Список принудительных понятий

В математике форсирование это метод построения новых моделей M [ G ] теории множеств путём добавления общего подмножества G P частичного множества к модели M. — Используемый ЧУ-множество P будет определять, какие утверждения будут справедливы в новой вселенной («расширение»); таким образом, чтобы добиться утверждения интереса, необходимо построить подходящее P . В этой статье перечислены некоторые из частично упорядоченных множеств P , которые использовались в этой конструкции.

Обозначения

P — частично упорядоченное множество с порядком <
V - вселенная всех множеств
M — счетная транзитивная модель теории множеств.
G общее подмножество P над M. —

Определения

P удовлетворяет условию счетной цепи , если каждая антицепь в P не более чем счетна. Это означает, что V и V [ G ] имеют одинаковые кардиналы (и одинаковые конфинальности).
Подмножество D в P называется плотным , если для каждого p ∈ P существует такой q ∈ D, что q ⩽ p .
Фильтр F на P непустое подмножество F в P такое, что если p < q и p ∈ F, то q ∈ F , а если p ∈ — это и q ∈ F , то существует некоторый r ∈ F такой, что r ⩽ p и r ⩽ q. .
Подмножество G из P называется общим над M если это фильтр, который соответствует каждому плотному подмножеству P в M. ,

Выгонка амебы

Форсирование амебы — это форсирование с порядком амебы и добавление набора случайных чисел меры 1.

Коэн заставляет

В форсировании Коэна (названном в честь Пола Коэна ) P — это набор функций из конечного подмножества ω ₂ × ω до {0,1}и p < q, если p ⊇ q .

Это ЧУМ удовлетворяет условию счётной цепи. Форсирование этого частичного набора добавляет _{ω 2} к модели различных действительных чисел; это было ЧУ-множество, использованное Коэном в его первоначальном доказательстве независимости гипотезы континуума.

В более общем смысле, можно заменить ω ₂ любым кардиналом κ, поэтому построим модель, в которой континуум имеет размер не менее κ. Здесь нет никаких ограничений. Если κ имеет конфинальность ω, вещественные числа в конечном итоге оказываются больше κ.

Григорьев форсирует

Форсинг Григорьева (по Сержу Григорьеву) разрушает свободный ультрафильтр на ω.

Гехлер заставляет

Форсинг Гехлера (в честь Стивена Германа Гехлера) используется, чтобы показать, что аксиома Мартина подразумевает, что в каждом семействе функций, содержащих меньше, чем c , от ω до ω, в конечном итоге доминирует какая-то такая функция.

P — это набор пар ( s , E ) , где s — конечная последовательность натуральных чисел (рассматриваемых как функции от конечного ординала до ω), а E — конечное подмножество некоторого фиксированного множества G функций от ω до ω. Элемент ( s , E ) сильнее, чем ( t , F ), если t содержится в s , F содержится в E , и если k находится в области определения s , но не в t, то s ( k ) > h ( k ) для всех h в F .

Форсирование Йокуша – Соаре

Принуждение с $\Pi _{1}^{0}$ Классы были изобретены Робертом Соаре и Карлом Йокушем, чтобы доказать, среди прочего, теорему о низком базисе . Здесь P — множество непустых $\Pi _{1}^{0}$ подмножества $2^{\omega }$ (имеются в виду множества путей через вычислимые поддеревья бесконечные $2^{<\omega }$ ), упорядоченный по включению.

Повторное принуждение

Итерированное воздействие с конечными опорами было введено Соловеем и Тенненбаумом, чтобы показать непротиворечивость гипотезы Суслина . Истон представил другой тип итерационного воздействия для определения возможных значений функции континуума при регулярных кардиналах. Итерационный форсинг со счетной поддержкой исследовался Лейвером в его доказательстве непротиворечивости гипотезы Бореля, Баумгартнером , который ввел форсинг Аксиомы А, и Шелой , который ввел правильный форсинг. Пересмотренная итерация счетной поддержки была введена Шелой для обработки полуправильных воздействий, таких как форсирование Прикры, и обобщений, в частности, включая форсирование Намбы.

