Дробный факторный дизайн
 | В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
В статистике — дробный факторный план это экспериментальный план, состоящий из тщательно выбранного подмножества (доли) экспериментальных серий полного факторного плана . [1] Подмножество выбрано таким образом, чтобы использовать принцип разреженности эффектов для раскрытия информации о наиболее важных особенностях изучаемой проблемы, используя при этом часть усилий полного факторного планирования с точки зрения экспериментальных запусков и ресурсов. Другими словами, он использует тот факт, что многие эксперименты при полном факторном планировании часто являются избыточными и дают мало или вообще не дают новой информации о системе.
Планирование дробных факторных экспериментов должно быть продуманным, поскольку некоторые эффекты смешиваются и не могут быть отделены от других.
История
[ редактировать ]Дробный факторный дизайн был представлен британским статистиком Дэвидом Джоном Финни в 1945 году, расширив предыдущую работу Рональда Фишера по полному факторному эксперименту на экспериментальной станции в Ротамстеде. [2] Первоначально разработанный для применения в сельском хозяйстве, он с тех пор применяется в других областях техники, науки и бизнеса. [3]
Основной принцип работы
[ редактировать ]Подобно полному факторному эксперименту , дробный факторный эксперимент исследует влияние независимых переменных, известных как факторы, на переменную отклика. Каждый фактор исследуется на разных значениях, известных как уровни. Переменная ответа измеряется с использованием комбинации факторов на разных уровнях, и каждая уникальная комбинация известна как серия. Чтобы уменьшить количество прогонов по сравнению с полным факториалом, эксперименты предназначены для смешивания различных эффектов и взаимодействий, чтобы их влияние невозможно было различить. Взаимодействия высшего порядка между основными эффектами обычно незначительны, что делает этот метод разумным для изучения основных эффектов. Это принцип разреженности эффектов . Смешение контролируется путем систематического выбора серий из полной факториальной таблицы. [4]
Обозначения
[ редактировать ]Дробные конструкции выражаются с помощью обозначения l к - п , где l — количество уровней каждого фактора, k — количество факторов, а p описывает размер доли используемого полного факториала. Формально p — количество генераторов; отношения, которые определяют намеренно смешанные эффекты, которые уменьшают количество необходимых прогонов. Каждый генератор вдвое сокращает необходимое количество запусков. Схема с p таких генераторов представляет собой 1/( l п )= л -p часть полного факторного плана. [3]
Например, 2 5 − 2 План представляет собой 1/4 двухуровневого пятифакторного факторного плана. Вместо 32 пробежек, которые потребовались бы для полных 2 5 факторный эксперимент, для этого эксперимента требуется всего восемь прогонов. При наличии двух генераторов количество экспериментов сократилось вдвое.
На практике редко можно встретить l > 2 уровней в дробных факторных планах, поскольку методология создания таких планов для более чем двух уровней гораздо более громоздка. В случаях, когда требуется 3 уровня для каждого фактора, возможными дробными планами являются латинские квадраты , взаимно ортогональные латинские квадраты и методы Тагучи . Методика поверхности отклика также может быть гораздо более эффективным экспериментальным способом определения взаимосвязи между экспериментальной реакцией и факторами на нескольких уровнях, но она требует, чтобы уровни были непрерывными. При определении необходимости более двух уровней экспериментаторы должны учитывать, ожидают ли они, что результат будет нелинейным при добавлении третьего уровня. Еще одним соображением является количество факторов, которые могут существенно изменить экспериментальный спрос на рабочую силу. [5]
Уровни фактора обычно кодируются как +1 для более высокого уровня и -1 для более низкого уровня. Для трехуровневого коэффициента промежуточное значение кодируется как 0. [4]
Для экономии места точки факторного эксперимента часто обозначаются строками знаков плюс и минус. В строках столько же символов, сколько и факторов, а их значения определяют уровень каждого фактора: традиционно для первого (или низкого) уровня, и для второго (или высокого) уровня. Таким образом, точки двухуровневого эксперимента с двумя факторами можно представить как , , , и . [4]
