Jump to content

Дискретизация

(Перенаправлено с Дискретизировать )
Решение дискретизированного уравнения в частных производных, полученное методом конечных элементов .

В прикладной математике дискретизация это процесс перевода непрерывных функций, моделей, переменных и уравнений в дискретные аналоги. Этот процесс обычно выполняется как первый шаг к тому, чтобы сделать их пригодными для численной оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация — это особый случай дискретизации, при котором количество дискретных классов равно 2, что позволяет аппроксимировать непрерывную переменную как двоичную переменную (создавая дихотомию для моделирования целей , как в бинарной классификации ).

Дискретизация также связана с дискретной математикой и является важным компонентом гранулярных вычислений . В этом контексте дискретизация переменной или категории может также относиться к изменению детализации , например, когда несколько дискретных переменных агрегируются или несколько дискретных категорий объединяются.

Всякий раз, когда непрерывные данные дискретизируются , всегда возникает некоторая ошибка дискретизации . Цель состоит в том, чтобы уменьшить сумму до уровня, который считается незначительным для целей моделирования .

Термины дискретизация и квантование часто имеют одно и то же значение , но не всегда идентичные коннотации . (В частности, эти два термина имеют общее семантическое поле .) То же самое относится и к ошибке дискретизации и ошибке квантования .

Математические методы, относящиеся к дискретизации, включают метод Эйлера-Маруямы и удержание нулевого порядка .

Дискретизация линейных моделей пространства состояний

[ редактировать ]

Дискретизация также связана с преобразованием непрерывных дифференциальных уравнений в дискретные разностные уравнения , пригодные для численных вычислений .

Следующая модель пространства состояний непрерывного времени

где v и w — непрерывные белого шума источники с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности.

можно дискретизировать, предполагая нулевой порядок входного сигнала u и непрерывное интегрирование шума v , до

с ковариациями

где

, если неособый

и это время выборки, хотя транспонированная матрица . Уравнение для шума дискретизированных измерений является следствием того, что шум непрерывных измерений определяется спектральной плотностью мощности. [1]

Умный трюк для вычисления A d и B d за один шаг заключается в использовании следующего свойства: [2] : с. 215

Где и являются дискретизированными матрицами пространства состояний.

Дискретизация технологического шума

[ редактировать ]

Численная оценка немного сложнее из-за матричного экспоненциального интеграла. Однако его можно вычислить, сначала построив матрицу и вычислив ее экспоненту. [3]

Дискретизированный шум процесса затем оценивается путем умножения транспонирования нижнего правого раздела G на верхний правый раздел G :

Начиная с непрерывной модели

мы знаем, что матричная экспонента равна

и предварительно умножив модель, мы получим

который мы признаем как

и интегрируя..

что является аналитическим решением непрерывной модели.

Теперь мы хотим дискретизировать приведенное выше выражение. Мы предполагаем, что u постоянно на каждом временном шаге.

Мы распознаем выражение в квадратных скобках как , а второе слагаемое можно упростить, заменив на функцию . Обратите внимание, что . Мы также предполагаем, что является постоянным во время интеграла , что, в свою очередь, дает

что является точным решением проблемы дискретизации.

Когда имеет единственное число, последнее выражение все еще можно использовать, заменив посредством расширения Тейлора ,

Это дает

какая форма используется на практике.

Приближения

[ редактировать ]

Точная дискретизация иногда может оказаться затруднительной из-за сложных матричных экспоненциальных и интегральных операций. Гораздо проще рассчитать приближенную дискретную модель на ее основе для малых временных шагов. . Тогда приближенное решение будет выглядеть следующим образом:

Это также известно как метод Эйлера , который также известен как прямой метод Эйлера. Другие возможные приближения: , иначе известный как обратный метод Эйлера и , которое известно как билинейное преобразование или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений имеет разные свойства устойчивости. Билинейное преобразование сохраняет неустойчивость системы с непрерывным временем.

Дискретизация непрерывных функций

[ редактировать ]

В статистике и машинном обучении дискретизация относится к процессу преобразования непрерывных функций или переменных в дискретные или номинальные функции. Это может быть полезно при создании массовых функций вероятности.

Дискретизация гладких функций

[ редактировать ]

В функций обобщенной теории дискретизация возникает как частный случай теоремы о свертке на умеренных дистрибутивах

где это гребешок Дирака , это дискретизация, является периодизация , представляет собой быстро убывающее умеренное распределение (например, дельта-функция Дирака или любой другой компактно поддерживаемая функция), является гладким , медленно растущая обычная функция (например, функция, которая постоянно или любая другая функция с ограниченным диапазоном частот ) и (унитарная, обычная частота) — преобразование Фурье . Функции которые не являются гладкими, можно сделать гладкими с помощью смягчающего устройства перед дискретизацией.

Например, дискретизация функции, которая постоянно дает последовательность которые, интерпретируемые как коэффициенты линейной комбинации дельта -функций Дирака , образуют гребенку Дирака . Если дополнительно усечение , получаются конечные последовательности, например применить . Они дискретны как по времени, так и по частоте.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Корпорация аналитических наук. Технический персонал. (1974). Применена оптимальная оценка . Гелб, Артур, 1937-. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 121 . ISBN  0-262-20027-9 . ОСЛК   960061 .
  2. ^ Раймонд ДеКарло: Линейные системы: подход с использованием переменных состояния и численной реализацией , Прентис-Холл, Нью-Джерси, 1989
  3. ^ Чарльз Ван Лоан: Вычисление интегралов с использованием матричной экспоненты , Транзакции IEEE по автоматическому управлению. 23 (3): 395–404, 1978 г.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8e5ad0969f992c04bc0e39932723375e__1687449660
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8e/5e/8e5ad0969f992c04bc0e39932723375e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Discretization - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)