Эластичный модуль

Эластичный модуль (также известный как модуль эластичности ) представляет собой единицу измерения сопротивления объекта или вещества к деформированию эластично (т. Е. Непомененно), когда напряжение к нему применяется .

Определение

Эластичный модуль объекта определяется как наклон его кривой напряжения -деформации в области упругой деформации: ^{[ 1 ]} Более жесткий материал будет иметь более высокий модуль упругости. Упругой модуль имеет форму:

\delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}

Если напряжение является силой, вызывающей деформацию, деленную на область, к которой применяется сила, и деформация является соотношением изменения в некотором параметре, вызванном деформацией к исходному значению параметра.

Поскольку деформация является безразмерным количеством, единицы $\delta$ будет таким же, как и единицы стресса. ^{[ 2 ]}

Эластичные константы и модули

Эластичные константы представляют собой специфические параметры, которые количественно определяют жесткость материала в ответ на приложенные напряжения и являются фундаментальными для определения упругих свойств материалов. Эти константы образуют элементы матрицы жесткости в тензорных обозначениях, которые связывают напряжение, чтобы напрягать линейные уравнения в анизотропных материалах. Обычно обозначаемые как C _IJKL , где я , J , K и L являются направлениями координат, эти константы необходимы для понимания того, как материалы деформируются при различных нагрузках. ^{[ 3 ]}

Типы модуля упругости

Указание, как необходимо измерить стресс и деформацию, включая направления, позволяет определить многие типы упругого модуля. Четыре основных из них:

Модуль Янга ( E ) описывает растягивающую и сжимающую эластичность или тенденцию объекта деформировать вдоль оси, когда противоположные силы применяются вдоль этой оси; Это определяется как отношение напряжения на растяжение к напряжению растяжения . Это часто называют просто модулем упругости .
Модуль сдвига или модуль жесткости ( g или $\mu \,$ Второй параметр LAMé) описывает тенденцию объекта к сдвигу (деформация формы при постоянном объеме), когда он действует противоположными силами; Это определяется как напряжение сдвига на напряжении сдвига . Модуль сдвига является частью вывода вязкости .
Модуль объема ( k ) описывает объемную эластичность или тенденцию объекта деформироваться во всех направлениях, когда они равномерно нагружены во всех направлениях; Он определяется как объемное напряжение над объемным деформацией и является обратной сжимаемостью . Основной модуль является расширением модуля Янга до трех измерений.
Модуль изгиба ( E _Flex ) описывает тенденцию объекта сгибаться, когда он действует на мгновение .

Два других модуля упругости-это первый параметр Lamé , λ и модуль P-волны , M , как это используется в сравнениях таблицы модулей, приведенных ниже ссылок. Гомогенные и изотропные (аналогичные во всех направлениях) материалы (твердые вещества) обладают своими (линейными) упругими свойствами, полностью описанными двумя упругими модулями, и можно выбрать любую пару. Учитывая пару модулей упругости, все другие упругие модули могут быть рассчитаны в соответствии с формулами в таблице ниже в конце страницы.

Непревзойденные жидкости являются особенными в том смысле, что они не могут поддерживать напряжение сдвига, что означает, что модуль сдвига всегда равен нулю. Это также подразумевает, что модуль Янга для этой группы всегда нулевой.

В некоторых текстах модуль эластичности называется эластичной постоянной , в то время как обратная величина называется эластичным модулем .

Расчет функциональной теории плотности

Теория функционала плотности (DFT) обеспечивает надежные методы для определения нескольких форм упругих модулей, которые характеризуют различные особенности реакции материала на механические напряжения. Использовать программное обеспечение DFT, такие как VASP , квантовый эспрессо или Abinit . В целом, проведение тестов, чтобы гарантировать, что результаты не зависят от вычислительных параметров, таких как плотность сетки K-точки, энергия отсечения плоскости и размер ячейки моделирования.

