Дискретизация
В прикладной математике дискретизация — это процесс перевода непрерывных функций, моделей, переменных и уравнений в дискретные аналоги. Этот процесс обычно выполняется как первый шаг к тому, чтобы сделать их пригодными для численной оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация — это особый случай дискретизации, при котором количество дискретных классов равно 2, что позволяет аппроксимировать непрерывную переменную как двоичную переменную (создавая дихотомию для моделирования целей , как в бинарной классификации ).
Дискретизация также связана с дискретной математикой и является важным компонентом гранулярных вычислений . В этом контексте дискретизация переменной или категории может также относиться к изменению детализации , например, когда несколько дискретных переменных агрегируются или несколько дискретных категорий объединяются.
Всякий раз, когда непрерывные данные дискретизируются , всегда возникает некоторая ошибка дискретизации . Цель состоит в том, чтобы уменьшить сумму до уровня, который считается незначительным для целей моделирования .
Термины дискретизация и квантование часто имеют одно и то же значение , но не всегда идентичные коннотации . (В частности, эти два термина имеют общее семантическое поле .) То же самое относится и к ошибке дискретизации и ошибке квантования .
Математические методы, относящиеся к дискретизации, включают метод Эйлера-Маруямы и удержание нулевого порядка .
Дискретизация линейных моделей пространства состояний
[ редактировать ]Дискретизация также связана с преобразованием непрерывных дифференциальных уравнений в дискретные разностные уравнения , пригодные для численных вычислений .
Следующая модель пространства состояний непрерывного времени
где v и w — непрерывные белого шума источники с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности.
можно дискретизировать, предполагая нулевой порядок входного сигнала u и непрерывное интегрирование шума v , до
с ковариациями
где
- , если неособый
и это время выборки, хотя транспонированная матрица . Уравнение для шума дискретизированных измерений является следствием того, что шум непрерывных измерений определяется спектральной плотностью мощности. [1]
Умный трюк для вычисления A d и B d за один шаг заключается в использовании следующего свойства: [2] : с. 215
Где и являются дискретизированными матрицами пространства состояний.
Дискретизация технологического шума
[ редактировать ]Численная оценка немного сложнее из-за матричного экспоненциального интеграла. Однако его можно вычислить, сначала построив матрицу и вычислив ее экспоненту. [3]
Дискретизированный шум процесса затем оценивается путем умножения транспонирования нижнего правого раздела G на верхний правый раздел G :
Вывод
[ редактировать ]Начиная с непрерывной модели
мы знаем, что матричная экспонента равна
и предварительно умножив модель, мы получим
который мы признаем как
и интегрируя..
что является аналитическим решением непрерывной модели.
Теперь мы хотим дискретизировать приведенное выше выражение. Мы предполагаем, что u постоянно на каждом временном шаге.
Мы распознаем выражение в квадратных скобках как , а второе слагаемое можно упростить, заменив на функцию . Обратите внимание, что . Мы также предполагаем, что является постоянным во время интеграла , что, в свою очередь, дает
что является точным решением проблемы дискретизации.
Когда имеет единственное число, последнее выражение все еще можно использовать, заменив посредством расширения Тейлора ,
Это дает
какая форма используется на практике.
Приближения
[ редактировать ]Точная дискретизация иногда может оказаться затруднительной из-за сложных матричных экспоненциальных и интегральных операций. Гораздо проще рассчитать приближенную дискретную модель на ее основе для малых временных шагов. . Тогда приближенное решение будет выглядеть следующим образом:
Это также известно как метод Эйлера , который также известен как прямой метод Эйлера. Другие возможные приближения: , иначе известный как обратный метод Эйлера и , которое известно как билинейное преобразование или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений имеет разные свойства устойчивости. Билинейное преобразование сохраняет неустойчивость системы с непрерывным временем.
Дискретизация непрерывных функций
[ редактировать ]В статистике и машинном обучении дискретизация относится к процессу преобразования непрерывных функций или переменных в дискретные или номинальные функции. Это может быть полезно при создании массовых функций вероятности.
Дискретизация гладких функций
[ редактировать ]В функций обобщенной теории дискретизация возникает как частный случай теоремы о свертке на умеренных дистрибутивах
где это гребешок Дирака , это дискретизация, является периодизация , представляет собой быстро убывающее умеренное распределение (например, дельта-функция Дирака или любой другой компактно поддерживаемая функция), является гладким , медленно растущая обычная функция (например, функция, которая постоянно или любая другая функция с ограниченным диапазоном частот ) и (унитарная, обычная частота) — преобразование Фурье . Функции которые не являются гладкими, можно сделать гладкими с помощью смягчающего устройства перед дискретизацией.
Например, дискретизация функции, которая постоянно дает последовательность которые, интерпретируемые как коэффициенты линейной комбинации дельта -функций Дирака , образуют гребенку Дирака . Если дополнительно усечение , получаются конечные последовательности, например применить . Они дискретны как по времени, так и по частоте.
См. также
[ редактировать ]- Дискретное моделирование событий
- Дискретное пространство
- Дискретное время и непрерывное время
- Метод конечных разностей
- Метод конечных объемов для нестационарного течения
- Сглаживание
- Стохастическое моделирование
- Исчисление шкалы времени
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Корпорация аналитических наук. Технический персонал. (1974). Применена оптимальная оценка . Гелб, Артур, 1937-. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 121 . ISBN 0-262-20027-9 . ОСЛК 960061 .
- ^ Раймонд ДеКарло: Линейные системы: подход с использованием переменных состояния и численной реализацией , Прентис-Холл, Нью-Джерси, 1989
- ^ Чарльз Ван Лоан: Вычисление интегралов с использованием матричной экспоненты , Транзакции IEEE по автоматическому управлению. 23 (3): 395–404, 1978 г.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Роберт Гровер Браун и Патрик Ю.К. Хван (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана (3-е изд.). ISBN 978-0471128397 .
- Чи-Цонг Чен (1984). Теория и проектирование линейных систем . Филадельфия, Пенсильвания, США: Издательство Saunders College. ISBN 978-0030716911 .
- К. Ван Лоан (июнь 1978 г.). «Вычисление интегралов с использованием матричной экспоненты» (PDF) . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 23 (3): 395–404. дои : 10.1109/TAC.1978.1101743 . hdl : 1813/7095 .
- Р. Х. Миддлтон и Г. К. Гудвин (1990). Цифровой контроль и оценка: единый подход . п. 33ф. ISBN 978-0132116657 .