Структурный анализ

Эта статья о структурных исследованиях в технике. Для использования в социальных науках см. Структурализм . Чтобы узнать о других значениях, см. Структура (значения) .

Структурный анализ — это раздел механики твердого тела , который использует упрощенные модели твердых тел, таких как стержни, балки и оболочки, для принятия инженерных решений. Его основная цель – определение влияния нагрузок на физические конструкции и их компоненты . В отличие от теории упругости модели, используемые в структурном анализе, часто представляют собой дифференциальные уравнения с одной пространственной переменной. этого типа, К конструкциям, подлежащим анализу относятся все, что должно выдерживать нагрузки, например здания, мосты, самолеты и корабли. Структурный анализ использует идеи прикладной механики , материаловедения и прикладной математики конструкции для расчета деформаций , внутренних сил , напряжений , опорных реакций, скорости, ускорений и устойчивости . Результаты анализа используются для проверки пригодности конструкции к использованию, что часто исключает физические испытания . Таким образом, структурный анализ является ключевой частью инженерного проектирования сооружений .

Конструкции и нагрузки

В контексте структурного анализа под конструкцией понимается тело или система соединенных частей, используемых для поддержки нагрузки. Важные примеры, связанные с гражданским строительством, включают здания, мосты и башни; а в других отраслях машиностроения важное значение имеют корпуса кораблей и самолетов, резервуары, сосуды под давлением, механические системы и электрические опорные конструкции. Чтобы спроектировать конструкцию, инженер должен учитывать ее безопасность, эстетику и удобство эксплуатации, учитывая при этом экономические и экологические ограничения. Другие отрасли машиностроения работают с самыми разными нестроительными конструкциями .

Классификация конструкций

Конструктивная система – это совокупность конструктивных элементов и их материалов. Для инженера-строителя важно уметь классифицировать конструкцию по ее форме или функции, распознавая различные элементы, составляющие эту конструкцию. Конструктивными элементами, направляющими системные силы через материалы, являются не только такие, как шатун, ферма, балка или колонна, но также трос, арка, полость или канал и даже угол, поверхностная конструкция. , или рамка.

Нагрузки

Основная статья: Структурная нагрузка

После определения требований к размерам конструкции возникает необходимость определить нагрузки, которые конструкция должна выдерживать. Поэтому проектирование конструкции начинается с определения нагрузок, действующих на конструкцию. Расчетная нагрузка на конструкцию часто указывается в строительных нормах . Существует два типа норм: общие строительные нормы и правила проектирования. Инженеры должны удовлетворить все требования норм, чтобы конструкция оставалась надежной.

Существует два типа нагрузок, с которыми приходится сталкиваться при проектировании конструкций. Первый тип нагрузок — это собственные нагрузки, которые состоят из веса различных элементов конструкции и веса любых объектов, постоянно прикрепленных к конструкции. Например, колонны, балки, балки, плиты перекрытия, кровля, стены, окна, сантехника, электроприборы и другие приспособления. Второй тип нагрузок — это постоянные нагрузки, которые различаются по величине и расположению. Существует множество различных типов временных нагрузок, таких как нагрузки на здания, нагрузки на автодорожные мосты, нагрузки на железнодорожные мосты, ударные нагрузки, ветровые нагрузки, снеговые нагрузки, сейсмические нагрузки и другие природные нагрузки.

Аналитические методы

Для выполнения точного анализа инженер-строитель должен определить такую ​​информацию, как структурные нагрузки , геометрия , условия опоры и свойства материала. Результаты такого анализа обычно включают реакции опор, напряжения и смещения . Затем эта информация сравнивается с критериями, указывающими условия отказа. Расширенный структурный анализ может изучить динамический отклик , стабильность и нелинейное поведение.Существует три подхода к анализу: подход механики материалов (также известный как сопротивление материалов), подход теории упругости (который на самом деле является частным случаем более общей области механики сплошной среды ) и подход конечных элементов . В первых двух используются аналитические формулы, которые применяют в основном простые линейно-упругие модели, приводящие к решениям в замкнутой форме, и часто могут быть решены вручную. Метод конечных элементов на самом деле представляет собой численный метод решения дифференциальных уравнений, порожденных такими теориями механики, как теория упругости и сопротивление материалов. Однако метод конечных элементов сильно зависит от вычислительной мощности компьютеров и более применим к структурам произвольного размера и сложности.

