Список принудительных представлений

математике принуждение является методом построения новых моделей [ G ] теории наборов путем добавления общего подмножества G Poset В P в модель M. M Используемый Poset P определит, какие утверждения содержится в новой вселенной («расширение»); Чтобы принудительно заинтересовано, требуется строительство подходящего р . В этой статье перечислены некоторые из штук P , которые использовались в этой конструкции.

Обозначение

P это постав с заказом <
V - вселенная всех наборов
M - счетная модель теории наборов
G - общее подмножество P по сравнению с m .

Определения

P удовлетворяет условию исчисляемой цепи , если каждый античейн в P является наиболее склонным. Это подразумевает, что v и v [ g ] имеют одинаковые кардиналы (и одну и ту же кофинальность).
Подмножество D Ps p называется плотным , если для каждого ∈ P есть какой -то Q ∈ D с Q ≤ p .
Фильтр F на P - это непустое подмножество F, F так что если p < q и p ∈ F то q ∈ , и если p ∈ q и q ∈ F , то есть некоторое r ∈ F с R ≤ p и r ≤ , Полем
Подмножество g Ps , называется общим M подмножеству если это фильтр, который соответствует каждому плотному P в m .

Амеба нажимает

Amoeba Shiping вызывает приказ амебы и добавляет набор случайных реальных меры.

Коэн принуждает

В Cohen Shiping (названном в честь Пола Коэна ) P является набором функций из конечной подмножества ω ₂ × ω до {0,1} и p < q, если P ⊇ q .

Этот поэск удовлетворяет условию исчисляемой цепочки. Принудительное с этим Poset добавляет ω ₂ различных реальных в модель; Это был пост, используемый Коэном в его первоначальном доказательстве независимости гипотезы континуума.

В целом, можно заменить ω ₂ на любой кардинал κ, поэтому постройте модель, где континуум имеет размер, по крайней мере, κ. Здесь нет никаких ограничений. Если κ имеет кофинальность ω, реальность в конечном итоге больше, чем κ.

Григорьефф нажимает

Григорьефф, принуждающий (после Сержа Григорева) уничтожает бесплатный ультрафильтр на ω.

Хехлер принудительный

Hechler Shiping (после Стивена Германа Хехлера) используется для показа, что в аксиоме Мартина подразумевается, что в каждом семействе меньше, чем C , от ω до ω в конечном итоге преобладает некоторая такая функция.

P - набор пар ( s , e ) , где S - конечная последовательность натуральных чисел (рассматриваемые как функции от конечного порядка до ω), а E - конечная подмножество некоторого фиксированного набора функций от ω до ω. Элемент ( s , e ) сильнее ( t , f ), если t содержится в s , f содержится в E , и если k находится в домене S , но не T t k ( ) > h ( k ) для всех h в f .

Jockusch - принуждение

Принуждение с $\Pi _{1}^{0}$ Занятия были изобретены Робертом Соре и Карлом Джокуш, чтобы доказать, среди прочих результатов, теорема о низкой основе . Здесь p - набор неэмпатов $\Pi _{1}^{0}$ подмножества $2^{\omega }$ (имеется в виду наборы путей через бесконечные вычисляемые подделы , $2^{<\omega }$ ), заказано включением.

Итеративное воздействие

Итерационное воздействие с конечными опорами было введено Соловой и Тенненбаумом, чтобы показать последовательность гипотезы Суслина . Истон представил еще один тип итерационного воздействия, чтобы определить возможные значения функции континуума в обычных кардиналах. Итерационное принуждение с исчисляемой поддержкой была исследована Лейвером в его доказательстве последовательности гипотезы Борела, Баумгартнера , который ввел аксиому А, и Шела , который ввел правильное воздействие. Пересмотренная итерация подчиненной поддержки была представлена Шелахом для обработки полупрофильных воздействий, такими как привлечение и обобщения, в частности, включая принуждение Намбы.

Делая принуждение

Laver Shiping был использован Laver, чтобы показать, что гипотеза Borel, в которой говорится, что все сильные нулевые наборы меры соответствуют, согласуется с ZFC. (Гипотеза Borel не согласуется с гипотезой континуума.)

P - набор деревьев Laver, заказанный включением.

Laver Tree P является подмножеством конечных последовательностей натуральных чисел, так что

P - дерево: P содержит любую начальную последовательность любого элемента P , эквивалентно заявленное как P, закрыта в начальных сегментах
P имеет стебель: максимальный узел S ( P ) = S ∈ P, такой, что S ≤ T или T ≤ S для всех t в p ,
Если t ∈ P и S ≤ t, то t имеет бесконечное число непосредственных преемников Tn в p для n ∈ ω .

Если G является общим для ( p , ≤) , то реальный { s ( p ): p ∈ G } , называемый a laver-real , однозначно определяет g .

Laver Spusing удовлетворяет собственность Laver .

Сбор с обрушения

Эти шаги будут разрушаться различными кардиналами, другими словами заставляют их быть равными по размеру до более мелких кардиналов.

