Рефлексия (математика)

В математике отражение как (также пишется рефлексия ) ^[1] — отображение евклидова пространства в себя, которое представляет собой изометрию с гиперплоскостью как набором неподвижных точек ; этот набор называется осью (в измерении 2) или плоскостью (в измерении 3) отражения. Изображение фигуры отражением — это ее зеркальное отражение в оси или плоскости отражения. Например, зеркальное изображение маленькой латинской буквы p, обозначающей отражение относительно вертикальной оси ( вертикальное отражение ), будет выглядеть как q . Его изображение при отражении по горизонтальной оси ( горизонтальное отражение ) будет выглядеть как b . Отражение — это инволюция : при двукратном применении каждая точка возвращается в исходное положение, а каждый геометрический объект возвращается в исходное состояние.

Термин «отражение» иногда используется для обозначения более широкого класса отображений евклидова пространства в себя, а именно нетождественных изометрий, которые являются инволюциями. Такие изометрии имеют набор неподвижных точек («зеркало»), который представляет собой аффинное подпространство , но, возможно, меньше гиперплоскости. Например, отражение через точку — это инволютивная изометрия только с одной фиксированной точкой; изображение буквы р под нимбудет выглядеть как d . Эта операция также известна как центральная инверсия ( Coxeter 1969 , §7.2) и демонстрирует евклидово пространство как симметричное пространство . В евклидовом векторном пространстве отражение в точке, расположенной в начале координат, аналогично отрицанию вектора. Другие примеры включают отражения в линии в трехмерном пространстве. Однако обычно безоговорочное использование термина «отражение» означает отражение в гиперплоскости .

Некоторые математики используют слово « флип » как синоним слова «отражение». ^[2]^[3]^[4]

Строительство

Точка $Q$ является отражением точки $P$ через линию $AB$ .

В плоской (или, соответственно, трехмерной) геометрии, чтобы найти отражение точки, опустите перпендикуляр из точки к линии (плоскости), используемой для отражения, и продлите его на такое же расстояние в другую сторону. Чтобы найти отражение фигуры, отразите каждую точку фигуры.

Чтобы отразить точку $Р$ через линию $АВ$ с помощью циркуля и линейки , поступите следующим образом (см. рисунок):

Шаг 1 (красный): постройте круг с центром в точке $P$ и некоторым фиксированным радиусом $r$ , чтобы создать точки $A '$ и $B'$ на линии $AB$ которые будут равноудалены от $P.$ ,
Шаг 2 (зеленый): постройте круги с центрами $A'$ и $B'$ и радиусом $r$ . $P$ и $Q$ будут точками пересечения этих двух окружностей.

Тогда точка $Q$ является отражением точки $P$ через линию $AB$ .

Характеристики

Матрица . отражения ортогональна с определителем -1 и собственными значениями -1, 1, 1, ..., 1. Произведение двух таких матриц представляет собой специальную ортогональную матрицу, представляющую вращение Каждое вращение является результатом отражения четного числа отражений в гиперплоскостях, проходящих через начало координат, а каждое неправильное вращение является результатом отражения нечетного числа. Таким образом, отражения порождают ортогональную группу , и этот результат известен как теорема Картана-Дьедонне .

Аналогично евклидова группа , состоящая из всех изометрий евклидова пространства, порождается отражениями в аффинных гиперплоскостях. В общем, группа , порожденная отражениями в аффинных гиперплоскостях, известна как группа отражений . примерами групп Порожденные таким образом конечные группы являются Кокстера .

Отражение от прямой на плоскости

Отражение через произвольную линию через начало координат в двух измерениях можно описать следующей формулой

\operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}l-v,

где $v$ обозначает отражаемый вектор, $l$ обозначает любой вектор в линии, через которую осуществляется отражение, и $v\cdot l$ обозначает произведение скалярное $v$ с $l$ . Обратите внимание, что приведенную выше формулу также можно записать как

\operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,

говоря, что отражение $v$ через $l$ равна 2- проекции кратной $v$ на $l$ , минус вектор $v$ . Отражения в линии имеют собственные значения 1 и −1.

Отражение через гиперплоскость в n измерениях

Учитывая вектор $v$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ , формула отражения в гиперплоскости через начало координат, ортогональное к $a$ , определяется

\operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,

где $v\cdot a$ обозначает произведение скалярное $v$ с $a$ . Обратите внимание, что второй член в приведенном выше уравнении всего в два раза превышает векторную проекцию $v$ на $a$ . Это можно легко проверить

$Ref a (v) = - v$ , if $v$ параллельно $a$ , и
$Ref a (v) = v$ , if $v$ перпендикулярен $а$ .

Используя геометрическое произведение , формула имеет вид

\operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.

Поскольку эти отражения представляют собой изометрии евклидова пространства, фиксирующие начало координат, они могут быть представлены ортогональными матрицами . Ортогональной матрицей, соответствующей приведенному выше отражению, является матрица