Характеристика (алгебра)

В математике характеристика R кольца 1 $R$ , часто обозначаемая $char(),$ ( определяется как наименьшее положительное число копий мультипликативного тождества ( $)$ , которое в сумме будет давать аддитивное тождество кольца $0$ ). Если такого числа не существует, говорят, что кольцо имеет нулевую характеристику.

То есть $char(R)$ — это наименьшее положительное число $n$ такое, что: ^{[ 1 ]}^{(с. 198, Тим. 23.14)}

\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0

если такое число $n$ существует, и $0$ в противном случае.

Мотивация

Специальное определение нулевой характеристики мотивировано эквивалентными определениями, приведенными в следующем разделе, где нулевую характеристику не требуется рассматривать отдельно.

Характеристикой также можно считать показатель степени кольца аддитивной группы , то есть наименьшее положительное целое число $n$ такое, что: ^{[ 1 ]}^{(с. 198, Опр. 23.12)}

\underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0

для каждого элемента $a$ кольца (опять же, если $n$ существует; в противном случае ноль). Это определение применимо к более общему классу градуировок (см. Кольцо (математика) § Мультипликативное тождество и термин «кольцо» ); для (единичных) колец эти два определения эквивалентны в силу их закона распределения .

Эквивалентные характеристики

Характеристикой является натуральное число $n$ такое, что $\mathbb {Z}$ является ядром единственного гомоморфизма колец из $\mathbb {Z}$ к $Р.$ ^{[ а ]}
Характеристикой является натуральное число $n$ такое, что $R$ содержит подкольцо , изоморфное фактор -кольцу $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , который является образом указанного выше гомоморфизма.
Когда неотрицательные целые числа ${0, 1, 2, 3, ...}$ по частично упорядочены делимости, тогда $1$ является наименьшим, а $0$ — наибольшим. Тогда характеристикой кольца является наименьшее значение $n,$ для которого $n \cdot 1 = 0$ . Если ничего «меньшего» (в этом порядке), чем $0$ , не достаточно, тогда характеристика равна $0$ . Это подходящий частичный порядок, поскольку $char(A \times B)$ является наименьшим общим кратным char $A A$ и $char B$ гомоморфизм колец $f : A \to B$ не существует, если $char B$ не делит $char, и что$ .
Характеристика кольца $R$ равна $n$ в точности, если из утверждения $ka = 0$ для всех $a \in R$ следует, что $k$ кратно $n$ .

Чехол для колец

Если $R$ и $S$ — кольца и существует гомоморфизм $R \to S$ , то характеристика $S$ делит характеристику $R.$ кольцевой Иногда это можно использовать для исключения возможности определенных гомоморфизмов колец. Единственное кольцо с характеристикой $1$ — это нулевое кольцо , имеющее только один элемент $0$ . Если нетривиальное кольцо $R$ не имеет нетривиальных делителей нуля , то его характеристика либо $0$ , либо простое число . В частности, это относится ко всем полям , ко всем областям целостности и ко всем телам . Любое кольцо характеристики $0$ бесконечно.

Кольцо $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ целых чисел по модулю $n$ имеет характеристику $n$ . Если $R$ — подкольцо кольца S $,$ то $R$ и $S$ имеют одну и ту же характеристику. Например, если $p$ — простое число, а $q (X)$ — неприводимый многочлен с коэффициентами из поля $\mathbb {F} _{p}$ с $p$ элементами, то факторкольцо $\mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))$ является полем характеристики $p$ . Другой пример: Поле $\mathbb {C}$ комплексных чисел содержит $\mathbb {Z}$ , поэтому характеристика $\mathbb {C}$ это $0$ .

А $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ -алгебра эквивалентно кольцу, характеристика которого делит $n$ . Это связано с тем, что для каждого кольца $R$ существует гомоморфизм колец. $\mathbb {Z} \to R$ , и эта карта учитывает $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ тогда и только тогда, когда характеристика $R$ делит $n$ . В этом случае для любого $r$ в кольце добавление $r$ к самому себе $n$ раз дает $nr = 0$ .