Независимо от подхода, формулировка основана на тех же трёх фундаментальных соотношениях: равновесия , конститутивности и совместимости . Решения являются приблизительными, когда любое из этих соотношений выполняется лишь приблизительно или лишь в приближении к реальности.

Ограничения

Каждый метод имеет существенные ограничения. Метод механики материалов ограничивается очень простыми элементами конструкций при относительно простых условиях нагружения. Однако разрешенные конструктивные элементы и условия нагрузки достаточны для решения многих полезных инженерных задач. Теория упругости в принципе позволяет решать элементы конструкций общей геометрии в условиях общего нагружения. Однако аналитическое решение ограничивается относительно простыми случаями. Решение задач упругости также требует решения системы уравнений в частных производных, что значительно более трудоемко с математической точки зрения, чем решение задач механики материалов, требующее в лучшем случае решения обыкновенного дифференциального уравнения. Метод конечных элементов, пожалуй, самый ограничительный и в то же время самый полезный. Сам этот метод опирается на другие структурные теории (например, две другие, обсуждаемые здесь) для решения уравнений. Однако в целом это позволяет решать эти уравнения даже при очень сложной геометрии и условиях нагружения с тем ограничением, что всегда присутствует некоторая числовая ошибка. Эффективное и надежное использование этого метода требует четкого понимания его ограничений.

Методы сопротивления материалов (классические методы)

Самый простой из трех обсуждаемых здесь методов, метод механики материалов, доступен для простых элементов конструкции, подверженных определенным нагрузкам, таких как стержни с осевой нагрузкой, призматические балки в состоянии чистого изгиба и круглые валы, подверженные кручению. Решения можно при определенных условиях накладывать друг на друга, используя принцип суперпозиции для анализа элемента, подвергающегося комбинированной нагрузке. Решения для особых случаев существуют для обычных конструкций, таких как тонкостенные сосуды под давлением.

Для анализа целых систем этот подход может использоваться в сочетании со статикой, что дает начало методу сечений и методу соединений для анализа ферм , методу распределения моментов для небольших жестких рам и портальному рамно - консольному методу для больших жестких рам. . За исключением распределения моментов, которое вошло в употребление в 1930-х годах, эти методы в их нынешних формах были разработаны во второй половине девятнадцатого века. Их до сих пор используют для небольших построек и для предварительного проектирования крупных построек.

Решения основаны на линейной изотропной бесконечно малой упругости и балочной теории Эйлера – Бернулли. Другими словами, они содержат предположения (среди прочих), что рассматриваемые материалы эластичны, что напряжение линейно связано с деформацией, что материал (но не конструкция) ведет себя одинаково независимо от направления приложенной нагрузки, что все деформации малы, а балки длинны по сравнению с их глубиной. Как и в случае с любым упрощающим предположением в технике, чем больше модель отклоняется от реальности, тем менее полезным (и более опасным) будет результат.

Пример

Существует два широко используемых метода определения сил элементов фермы, а именно метод соединений и метод сечений. Ниже приведен пример, который решается с использованием обоих этих методов. Первая диаграмма ниже представляет собой представленную задачу, для которой необходимо найти силы элементов фермы. Вторая диаграмма представляет собой диаграмму нагружения и содержит силы реакции со стороны соединений.

A simple triangular truss with loads imposed .

Поскольку в точке А имеется штифтовое соединение, на него будут действовать 2 силы реакции. Один в направлении x, другой в направлении y. В точке B имеется роликовое соединение и, следовательно, только одна противодействующая сила в направлении y. Предполагая, что эти силы действуют в соответствующих положительных направлениях (если они не в положительных направлениях, значение будет отрицательным).

Поскольку система находится в статическом равновесии, сумма сил в любом направлении равна нулю, а сумма моментов относительно любой точки равна нулю.Следовательно, можно рассчитать величину и направление сил реакции.

$\sum M_{A}=0=-10*1+2*R_{B}\Rightarrow R_{B}=5$

$\sum F_{y}=0=R_{Ay}+R_{B}-10\Rightarrow R_{Ay}=5$

$\sum F_{x}=0=R_{Ax}$

Метод соединений

Этот тип метода использует баланс сил в направлениях x и y в каждом из соединений ферменной конструкции.