Разрушение кардинала до ω: p - это набор всех конечных последовательностей ординал, меньше, чем данное кардинальное λ. Если λ бесчисленно, то принуждение с этим потом рухнет λ до ω.
Разрушение кардинала на другое: P - набор всех функций из подмножества κ кардинальности меньше, чем от κ до λ (для фиксированных кардиналов κ и λ). Принудительное с этим позицией рушится λ до κ.
Сваливание набора: если κ является регулярным, а λ недоступно, то P - набор функций P на подмножествах λ × κ с доменом размера менее чем κ и p (α, ξ) <α для каждого (α, ξ) в Домен р . Этот Poset снимает все кардиналы менее чем λ на κ, но сохраняет λ в качестве преемника до κ.

Расколование набора названо в честь Азриэля Леви .

Магидор принуждение

Среди многих, навязывающих понятия, разработанные Магидором , одним из самых известных является обобщение призрака, используемого для изменения кофинальности кардинала на данную меньшую обычную кардинал.

Матиас принуждение

Элемент P - это пара, состоящая из конечных наборов натуральных чисел и бесконечного набора натуральных так что каждый элемент S меньше, чем каждый элемент A. чисел , Порядок определяется

( t , b ) сильнее, чем ( s , a ) (( t , b ) <( s , a )), если S является начальным сегментом t , b - подмножество A , и t содержится в S ∪ a Полем

Матиас принуждение названо в честь Адриана Матиаса .

Намбер для

Название Намбы (после Кандзи Намба) используется для изменения кофинальности ω ₂ на ω без обрушения ω ₁ .

P - набор всех деревьев $T\subseteq \omega _{2}^{<\omega }$ (непустые вниз закрытые подмножества набора конечных последовательностей ординал меньше, чем ω ₂ ), которые имеют свойство, которое у любого S в T имеет расширение в T , который имеет $\aleph _{2}$ немедленные преемники. P упорядочено включением (то есть подтережеские являются более сильными условиями). Пересечение всех деревьев в общем фильтре определяет счетную последовательность, которая является кофинальной в ω ₂ .

Название Namba ' - это подмножество P , так что есть узел, ниже которого упорядочение линейно и выше, которое имеет каждый узел $\aleph _{2}$ немедленные преемники.

Magidor и Shelah доказали, что если CH удерживается, то общий объект Намба не существует в общем расширении Namba ', и наоборот. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Prikry forcing

При причудливом воздействии (после Карел Прикри) P является набором пар ( s , a ) , где S является конечной подмножностью фиксированной измеримой кардинальной κ, а A - элемент фиксированной нормальной меры D на κ. Условие ( s , a ) сильнее ( t , b ), если t является начальным сегментом S , A содержится в B , а S содержится в t ∪ b . Это принудительное понятие может быть использовано для перехода на кофинальность κ при сохранении всех кардиналов.

Продукт принуждение

Принятие продукта принусирования условий - это способ одновременного вынуждения всех условий.

Конечные продукты : если P и Q являются позициями, продукт Poset P × Q имеет частичный порядок, определяемый ( P ₁ , Q ₁ ) ≤ ( P ₂ , Q ₂ ), если P ₁ ≤ P ₂ и Q ₁ ≤ Q ₂ .
Бесконечные продукты : произведение набора складов P _i , i ∈ I , каждый с наибольшим элементом 1 - это набор функций p на i с p ( i ) ∈ P ( i ) и таким, что p ( i ) = 1 для всех, кроме конечного числа i . Порядок определяется как p ≤ Q , если p ( i ) ≤ q ( i ) для всех i .
Продукт Истон (после Уильяма Бигелоу Истон) из набора складов p _i , i ∈ I , где i - набор кардиналов - это набор функций p на i с p ( i ) ∈ P ( i ) и таким Каждый обычный кардинал γ Количество элементов α γ с p (α) ≠ 1 меньше γ.

Радин принудительный

Рэдиновое воздействие (после Lon Berk Radin), технически вовлеченное обобщение синхронизации магидора, добавляет закрытое, неограниченное подмножество в некоторую обычную кардинальную λ.

Если λ является достаточно большой кардиналом, то воздействие сохраняет λ обычным, измеримым , суперкомплектом и т. Д.

Случайное воздействие

P - набор подмножества Borel [0,1] положительной меры, где P называется более сильнее Q, он содержится в Q. если Общий набор G затем кодирует «случайный реальный»: уникальный Real X _G во всех рациональных промежутках [ R , S ] ^{V [ G ]} такова, что [ R , s ] ^V в g . Это реальное «случайное» в том смысле, что если x - какое -либо подмножество [0, 1] ^V мера 1, лежащего в V тогда x _g ∈ X. ,

Мешки принудительно

P - набор всех идеальных деревьев, содержащихся в наборе конечных последовательностей {0, 1} . (Tree T - это набор конечных последовательностей, содержащих все начальные сегменты его членов, и называется идеальным, если для любого элемента есть t так сегмент s, расширяющий t, что оба S 0 и S 1 находятся в T. ) a Дерево P сильнее Q если P содержится в Q. , Заталкивание с совершенными деревьями использовалось Джеральдом Енохом Саксом для создания реальной A с минимальной степенью конструкции.