Если коммутативное кольцо $R$ имеет простую характеристику $p$ , то мы имеем $(x + y) п = х п + и п$ для всех элементов $x$ и $y$ в $R$ – обычно неправильная « мечта первокурсника » справедлива для степени $p$ . Карта $x \mapsto x п$ затем определяет гомоморфизм колец $R \to R$ , который называется гомоморфизмом Фробениуса . Если $R$ — область целостности, она инъективна .

Случай полей

Как уже говорилось выше, характеристикой любого поля является либо $0$ , либо простое число. Поле ненулевой характеристики называется полем конечной характеристики , положительной характеристики или простой характеристики . Характеристический показатель определяется аналогично, за исключением того, что он равен $1,$ когда характеристика равна $0$ ; в противном случае оно имеет то же значение, что и характеристика. ^{[ 2 ]}

Любое поле $F$ имеет единственное минимальное подполе , называемое также его главное поле . Это подполе изоморфно либо рациональных чисел полю $\mathbb {Q}$ или конечное поле $\mathbb {F} _{p}$ высшего порядка. Два простых поля одной и той же характеристики изоморфны, и этот изоморфизм единственен. Другими словами, в каждой характеристике по существу существует уникальное простое поле.

Поля нулевой характеристики

Наиболее распространенными полями нулевой характеристики являются подполя комплексных чисел . p -адические поля — это характеристические нулевые поля, которые широко используются в теории чисел. Они имеют абсолютные значения, которые сильно отличаются от абсолютных значений комплексных чисел.

Для любого упорядоченного поля , например поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ или поле действительных чисел $\mathbb {R}$ , характеристика равна $0$ . Таким образом, каждое поле алгебраических чисел и поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ имеют нулевую характеристику.

Поля основной характеристики

Конечное поле $GF (p н)$ имеет характеристику $p$ .

Существуют бесконечные поля простой характеристики. Например, поле всех рациональных функций над $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , алгебраическое замыкание $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ или поле формальных рядов Лорана $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))$ .

Размер любого конечного кольца простой характеристики $p$ является степенью $p$ . Поскольку в этом случае он содержит $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ это также векторное пространство над этим полем, и из линейной алгебры мы знаем, что размеры конечных векторных пространств над конечными полями являются степенью размера поля. Это также показывает, что размер любого конечного векторного пространства является степенью простого числа. ^{[ б ]}

Примечания

^ Требования кольцевых гомоморфизмов таковы, что может быть только один (фактически ровно один) гомоморфизм кольца целых чисел в любое кольцо; на языке теории категорий , $\mathbb {Z}$ является исходным объектом категории колец . Опять же, это применимо, когда кольцо имеет мультипликативный единичный элемент (который сохраняется благодаря гомоморфизмам колец).
^ Это векторное пространство над конечным полем, которое, как мы показали, имеет размер $p. н$ , поэтому его размер равен $(p н) м = п нм$ .

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Фрели, Джон Б.; Брэнд, Нил Э. (2020). Первый курс абстрактной алгебры (8-е изд.). Образование Пирсона .
^ Бурбаки, Николя (2003). «5. Характеристический показатель поля. Совершенные поля» . Алгебра II, главы 4–7 . Спрингер. п. АВ7. дои : 10.1007/978-3-642-61698-3 .

Источники

Маккой, Нил Х. (1973) [1964]. Теория колец . Издательство Челси . п. 4. ISBN 978-0-8284-0266-8 .

[2] Требования кольцевых гомоморфизмов таковы, что может быть только один (фактически ровно один) гомоморфизм кольца целых чисел в любое кольцо; на языке теории категорий , $\mathbb {Z}$ является исходным объектом категории колец . Опять же, это применимо, когда кольцо имеет мультипликативный единичный элемент (который сохраняется благодаря гомоморфизмам колец).

[4] Это векторное пространство над конечным полем, которое, как мы показали, имеет размер $p. н$ , поэтому его размер равен $(p н) м = п нм$ .

[Fraleigh-Brand-2020-1] Перейти обратно: ^а ^б Фрели, Джон Б.; Брэнд, Нил Э. (2020). Первый курс абстрактной алгебры (8-е изд.). Образование Пирсона .

[3] Бурбаки, Николя (2003). «5. Характеристический показатель поля. Совершенные поля» . Алгебра II, главы 4–7 . Спрингер. п. АВ7. дои : 10.1007/978-3-642-61698-3 .

[ 1 ]

[ а ]

[ 2 ]

[ б ]