В А,

$\sum F_{y}=0=R_{Ay}+F_{AD}\sin(60)=5+F_{AD}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Rightarrow F_{AD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}$

$\sum F_{x}=0=R_{Ax}+F_{AD}\cos(60)+F_{AB}=0-{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}+F_{AB}\Rightarrow F_{AB}={\frac {5}{\sqrt {3}}}$

В Д,

$\sum F_{y}=0=-10-F_{AD}\sin(60)-F_{BD}\sin(60)=-10-\left(-{\frac {10}{\sqrt {3}}}\right){\frac {\sqrt {3}}{2}}-F_{BD}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\Rightarrow F_{BD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}$

$\sum F_{x}=0=-F_{AD}\cos(60)+F_{BD}\cos(60)+F_{CD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}+{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}+F_{CD}\Rightarrow F_{CD}=0$

И С,

$\sum F_{y}=0=-F_{BC}\Rightarrow F_{BC}=0$

Хотя силы в каждом из элементов фермы найдены, рекомендуется проверить результаты, выполнив балансы остальных сил.

$\sum F_{x}=-F_{CD}=-0=0\Rightarrow verified$

В Б,

$\sum F_{y}=R_{B}+F_{BD}\sin(60)+F_{BC}=5+\left(-{\frac {10}{\sqrt {3}}}\right){\frac {\sqrt {3}}{2}}+0=0\Rightarrow verified$

$\sum F_{x}=-F_{AB}-F_{BD}\cos(60)={\frac {5}{\sqrt {3}}}-{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}=0\Rightarrow verified$

Метод секций

Этот метод можно использовать, когда необходимо определить силы элементов фермы только для нескольких элементов. Этот метод используется путем введения одной прямой линии, проходящей через элемент, силу которого необходимо рассчитать. Однако этот метод имеет ограничение: линия разреза может проходить максимум через три элемента ферменной конструкции. Это ограничение связано с тем, что в этом методе используются балансы сил в направлениях x и y, а также баланс моментов, что дает максимум 3 уравнения для нахождения максимум 3 неизвестных сил элемента фермы, с помощью которых выполняется этот разрез. Найдите силы FAB, FBD и FCD в приведенном выше примере.

Способ 1: игнорировать правую сторону

$\sum M_{D}=0=-5*1+{\sqrt {3}}*F_{AB}\Rightarrow F_{AB}={\frac {5}{\sqrt {3}}}$

$\sum F_{y}=0=R_{Ay}-F_{BD}\sin(60)-10=5-F_{BD}{\frac {\sqrt {3}}{2}}-10\Rightarrow F_{BD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}$

$\sum F_{x}=0=F_{AB}+F_{BD}\cos(60)+F_{CD}={\frac {5}{\sqrt {3}}}-{\frac {10}{\sqrt {3}}}{\frac {1}{2}}+F_{CD}\Rightarrow F_{CD}=0$

Способ 2: игнорировать левую сторону

$\sum M_{B}=0={\sqrt {3}}*F_{CD}\Rightarrow F_{CD}=0$

$\sum F_{y}=0=F_{BD}\sin(60)+R_{B}=F_{BD}{\frac {\sqrt {3}}{2}}+5\Rightarrow F_{BD}=-{\frac {10}{\sqrt {3}}}$

$\sum F_{x}=0=-F_{AB}-F_{BD}\cos(60)-F_{CD}=-F_{AB}-\left(-{\frac {10}{\sqrt {3}}}\right){\frac {1}{2}}-0\Rightarrow F_{AB}={\frac {5}{\sqrt {3}}}$

Силы элементов фермы в остальных элементах можно найти, используя описанный выше метод с сечением, проходящим через оставшиеся элементы.

Методы эластичности

Методы упругости обычно доступны для упругого тела любой формы. Можно моделировать отдельные элементы, такие как балки, колонны, валы, пластины и оболочки. Решения получены из уравнений линейной упругости . Уравнения упругости представляют собой систему 15 уравнений в частных производных. Из-за характера используемой математики аналитические решения могут быть получены только для относительно простой геометрии. Для сложной геометрии необходим метод численного решения, такой как метод конечных элементов.

Методы, использующие численную аппроксимацию

Обычной практикой является использование приближенных решений дифференциальных уравнений в качестве основы для структурного анализа. Обычно это делается с использованием методов численной аппроксимации. Наиболее часто используемым численным приближением в структурном анализе является метод конечных элементов .