Факториальные точки также могут быть сокращены до (1), a, b и ab, где наличие буквы указывает на то, что указанный фактор находится на высоком (или втором) уровне, а отсутствие буквы указывает на то, что указанный фактор находится на нижнем (или первом) уровне (например, «a» указывает, что фактор A находится на высоком уровне, в то время как все остальные факторы находятся на низком (или первом) уровне). (1) используется для указания того, что все факторы имеют самые низкие (или первые) значения. Факториальные точки обычно располагаются в таблице в стандартном порядке Йейтса: 1, a, b, ab, c, ac, bc, abc, который создается, когда уровень первого фактора меняется при каждом прогоне. [5]
Поколение
[ редактировать ]На практике экспериментаторы обычно полагаются на статистические справочники для получения «стандартных» дробных факторных планов, состоящих из главной дроби . Основная дробь представляет собой набор комбинаций лечения, для которых генераторы оцениваются как + в соответствии с алгеброй комбинаций лечения. Однако в некоторых ситуациях экспериментаторы могут взять на себя задачу создать собственный дробный план.
Дробный факторный эксперимент генерируется из полного факторного эксперимента путем выбора структуры псевдонима . Структура псевдонимов определяет, какие эффекты смешиваются друг с другом. Например, пятифакторная 2 5 − 2 может быть сгенерирован с помощью полного трехфакторного факторного эксперимента, включающего три фактора (скажем, A , B и C ), а затем смешивания двух оставшихся факторов D и E с взаимодействиями, генерируемыми D = A * B и E = A *. С. Эти два выражения называются генераторами плана. Так, например, когда эксперимент проводится и экспериментатор оценивает влияние фактора D , на самом деле оценивается комбинация основного эффекта D и двухфакторного взаимодействия включающего A и B. ,
Важной характеристикой дробного планирования является определяющее соотношение , которое дает набор столбцов взаимодействия, равный в матрице планирования столбцу со знаками плюс, I. обозначаемому В приведенном выше примере, поскольку D = AB и E = AC , то ABD и ACE являются столбцами со знаками плюс, и, следовательно, то же самое относится и к BDCE :
Д*Д = АВ*Д = Я
Э*Е = АС*Е = Я
I = ABD*ACE = A*ABCDE = BCDE
В этом случае определяющим соотношением дробного планирования является I = ABD = ACE = BCDE . Определяющее отношение позволяет определить шаблон псевдонима проекта и включает в себя 2 п слова. Обратите внимание, что в этом случае эффекты взаимодействия ABD , ACE и BCDE вообще не могут быть изучены. По мере увеличения числа генераторов и степени фракционирования все больше и больше эффектов смешиваются. [5]
Затем шаблон псевдонима можно определить путем умножения на каждый столбец фактора. Чтобы определить, насколько смешан основной эффект А, умножьте все члены определяющего соотношения на А:
A*I = A*ABD = A*ACE = A*BCDE A = BC = CE = ABCDE
Таким образом, основной эффект A смешивается с эффектами взаимодействия BC, CE и ABCDE. Другие основные эффекты можно рассчитать аналогичным методом. [4]
| Комбинация лечения | я | А | Б | С | Д = АВ | Е = переменный ток |
|---|---|---|---|---|---|---|
| из | + | − | − | − | + | + |
| а | + | + | − | − | − | − |
| быть | + | − | + | − | − | + |
| США | + | + | + | − | + | − |
| компакт-диск | + | − | − | + | + | − |
| туз | + | + | − | + | − | + |
| до нашей эры | + | − | + | + | − | − |
| abcde | + | + | + | + | + | + |
Разрешение
[ редактировать ]Важным свойством дробного плана является его разрешающая способность или способность отделять друг от друга основные эффекты и взаимодействия низкого порядка. Формально, если факторы являются двоичными, то разрешающая способность плана равна минимальной длине слова в определяющем соотношении, исключая ( I ). Разрешение обозначается римскими цифрами и увеличивается с увеличением номера. [4] Наиболее важными дробными планами являются планы с разрешением III, IV и V: разрешения ниже III бесполезны, а разрешения выше V расточительны (с бинарными коэффициентами), поскольку расширенное экспериментирование в большинстве случаев не имеет практической пользы — большая часть дополнительные усилия направлены на оценку взаимодействий очень высокого порядка, которые редко встречаются на практике. 2 5 − 2 Приведенная выше конструкция представляет собой разрешение III, поскольку ее определяющее соотношение: I = ABD = ACE = BCDE.