Модуль Янга ( E ) - Примените небольшие, постепенные изменения в параметре решетки вдоль определенной оси и вычислите соответствующую реакцию напряжения с использованием DFT. Затем модуль Янга рассчитывается как e = σ / ϵ , где σ - это напряжение, а ϵ - деформация. ^{[ 4 ]}
1. Начальная структура: начните с расслабленной структуры материала. Все атомы должны находиться в состоянии минимальной энергии (то есть, минимальное энергетическое состояние с нулевыми силами на атомах), прежде чем применяются какие -либо деформации. ^{[ 5 ]}
2. ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫЙ УНИООКСКИЙ Штамм: нанесите небольшие, инкрементные штаммы на кристаллическую решетку вдоль определенной оси. Этот штамм обычно является одноосным , что означает, что он растягивает или сжимает решетку в одном направлении, сохраняя при этом постоянные или периодические измерения.
3. Рассчитайте напряжения: для каждой напряженной конфигурации запустите расчет DFT для вычисления полученного тензора напряжений. ^{[ необходимо устранение неоднозначности ]}Полем Это включает в себя решение уравнений Кон-Шама, чтобы найти основное состояние электронов и энергии в напряженных условиях
4. Кривая напряжения-деформации : постройте рассчитанное напряжение в зависимости от приложенного деформации, чтобы создать кривую напряжения. Наклон начальной линейной части этой кривой дает модуль Янга. Математически, модуль Янга E рассчитывается с использованием формулы e = σ / ϵ , где σ - это напряжение, а ϵ - деформация.
Модуль сдвига ( G )
1. Начальная структура: начните с расслабленной структуры материала. Все атомы должны находиться в состоянии минимальной энергии без остаточных сил . (т. Е. Минимальное энергетическое состояние с нулевыми силами на атомах) до применения каких -либо деформаций.
2. Применение деформации сдвига: примените небольшие приращения деформации сдвига к материалу. Штаммы сдвига, как правило, являются неагональными компонентами в тензоре штамма, влияя на форму, но не на объем кристаллической клетки. ^{[ 6 ]}
3. Расчет напряжений: для каждой конфигурации с приложенной деформацией сдвига выполните расчет DFT, чтобы определить результирующий тензор напряжения.
4. Кривая напряжения сдвига в зависимости от деформации сдвига : постройте рассчитанное напряжение сдвига на приложенное напряжение сдвига для каждого приращения. Наклон кривой напряжения в ее линейной области обеспечивает модуль сдвига, g = τ / γ , где τ -сдвиг Стресс и γ - это нанесенный деформация сдвига.
Объемный модуль ( k )
1. Начальная структура: начните с расслабленной структуры материала. Крайне важно, чтобы материал был полностью оптимизирован, гарантируя, что любые изменения в объеме были исключены из -за приложенного давления.
2. Изменения объема: постепенно измените объем кристаллической ячейки , либо сжатие, либо расширяя ее. Обычно это делается путем равномерного масштабирования параметров решетки.
3. Рассчитайте давление: для каждого измененного объема выполните расчет DFT, чтобы определить давление, необходимое для поддержания этого объема. DFT допускает расчет тензоров напряжений, которые обеспечивают прямую меру внутреннего давления.
4. Кривая давления давления : постройте приложенное давление в отношении результирующего изменения объема. Модуль объема можно рассчитать по наклону этой кривой в линейной эластичной области. Модуль объема определяется как k = - vdv / dp , где v - исходный объем, DP - это изменение давления, а DV - это изменение в томе. ^{[ 7 ]}

Смотрите также

Ссылки

^ Askeland, Donald R.; Phulé, Pradeep P. (2006). Наука и инженерия материалов (5 -е изд.). Cengage Learning. п. 198. ISBN 978-0-534-55396-8 .
^ Пиво, Фердинанд П.; Джонстон, Э. Рассел; ДеВольф, Джон; Мазурек, Дэвид (2009). Механика материалов . МакГроу Хилл. п. 56 ISBN 978-0-07-015389-9 .
^ Шрайбер, Эдвард; Андерсон, Ол; Сога, Наохиро (1974). Упругие константы и их измерение . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-055603-4 .
^ Alasfar, Reema H.; Ахзи сказал; Барт, Николас; Кохкодан, Виктор; Храйшех, Марван; Koç, Muammer (2022-01-18). «Обзор моделирования модуля упругости и напряжения урожая полимеров и нанокомпозитов полимеров: влияние температуры, скорости нагрузки и пористости» . Полимеры . 14 (3): 360. DOI : 10.3390/polym14030360 . ISSN 2073-4360 . PMC 8838186 . PMID 35160350 .
^ Хади, Массачусетс; Кристопулос, S.-RG; Chroneos, A.; Нациб, Ш; Ислам, Акма (2022-08-18). «DFT понимает электронную структуру, механическое поведение, динамику решетки и процессы дефектов в первой максимальной фазе SC SC2SNC на основе SC» . Научные отчеты . 12 (1): 14037. DOI : 10.1038/S41598-022-18336-Z . ISSN 2045-2322 . PMC 9388654 . PMID 35982080 .
^ Ахмед, Разу; Mahamudujjaman, MD; Afzal, MD ASIF; Ислам, доктор медицинских наук; Ислам, рупий; Накиб, Ш (май 2023). «Сравнительный анализ на основе DFT физических свойств некоторых бинарных переходных металлических карбидов XC (x = nb, ta, ti)» . Журнал исследований материалов и технологий . 24 : 4808–4832. doi : 10.1016/j.jmrt.2023.04.147 . ISSN 2238-7854 .
^ Чоудхари, Камаль; Чон, Говун; Рид, Эван; Тавацца, Франческа (2018-07-12). «Упругие свойства объемных и низкоразмерных материалов с использованием функционала плотности Ван-дер-Ваальса» . Физический обзор б . 98 (1): 014107. Arxiv : 1804.01033 . Bibcode : 2018 Phrvb..98a4107c . doi : 10.1103/physrevb.98.014107 . ISSN 2469-9950 . PMC 7067065 . PMID 32166206 .

