Дискретизация

Решение дискретизированного уравнения в частных производных, полученное методом конечных элементов .

В прикладной математике дискретизация — это процесс перевода непрерывных функций, моделей, переменных и уравнений в дискретные аналоги. Этот процесс обычно выполняется как первый шаг к тому, чтобы сделать их пригодными для численной оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация — это частный случай дискретизации, при котором число дискретных классов равно 2, что позволяет аппроксимировать непрерывную переменную как двоичную переменную (создавая дихотомию для моделирования целей , как в бинарной классификации ).

Дискретизация также связана с дискретной математикой и является важным компонентом гранулярных вычислений . В этом контексте дискретизация переменной или категории может также относиться к изменению степени детализации , например, когда несколько дискретных переменных агрегируются или несколько дискретных категорий объединяются.

Всякий раз, когда непрерывные данные дискретизируются , всегда возникает некоторая ошибка дискретизации . Цель состоит в том, чтобы уменьшить сумму до уровня, который считается незначительным для целей моделирования .

Термины дискретизация и квантование часто имеют одно и то же значение , но не всегда идентичные коннотации . (В частности, эти два термина имеют общее семантическое поле .) То же самое относится и к ошибке дискретизации и ошибке квантования .

Математические методы, относящиеся к дискретизации, включают метод Эйлера-Маруямы и удержание нулевого порядка .

Дискретизация линейных моделей пространства состояний

Дискретизация также связана с преобразованием непрерывных дифференциальных уравнений в дискретные разностные уравнения , пригодные для численных вычислений .

Следующая модель пространства состояний непрерывного времени

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)$

где v и w — непрерывные белого шума источники с нулевым средним значением и спектральной плотностью мощности.

$\mathbf {w} (t)\sim N(0,\mathbf {Q} )$

$\mathbf {v} (t)\sim N(0,\mathbf {R} )$

можно дискретизировать, предполагая нулевой порядок входного сигнала u и непрерывное интегрирование шума v , до

$\mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]$

$\mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]$

с ковариациями

$\mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})$

$\mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})$

где

$\mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}$

$\mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B}$, если $\mathbf {A}$ неособый ​

$\mathbf {C} _{d}=\mathbf {C}$

$\mathbf {D} _{d}=\mathbf {D}$

$\mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau$

$\mathbf {R} _{d}=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}$

и $T$ это время выборки, хотя $\mathbf {A} ^{\top }$ транспонированная матрица $\mathbf {A}$. Уравнение для шума дискретизированных измерений является следствием того, что непрерывный шум измерений определяется спектральной плотностью мощности.

Умный трюк для вычисления A _d и B _d за один шаг заключается в использовании следующего свойства:

$e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}$

Где $\mathbf {A} _{d}$и $\mathbf {B} _{d}$являются дискретизированными матрицами пространства состояний.

Дискретизация технологического шума

Численная оценка $\mathbf {Q} _{d}$ немного сложнее из-за матричного экспоненциального интеграла. Однако его можно вычислить, сначала построив матрицу и вычислив ее экспоненту.

$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T$

$\mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.$

Дискретизированный шум процесса затем оценивается путем умножения транспонирования нижнего правого раздела G на верхний правый раздел G :

$\mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).$

Вывод

Начиная с непрерывной модели

$\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$

мы знаем, что матричная экспонента равна

${\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A}$

и предварительно умножив модель, мы получим

$e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$

который мы признаем как

${\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)$

и интегрируя..

$e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau$

$\mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau$

что является аналитическим решением непрерывной модели.

Теперь мы хотим дискретизировать приведенное выше выражение. Мы предполагаем, что u постоянно на каждом временном шаге.

$\mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)$

$\mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau$

$\mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau$

$\mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau$

Мы распознаем выражение в квадратных скобках как $\mathbf {x} [k]$, а второе слагаемое можно упростить, заменив на функцию $v(\tau )=kT+T-\tau$. Обратите внимание, что $d\tau =-dv$. Мы также предполагаем, что $\mathbf {u}$ является постоянным во время интеграла , что, в свою очередь, дает

${\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}$

что является точным решением проблемы дискретизации.

