сколько людей необходимо в каждую смену, чтобы магазин не был недоукомплектован или переукомплектован независимо от погодных условий или потока трафика.

Анализируя

Поскольку RPD очень тесно связаны с FFD, можно применять те же методы анализа. ANOVA можно использовать для определения того, какие факторы являются значимыми. По центральным точкам можно определить наличие кривизны. Во многих пакетах программного обеспечения для статистики имеются сохраненные и готовые к анализу проекты разделенных графиков. RPD представляют собой схемы скрининга и часто используются для уменьшения количества факторов, которые, как считается, влияют на ответ.

Дальнейшее чтение

• Бокс, GEP, (1988), Отношение сигнал/шум, критерии эффективности и преобразования (с обсуждением), Технометрика, 30 1-40.
• Бокс, GEP, Хантер, У.Г. и Хантер, Дж.С. (1978), Статистика для экспериментаторов . Уайли.
• Кастильо, Э. (2007), Оптимизация процессов: статистический подход . Спрингер.
• Денг Л.И. и Тан Б. (1999), Обобщенное разрешение и критерии минимальной аберрации для планов Плакетта-Бермана и других нерегулярных факторных планов, Statistica Sinica, 9 1071-1082.
• Дэн Л.Ю. и Тан Б. (2002), Выбор конструкции и классификация матриц Адамара с использованием обобщенных критериев минимальной аберрации, Technometrics, 44 173-184.
• Лоусон Дж. и Эрьявец Дж. (2001), Современная статистика для инженерных разработок и повышения качества . Даксбери.
• Леппки, Дж. (2004), Ранжирование нерегулярных конструкций. Диссертация, Университет Саймона Фрейзера.
• Новосад С. и Ингрэм Д. (2006), Оптимальные нерегулярные планы, обеспечивающие альтернативу регулярным дробным факторным планам из 16 и 32 серий. Государственный университет Арканзаса, Государственный университет, Арканзас.
• Пистон Г. и Винн Х.П. (1996), Обобщенное смешение с базисами Грёбнера, Биометрика, 83, 653-666.
• Тагучи, Г. (1986), Введение в инженерию качества . Нью-Йорк: Качественные ресурсы.
• Тан Б. и Дэн. LY (1999), Минимальная аберрация G2 для нерегулярных дробных факторных планов, Анналы статистики , 27, 1914–1926.
• Уайли А. и Ингрэм Д. (2007), Раскрытие сложных шаблонов псевдонимов некоторых нерегулярных конструкций. Старшая дипломная работа с отличием, Государственный университет Арканзаса, Государственный университет, Арканзас.