Дальнейшее чтение

HeartSuit, C.; Wellman, JW (2001). Инженерная механика . Том 2. Springer. ISBN 978-1-4020-4123-5 .

Де Йонг, М.; Чен, Вэй (2015). «Наметить полные упругие свойства неорганических кристаллических соединений» . Научные данные . 2 : 150009. BIBCODE : 2013NATSD ... 2E0009D . doi : 10.1038/sdata.2015.9 . PMC 4432655 . PMID 25984348 .

Формулы преобразования
Гомогенные изотропные линейные эластичные материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями среди них; Таким образом, учитывая любые два, любые другие модули упругости могут быть рассчитаны в соответствии с этими формулами, предоставленными как для трехмерных материалов (первая часть таблицы), так и для двухмерных материалов (вторая часть).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Примечания
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Есть два действительных решения. Знак плюса приводит к $\nu \geq 0$ . Знак минус приводит к $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Нельзя использовать, когда $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D формулы	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Примечания
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Нельзя использовать, когда $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

[1] Askeland, Donald R.; Phulé, Pradeep P. (2006). Наука и инженерия материалов (5 -е изд.). Cengage Learning. п. 198. ISBN 978-0-534-55396-8 .

[2] Пиво, Фердинанд П.; Джонстон, Э. Рассел; ДеВольф, Джон; Мазурек, Дэвид (2009). Механика материалов . МакГроу Хилл. п. 56 ISBN 978-0-07-015389-9 .

[3] Шрайбер, Эдвард; Андерсон, Ол; Сога, Наохиро (1974). Упругие константы и их измерение . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-055603-4 .

[4] Alasfar, Reema H.; Ахзи сказал; Барт, Николас; Кохкодан, Виктор; Храйшех, Марван; Koç, Muammer (2022-01-18). «Обзор моделирования модуля упругости и напряжения урожая полимеров и нанокомпозитов полимеров: влияние температуры, скорости нагрузки и пористости» . Полимеры . 14 (3): 360. DOI : 10.3390/polym14030360 . ISSN 2073-4360 . PMC 8838186 . PMID 35160350 .

[5] Хади, Массачусетс; Кристопулос, S.-RG; Chroneos, A.; Нациб, Ш; Ислам, Акма (2022-08-18). «DFT понимает электронную структуру, механическое поведение, динамику решетки и процессы дефектов в первой максимальной фазе SC SC2SNC на основе SC» . Научные отчеты . 12 (1): 14037. DOI : 10.1038/S41598-022-18336-Z . ISSN 2045-2322 . PMC 9388654 . PMID 35982080 .

[6] Ахмед, Разу; Mahamudujjaman, MD; Afzal, MD ASIF; Ислам, доктор медицинских наук; Ислам, рупий; Накиб, Ш (май 2023). «Сравнительный анализ на основе DFT физических свойств некоторых бинарных переходных металлических карбидов XC (x = nb, ta, ti)» . Журнал исследований материалов и технологий . 24 : 4808–4832. doi : 10.1016/j.jmrt.2023.04.147 . ISSN 2238-7854 .

[7] Чоудхари, Камаль; Чон, Говун; Рид, Эван; Тавацца, Франческа (2018-07-12). «Упругие свойства объемных и низкоразмерных материалов с использованием функционала плотности Ван-дер-Ваальса» . Физический обзор б . 98 (1): 014107. Arxiv : 1804.01033 . Bibcode : 2018 Phrvb..98a4107c . doi : 10.1103/physrevb.98.014107 . ISSN 2469-9950 . PMC 7067065 . PMID 32166206 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]