Когда $\mathbf {A}$ имеет единственное число, последнее выражение все еще можно использовать, заменив $e^{\mathbf {A} T}$ посредством расширения Тейлора ,

$e^{{\mathbf {A} }T}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}.$

Это дает

${\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{{\mathbf {A} }T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{{\mathbf {A} }v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\mathbf {A} }^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k],\end{matrix}}$

какая форма используется на практике.

Приближения

Точная дискретизация иногда может оказаться затруднительной из-за сложных матричных экспоненциальных и интегральных операций. Гораздо проще рассчитать приближенную дискретную модель, основанную на ней для малых временных шагов. $e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T$. Тогда приближенное решение будет выглядеть следующим образом:

$\mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]$

Это также известно как метод Эйлера , который также известен как прямой метод Эйлера. Другие возможные приближения: $e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}$, иначе известный как обратный метод Эйлера и $e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}$, которое известно как билинейное преобразование или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений имеет разные свойства устойчивости. Билинейное преобразование сохраняет неустойчивость системы с непрерывным временем.

Дискретизация непрерывных функций

Основная статья: Дискретизация непрерывных функций

В статистике и машинном обучении дискретизация относится к процессу преобразования непрерывных функций или переменных в дискретизированные или номинальные функции. Это может быть полезно при создании массовых функций вероятности.

Дискретизация гладких функций

Основная статья: Распределение (математика) § Convolution_versus_Multiplication

В функций обобщенной теории дискретизация возникает как частный случай теоремы о свертке на умеренных дистрибутивах

${\mathcal {F}}\{f*\operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot \operatorname {III}$

${\mathcal {F}}\{\alpha \cdot \operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*\operatorname {III}$

где $\operatorname {III}$ это гребешок Дирака , $\cdot \operatorname {III}$ это дискретизация, $*\operatorname {III}$ является периодизация , $f$ представляет собой быстро убывающее умеренное распределение(например, дельта-функция Дирака $\delta$ или любой другой компактно поддерживаемая функция), $\alpha$ является гладким , медленно растущая обычная функция (например, функция, которая постоянно $1$или любая другая функция с ограниченным диапазоном частот )и ${\mathcal {F}}$ (унитарная, обычная частота) — преобразование Фурье .Функции $\alpha$ которые не являются гладкими, можно сделать гладкими с помощью смягчающего устройства перед дискретизацией.

Например, дискретизация функции, которая постоянно $1$ дает последовательность $[..,1,1,1,..]$ которые, интерпретируемые как коэффициенты линейной комбинации дельта -функций Дирака , образуют гребенку Дирака . Если дополнительно усечение , получаются конечные последовательности, например применить $[1,1,1,1]$. Они дискретны как по времени, так и по частоте.

См. также

• Дискретное моделирование событий
• Дискретное пространство
• Дискретное время и непрерывное время
• Метод конечных разностей
• Метод конечных объемов для нестационарного течения
• Сглаживание
• Стохастическое моделирование
• Исчисление шкалы времени

Дальнейшее чтение

• Роберт Гровер Браун и Патрик Ю.К. Хван (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана (3-е изд.). ISBN  978-0471128397 .
• Чи-Цонг Чен (1984). Теория и проектирование линейных систем . Филадельфия, Пенсильвания, США: Издательство Saunders College. ISBN  978-0030716911 .
• К. Ван Лоан (июнь 1978 г.). «Вычисление интегралов с использованием матричной экспоненты» (PDF) . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 23 (3): 395–404. дои : 10.1109/TAC.1978.1101743 . hdl : 1813/7095 .
• Р. Х. Миддлтон и Г. К. Гудвин (1990). Цифровой контроль и оценка: единый подход . п. 33ф. ISBN  978-0132116657 .

Внешние ссылки

• Дискретизация в геометрии и динамике: исследования дискретизации дифференциальной геометрии и динамики