| Разрешение | Способность | Пример |
|---|---|---|
| я | Бесполезно: эксперимент, состоящий ровно из одного запуска, проверяет только один уровень фактора и, следовательно, не может даже различить высокий и низкий уровни этого фактора. | 2 1 − 1 с определяющим соотношением I = A |
| II | Бесполезно: основные эффекты смешиваются с другими основными эффектами. | 2 2 − 1 с определяющим соотношением I = AB |
| III | Оцените основные эффекты, но их можно спутать с двухфакторными взаимодействиями. | 2 3 − 1 с определяющим соотношением I = ABC |
| IV | Оцените основные эффекты, не смешанные двухфакторными взаимодействиями. | 2 4 − 1 с определяющим соотношением I = ABCD |
| V | Оцените основные эффекты, не искажённые трёхфакторными (или менее) взаимодействиями. | 2 5 − 1 с определяющим соотношением I = ABCDE |
| МЫ | Оцените основные эффекты, не искажённые четырёхфакторными (или менее) взаимодействиями. | 2 6 − 1 с определяющим соотношением I = ABCDEF |
Описанная система классификации разрешения используется только для обычных проектов. Обычные проекты имеют размер пробега, равный степени двойки, и присутствует только полное наложение псевдонимов. Нерегулярные планы, иногда называемые планами Плакетта-Бермана , — это планы, в которых размер серии кратен 4; в этих конструкциях вводится частичное сглаживание, и в качестве критерия проектирования используется обобщенное разрешение вместо разрешения, описанного ранее.
Планы разрешения III можно использовать для построения насыщенных планов, в которых N-1 факторов можно исследовать только за N прогонов. Эти насыщенные дизайны можно использовать для быстрого отбора, когда задействовано множество факторов. [3]
Пример дробного факторного эксперимента
[ редактировать ]Монтгомери [3] приводит следующий пример дробного факторного эксперимента. Инженер провел эксперимент по увеличению скорости фильтрации (производительности) процесса производства химического вещества и уменьшению количества формальдегида, используемого в этом процессе. Полный факторный эксперимент описан на странице Википедии Факториальный эксперимент . Учитывались четыре фактора: температура (А), давление (В), концентрация формальдегида (С) и скорость перемешивания (D). Результаты в этом примере заключались в том, что основные эффекты A, C и D, а также взаимодействия AC и AD были значительными. Результаты этого примера можно использовать для моделирования дробного факторного эксперимента с использованием половины дроби исходных 2. 4 = 16-проходная конструкция. В таблице указано 2 4 - 1 = План эксперимента с полуфракцией из 8 серий и результирующая скорость фильтрации, извлеченные из таблицы для полного факторного эксперимента из 16 серий .
| А | Б | С | Д | Скорость фильтрации |
|---|---|---|---|---|
| -1 | -1 | -1 | -1 | 45 |
| 1 | -1 | -1 | 1 | 100 |
| -1 | 1 | -1 | 1 | 45 |
| 1 | 1 | -1 | -1 | 65 |
| -1 | -1 | 1 | 1 | 75 |
| 1 | -1 | 1 | -1 | 60 |
| -1 | 1 | 1 | -1 | 80 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 96 |
В этом дробном дизайне каждый основной эффект сочетается с трехфакторным взаимодействием (например, A = BCD), а каждое двухфакторное взаимодействие сочетается с другим двухфакторным взаимодействием (например, AB = CD). Отношения псевдонимов показаны в таблице. Это конструкция разрешения IV, означающая, что основные эффекты совмещены с трехсторонними взаимодействиями, а двухсторонние взаимодействия совмещены с двусторонними взаимодействиями.