У мешков, принудительного, обладает собственностью мешков .

Съемка быстрого клуба

Для S -стационарного подмножества $\omega _{1}$ Мы установили $P=\{\langle \sigma ,C\rangle \,\colon \sigma$ это закрытая последовательность от S , а C - закрытая неограниченная подмножество $\omega _{1}\}$ , заказано $\langle \sigma ',C'\rangle \leq \langle \sigma ,C\rangle$ IFF $\sigma '$ Конец $\sigma$ и $C'\subseteq C$ и $\sigma '\subseteq \sigma \cup C$ Полем В $V[G]$ , у нас есть это $\bigcup \{\sigma \,\colon (\exists C)(\langle \sigma ,C\rangle \in G)\}$ это закрытая неограниченная подмножество S, почти содержится в каждом клубе, установленном V. в $\aleph _{1}$ сохраняется. Этот метод был введен Рональдом Дженсеном , чтобы показать последовательность гипотезы континуума и гипотезы Суслина .

Стрельба из клуба с исчисляемыми условиями

Для S -стационарного подмножества $\omega _{1}$ Мы устанавливаем P равный набору закрытых счетных последовательностей от S. , В $V[G]$ , у нас есть это $\bigcup G$ это закрытая неограниченная подмножество S и $\aleph _{1}$ сохраняется, и если CH удерживается, то все кардиналы сохраняются.

Стрельба из клуба с конечными условиями

Для S -стационарного подмножества $\omega _{1}$ Мы устанавливаем P, равный набору конечных наборов пар исцененных ординал, так что если $p\in P$ и $\langle \alpha ,\beta \rangle \in p$ затем $\alpha \leq \beta$ и $\alpha \in S$ и всякий раз, когда $\langle \alpha ,\beta \rangle$ и $\langle \gamma ,\delta \rangle$ являются отдельными элементами p, тогда либо $\beta <\gamma$ или $\delta <\alpha$ Полем P упорядочено обратным включением. В $V[G]$ , у нас есть это $\{\alpha \,\colon (\exists \beta )(\langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}$ это закрытая неограниченная подмножество S , и все кардиналы сохраняются.

Серебряное воздействие

Серебряное воздействие (после Джека Ховарда Сильвера ) - это набор всех этих частичных функций из натуральных чисел в {0, 1}, домен которого - коинфинит; или эквивалентно набор всех пар ( a , p ) , где a представляет собой подмножество натуральных чисел с бесконечным комплементом, а P -функция из A в фиксированный 2-элементный набор. Условие Q сильнее условия p, если q расширяет с .

Серебряное принуждение удовлетворяет слиянию, собственность мешков и минимально относится к реальным (но не минимально).

Vopěnka принуждение

V $A$ ординалов ${\color {blue}{\text{HOD}}}$ Полем Определите первым $P'$ Как набор всех непустых ${\text{OD}}$ подмножества набора мощности ${\mathcal {P}}(\alpha )$ из $\alpha$ , где $A\subseteq \alpha$ , заказано включением: $p\leq q$ IFF $p\subseteq q$ Полем Каждое условие $p\in P'$ может быть представлен кортежом $(\beta ,\gamma ,\varphi )$ где $x\in p\Leftrightarrow V_{\beta }\models \varphi (\gamma ,x)$ , для всех $x\subseteq \alpha$ Полем Перевод между $p$ и его наименьшее представление ${\text{OD}}$ и, следовательно $P'$ является изоморфным для поса $P\in {\text{HOD}}$ (Условия являются минимальными представлениями элементов $P'$ ) Этот пост является принуждением Вупенки для подмножеств $\alpha$ Полем Определение $G_{A}$ как набор всех представлений для элементов $p\in P'$ так что $A\in p$ , затем $G_{A}$ является ${\text{HOD}}$ -generic и $A\in {\text{HOD}}[G_{A}]$ .

Ссылки

^ Shelah S., собственное и ненадлежащее принуждение (претензия XI.4.2), Springer, 1998
^ Schlindwein, C. Работа Шела по не-семипробирным итерациям, I, Архив для математической логики, вып. 47, нет. 6, с. 579 - 606 (2008)

Джех, Томас (2003), установил Milnendient Englion , Springs Monographs в математике, Берлин, Нью-Йорк: Sprinner-Promocous , ISBN 978-3-540-44085-7
Kunen, Kenneth (1980), Теория набора: введение в доказательства независимости , Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
Kunen, Kenneth (2011), Теория набора , исследования в Logic, Vol. 34, Лондон: публикации в колледже, ISBN 978-1-84890-050-9 , ZBL 1262.03001

Внешние ссылки

A.Miller (2009), принуждение лаковки.

[1] Shelah S., собственное и ненадлежащее принуждение (претензия XI.4.2), Springer, 1998

[2] Schlindwein, C. Работа Шела по не-семипробирным итерациям, I, Архив для математической логики, вып. 47, нет. 6, с. 579 - 606 (2008)

[ 1 ]

[ 2 ]