Делаю принуждение

Форсинг Лейвера был использован Лейвером, чтобы показать, что гипотеза Бореля, утверждающая, что все множества нулей сильной меры счетны, согласуется с ZFC. (Гипотеза Бореля не согласуется с гипотезой континуума.)

P — множество деревьев Лейвера, упорядоченное по включению.

Дерево Лавера p — это подмножество конечных последовательностей натуральных чисел такое, что

p — дерево: p содержит любую начальную последовательность любого элемента p , что эквивалентно тому, что p замкнуто относительно начальных сегментов.
p имеет стебель: максимальный узел s ( p ) = s ∈ p такой, что s ⩽ t или t ⩽ s для всех t в p ,
Если t ∈ p и s ≤ t, то t имеет бесконечное число непосредственных наследников tn в p для n ∈ ω .

Если G является общим для ( P , ≤) , то вещественное число { s ( p ) : p ∈ G } , называемое вещественным числом Лавера , однозначно определяет G .

Принуждение Лейвера удовлетворяет свойству Лейвера .

Леви рушится

Эти частично упорядоченные наборы будут схлопывать различные кардиналы, другими словами, заставят их быть равными по размеру меньшим кардиналам.

Свертывание кардинала в ω: P — это множество всех конечных последовательностей ординалов, меньших заданного кардинала λ. Если λ несчетно, то принуждение с помощью этого частично упорядоченного множества сводит λ к ω.
Свертывание кардинала в другой: P - это набор всех функций из подмножества κ мощности меньше κ до λ (для фиксированных кардиналов κ и λ). Принуждение с помощью этого частичного набора сжимает λ до κ.
Коллапс Леви: если κ регулярно и λ недоступно, то P — это множество функций p на подмножествах λ × κ с размером области меньше κ и p (α, ξ) < α для каждого (α, ξ) в область p . Это ЧУ-множество сжимает все кардиналы меньше λ на κ, но сохраняет λ как преемника κ.

Падение Леви названо в честь Азриэля Леви .

Магидор форсирует

Среди многих понятий форсинга, разработанных Магидором , одно из наиболее известных - это обобщение форсинга Прикры, используемое для изменения конфинальности кардинала на заданный меньший правильный кардинал.

Матиас заставляет

Элемент P — это пара, состоящая из конечного набора s натуральных чисел и бесконечного множества A натуральных чисел, такая что каждый элемент s меньше, чем каждый элемент A . Порядок определяется

( t , B ) сильнее, чем ( s , A ) (( t , B ) < ( s , A )) если s - начальный сегмент t , B - подмножество A , и t содержится в s ∪ A .

Форсинг Матиаса назван в честь Адриана Матиаса .

Форсирование намбы

Форсинг Намбы (от кандзи Намба) используется для изменения конфинальности ω ₂ на ω без разрушения ω ₁ .

P — множество всех деревьев $T\subseteq \omega _{2}^{<\omega }$ (непустые замкнутые вниз подмножества множества конечных последовательностей ординалов меньше ω ₂ ), которые обладают тем свойством, что любое s в T имеет расширение в T , имеющее $\aleph _{2}$ непосредственные преемники. P упорядочен по включению (т.е. поддеревья являются более сильными условиями). Пересечение всех деревьев в общем фильтре определяет счетную последовательность, конфинальную по ω ₂ .

Форсирование Намбы — это подмножество P , такое, что существует узел, ниже которого порядок линейный, а выше которого каждый узел имеет $\aleph _{2}$ непосредственные преемники.