| Псевдонимы |
|---|
| А = двоично-десятичный код |
| Б = АКД |
| С = США |
| Д = АВС |
| АВ = CD |
| АС = BD |
| до нашей эры = нашей эры |
Анализ дисперсии оценок эффектов представлен в таблице ниже. Судя по таблице, эффекты A, C и D оказываются значительными. Коэффициент взаимодействия AB довольно мал. Если взаимодействия AB и CD не имеют примерно равных, но противоположных эффектов, эти два взаимодействия кажутся незначительными. Если A, C и D оказывают большое влияние, а B оказывает незначительное влияние, то взаимодействия AC и AD, скорее всего, значимы. Эти выводы согласуются с результатами полнофакторного 16-серийного эксперимента.
| Коэффициент | Оценивать | Структура псевдонима |
|---|---|---|
| А | 19.0 | А + ДВОЦ |
| Б | 1.5 | Б + АКД |
| С | 14.0 | C+США |
| Д | 16.5 | Д + АВС |
| А: Б | -1.0 | АБ + CD |
| А:С | -18.5 | АС + БД |
| ОБЪЯВЛЕНИЕ | 19.0 | н. э. + до нашей эры |
Поскольку B и его взаимодействия кажутся незначительными, B можно исключить из модели. Удаление B приводит к полному факториалу 2. 3 расчет для факторов A, C и D. Выполнение дисперсии с использованием факторов A, C и D и условий взаимодействия A:C и A:D дает результаты, показанные в таблице, которые очень похожи на результаты для эксперимента с полным факторным экспериментом , но имеет то преимущество, что требует только половины дроби 8 прогонов, а не 16.
| Коэффициент | Оценивать | Стандарт. Ошибка | значение t | P-значение |
|---|---|---|---|---|
| Перехват | 70.75 | 0.64 | 111 | 8.11E-05 |
| А | 9.5 | 0.64 | 14.9 | 0.00447 |
| С | 7 | 0.64 | 10.98 | 0.00819 |
| Д | 8.25 | 0.64 | 12.94 | 0.00592 |
| А:С | -9.25 | 0.64 | -14.51 | 0.00471 |
| ОБЪЯВЛЕНИЕ | 9.5 | 0.64 | 14.9 | 0.00447 |
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Полные факторные и дробные факторные эксперименты: часто задаваемые вопросы (Методологический центр Пенсильванского государственного университета)
- Дробные факторные планы (Национальный институт стандартов и технологий)
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Коробка, GE; Хантер, Дж. С.; Хантер, WG (2005). Статистика для экспериментаторов: дизайн, инновации и открытия, 2-е издание . Уайли. ISBN 0-471-71813-0 .
- ^ Национальный исследовательский совет (1995). Статистические методы испытаний и оценки систем защиты: Промежуточный отчет (Отчет). Вашингтон, округ Колумбия: Издательство национальных академий.
- ^ Jump up to: а б с д Монтгомери, Дуглас К. (2013), Планирование и анализ экспериментов (8-е изд.), Wiley
- ^ Jump up to: а б с д и Ледолтер, Дж.; Сверси, Эй Джей (2007). Тестирование 1-2-3: Экспериментальный дизайн с применением в сфере маркетинга и обслуживания . Издательство Стэнфордского университета.
- ^ Jump up to: а б с Бергер, Пол Д.; Маурер, Роберт Э.; Челли, Джована Б. (2018). Экспериментальный дизайн с применением в менеджменте, технике и науке . Спрингер Чам.