Метод конечных элементов аппроксимирует конструкцию как совокупность элементов или компонентов с различными формами связи между ними, каждый из которых имеет соответствующую жесткость. Таким образом, непрерывная система, такая как пластина или оболочка, моделируется как дискретная система с конечным числом элементов, соединенных между собой в конечном числе узлов, а общая жесткость является результатом сложения жесткостей различных элементов. Поведение отдельных элементов характеризуется соотношением жесткости (или гибкости) элемента. Сборка различных жесткостей в основную матрицу жесткости, которая представляет всю конструкцию, приводит к соотношению жесткости или гибкости системы. Чтобы установить жесткость (или гибкость) конкретного элемента, мы можем использовать подход механики материалов для простых одномерных стержневых элементов и подход упругости для более сложных двух- и трехмерных элементов. Аналитические и вычислительные разработки лучше всего осуществляются с помощью матричная алгебра , решение уравнений в частных производных .

Ранние применения матричных методов применялись к шарнирным конструкциям с элементами ферм, балок и колонн; более поздние и более совершенные матричные методы, называемые « анализом конечных элементов », моделируют всю конструкцию с одно-, двух- и трехмерными элементами и могут использоваться для шарнирных систем вместе с непрерывными системами, такими как сосуд под давлением , пластины. , оболочки и трехмерные тела. Коммерческое компьютерное программное обеспечение для структурного анализа обычно использует матричный анализ методом конечных элементов, который можно дополнительно разделить на два основных подхода: метод смещения или жесткости и метод силы или гибкости . Метод жесткости на сегодняшний день является наиболее популярным благодаря простоте его реализации, а также формулировке для сложных приложений. Технология конечных элементов сейчас достаточно сложна, чтобы работать практически с любой системой, если доступна достаточная вычислительная мощность. Его применимость включает, помимо прочего, линейный и нелинейный анализ, взаимодействие твердых тел и жидкостей, материалы, которые являются изотропными, ортотропными или анизотропными, а также внешние эффекты, которые являются статическими, динамическими и факторами окружающей среды. Однако это не означает, что вычисленное решение будет автоматически надежным, поскольку многое зависит от модели и надежности входных данных.

Хронология

• 1452–1519 Леонардо да Винчи внес большой вклад.
• 1638: Галилео Галилей опубликовал книгу « Две новые науки », в которой исследовал несостоятельность простых структур.
• 1660: Закон Гука Роберта Гука.
• 1687: Исаак Ньютон опубликовал « Philosophiae Naturalis Principia Mathematica », в которой содержатся законы движения Ньютона.
• 1750: уравнение балки Эйлера – Бернулли.
• 1700–1782: Даниэль Бернулли представил принцип виртуальной работы.
• 1707–1783: Леонард Эйлер разработал теорию потери устойчивости колонн.
• 1826: Клод-Луи Навье опубликовал трактат об упругом поведении конструкций.
• 1873: Карло Альберто Кастильяно представил свою диссертацию « Intorno ai sistemi elastici », в которой содержится его теорема для вычисления смещения как частной производной энергии деформации. Эта теорема включает метод «наименьшей работы» как частный случай.
• 1878–1972 Стивен Тимошенко, отец современной прикладной механики, включая теорию балок Тимошенко – Эренфеста.
• 1936: Публикация Харди Кросса метода распределения момента, который позже был признан формой метода релаксации, применимой к проблеме потока в трубопроводной сети.
• 1941: Александр Хренников защитил докторскую диссертацию. диссертация в Массачусетском технологическом институте по дискретизации плоских задач упругости с использованием решетчатой ​​структуры
• 1942: Р. Курант разделил область на конечные подобласти.
• 1956: В статье Дж. Тернера, Р. У. Клафа , Х. К. Мартина и Л. Дж. Топпа «Жесткость и прогиб сложных структур» введено название «метод конечных элементов», и он получил широкое признание как первое комплексное рассмотрение этого метода в его нынешнем виде. известный сегодня

См. также

• Геометрически и материально нелинейный анализ с учетом несовершенств.
• Проект предельного состояния
• Теория строительного проектирования
• Структурная целостность и отказ
• Анализ напряжения-деформации
• критерий текучести фон Мизеса
• Вероятностная оценка сооружений
• Структурные испытания