Магидор и Шела доказали, что если CH выполняется, то родовой объект форсинга Намбы не существует в родовом расширении Намбы', и наоборот. ^[1]^[2]

Prikry forcing

В Прикрым форсинге (по Карелу Прикры) P — это множество пар ( s , A ) , где s — конечное подмножество фиксированного измеримого кардинала κ, а A — элемент фиксированной нормальной меры D на κ. Условие ( s , A ) сильнее, чем ( t , B ), если t начальный сегмент s , A содержится в B , а s содержится в t ∪ B. — Это принудительное понятие можно использовать для перехода к конфинальности κ с сохранением всех кардиналов.

Форсирование продукта

Взятие продукта навязывания условий — это способ одновременного навязывания всех условий.

Конечные произведения : Если P и Q являются частично упорядоченными множествами, то частично упорядоченное произведение P × Q имеет частичный порядок, определяемый формулой ( p ₁ , q ₁ ) ≤ ( p ₂ , q ₂ ), если p ₁ ≤ p ₂ и q ₁ ≤ q ₂ .
Бесконечные произведения : произведение множества частично упорядоченных множеств , _Pi i ∈ I , каждый из которых имеет наибольший элемент 1, является набором функций p на I с p ( i ) ∈ P ( i ) и таких, что p ( i ) = 1 для всех, кроме конечного числа i . Порядок определяется как p ≤ q , если p ( i ) ≤ q ( i ) для всех i .
Произведение Истона (после Уильяма Бигелоу Истона) набора частично упорядоченных множеств , _Pi i ∈ I , где I — набор кардиналов, представляет собой набор функций p на I с p ( i ) ∈ P ( i ) и таких, что для для каждого правильного кардинала γ число элементов α из γ, p (α) ≠ 1, меньше γ.

Радин форсирует

Форсинг Радина (в честь Лона Берка Радина), технически сложное обобщение форсинга Магидора, добавляет замкнутое неограниченное подмножество к некоторому регулярному кардиналу λ.

Если λ — достаточно большой кардинал, то форсинг сохраняет λ регулярным, измеримым , сверхкомпактным и т. д.

Случайное принуждение

P — множество борелевских подмножеств положительной меры в [0,1], где p называется более сильным, чем q, если оно содержится в q . Общий набор G затем кодирует «случайное вещественное число»: уникальное вещественное число x _G во всех рациональных интервалах [ r , s ] ^{V [ G ]} такой, что [ r , s ] ^V в Г. находится Это число является «случайным» в том смысле, что если X — любое подмножество [0, 1] ^V меры 1, лежащий в V , то x _G ∈ X .

Выгонка мешков

P — множество всех совершенных деревьев, содержащихся в множестве конечных последовательностей {0, 1} . (Дерево T представляет собой набор конечных последовательностей, содержащих все начальные сегменты своих членов, и называется совершенным, если для любого элемента t из T существует сегмент s, расширяющий t так, что и s 0, и s 1 находятся в T .) A дерево p сильнее q, если p содержится в q . Форсирование идеальных деревьев использовал Джеральд Энох Сакс для создания настоящего a с минимальной степенью конструктивности.

Форсирование Сакса имеет свойство Сакса .

Стрельба по быстрому клубу

Для S стационарное подмножество $\omega _{1}$ мы устанавливаем $P=\{\langle \sigma ,C\rangle \,\colon \sigma$ — замкнутая последовательность из S , а C — замкнутое неограниченное подмножество $\omega _{1}\}$ , заказанный $\langle \sigma ',C'\rangle \leq \langle \sigma ,C\rangle$ если только $\sigma '$ конец расширяется $\sigma$ и $C'\subseteq C$ и $\sigma '\subseteq \sigma \cup C$ . В $V[G]$ , у нас это есть $\bigcup \{\sigma \,\colon (\exists C)(\langle \sigma ,C\rangle \in G)\}$ — замкнутое неограниченное подмножество S, содержащееся в каждом клубном множестве из V. почти $\aleph _{1}$ сохраняется. Этот метод был введен Рональдом Дженсеном для того, чтобы показать непротиворечивость гипотезы континуума и гипотезы Суслина .

Стрельба из дубинки со счетными условиями

Для S стационарное подмножество $\omega _{1}$ мы полагаем P равным множеству замкнутых счетных последовательностей из S . В $V[G]$ , у нас это есть $\bigcup G$ является замкнутым неограниченным подмножеством S и $\aleph _{1}$ сохраняется, и если CH выполняется, то все кардиналы сохраняются.

Стрельба из клюшки с конечными условиями

Для S стационарное подмножество $\omega _{1}$ мы полагаем P равным множеству конечных множеств пар счетных ординалов, таких, что если $p\in P$ и $\langle \alpha ,\beta \rangle \in p$ затем $\alpha \leq \beta$ и $\alpha \in S$ и всякий раз, когда $\langle \alpha ,\beta \rangle$ и $\langle \gamma ,\delta \rangle$ являются различными элементами p , то либо $\beta <\gamma$ или $\delta <\alpha$ . P упорядочен обратным включением. В $V[G]$ , у нас это есть $\{\alpha \,\colon (\exists \beta )(\langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}$ является замкнутым неограниченным подмножеством S и все кардиналы сохраняются.

Серебряная выгонка

Форсирование Сильвера (в честь Джека Ховарда Сильвера ) — это набор всех тех частичных функций от натуральных чисел до {0, 1}, область определения которых кобесконечна; или, что то же самое, набор всех пар ( A , p ) , где A — подмножество натуральных чисел с бесконечным дополнением, а p — функция из A в фиксированный набор из двух элементов. Условие q сильнее условия p, если q расширяет p .

Форсирование серебра удовлетворяет Fusion, свойству Сакса , и минимально по отношению к реальным числам (но не минимально).

Вопенка выгонка

Форсирование Vopěnka (по имени Petr Vopěnka ) используется для общего добавления набора $A$ ординалов к ${\color {blue}{\text{HOD}}}$ .Сначала определите $P'$ как множество всех непустых ${\text{OD}}$ подмножества набора мощности ${\mathcal {P}}(\alpha )$ из $\alpha$ , где $A\subseteq \alpha$ , упорядоченный по включению: $p\leq q$ если только $p\subseteq q$ .Каждое условие $p\in P'$ может быть представлен кортежем $(\beta ,\gamma ,\varphi )$ где $x\in p\Leftrightarrow V_{\beta }\models \varphi (\gamma ,x)$ , для всех $x\subseteq \alpha$ .Перевод между $p$ и его наименьшее представление ${\text{OD}}$ , и, следовательно, $P'$ изоморфно частичному множеству $P\in {\text{HOD}}$ (условия — минимальные представленияэлементов $P'$ ). Это частичное множество является форсированием Вопенки для подмножеств $\alpha$ .Определение $G_{A}$ как набор всех представлений элементов $p\in P'$ такой, что $A\in p$ , затем $G_{A}$ является ${\text{HOD}}$ -общий и $A\in {\text{HOD}}[G_{A}]$ .

Ссылки

^ Шела, С., Правильное и неправильное принуждение (пункт XI.4.2), Springer, 1998 г.
^ Шлиндвейн, К., Работа Шела о неполуправильных итерациях, I, Архив математической логики, том. 47, нет. 6, стр. 579-606 (2008)

Йех, Томас (2003), Теория множеств: издание тысячелетия , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
Кунен, Кеннет (2011), Теория множеств , Исследования по логике, том. 34, Лондон: Публикации колледжа, ISBN 978-1-84890-050-9 , Збл 1262.03001

Внешние ссылки

А.Миллер (2009), Принуждение к пикантным кусочкам.

[1] Шела, С., Правильное и неправильное принуждение (пункт XI.4.2), Springer, 1998 г.

[2] Шлиндвейн, К., Работа Шела о неполуправильных итерациях, I, Архив математической логики, том. 47, нет. 6, стр. 579-606 (2008)

[1]

[2]