Модель Бьянкони – Барабаса

Конденсат Бозе-Эйнштейна: Концепция приспособленности модели Бьянкони-Барабаси может быть использована для объяснения конденсата Бозе-Эйнштейна . Здесь пики показывают, что по мере понижения температуры все больше и больше атомов конденсируются на один и тот же энергетический уровень. Эта модель предсказывает, что при более низкой температуре, когда «приспособленность» выше, на одном и том же энергетическом уровне будет связано больше атомов.

Модель Бьянкони-Барабаси — это модель сетевой науки , которая объясняет рост сложных развивающихся сетей. Эта модель может объяснить, что узлы с разными характеристиками приобретают ссылки с разной скоростью. Он предсказывает, что рост узла зависит от его приспособленности, и может рассчитать распределение степеней. Модель Бьянкони – Барабаши. назван в честь своих изобретателей Джинестры Бьянкони и Альберта-Ласло Барабаши . Эта модель является вариантом модели Барабаши-Альберта . Модель можно сопоставить с бозе-газом, и это отображение может предсказать топологический фазовый переход между фазой «богатые-становятся богаче» и фазой «победитель получает все».

Концепции

Модель Барабаши-Альберта (BA) использует две концепции: рост и преференциальная привязанность . Здесь рост указывает на увеличение количества узлов в сети со временем, а преимущественное присоединение означает, что больше подключенных узлов получают больше ссылок. Модель Бьянкони – Барабаши, Помимо этих двух концепций, используется еще одна новая концепция, называемая фитнесом. Эта модель использует аналогию с эволюционными моделями. Он присваивает каждому узлу внутреннее значение пригодности, которое воплощает в себе все свойства, кроме степени. Чем выше приспособленность, тем выше вероятность привлечения новых ребер. Приспособленность можно определить как способность привлекать новые ссылки – «количественную меру способности узла оставаться впереди конкурентов».

В то время как модель Барабаши-Альберта (BA) объясняет феномен «преимущества первопроходца», модель Бьянкони-Барабаси объясняет, как опоздавшие также могут выиграть. В сети, где пригодность является атрибутом, узел с более высокой приспособленностью будет приобретать ссылки с большей скоростью, чем узлы с менее подходящей. Эта модель объясняет, что возраст не является лучшим предиктором успеха узла, скорее у опоздавших также есть шанс привлечь ссылки, чтобы стать хабом.

Модель Бьянкони-Барабаси может воспроизвести степень корреляции автономных систем Интернета. Эта модель также может показывать фазовые переходы конденсации в эволюции сложной сети. Модель BB может предсказывать топологические свойства Интернета.

Алгоритм

Фитнес-сеть начинается с фиксированного количества взаимосвязанных узлов. У них разная приспособленность, которую можно описать параметром приспособленности: $\eta _{j}$ который выбирается из фитнес-распределения $\rho (\eta )$.

Рост

Здесь предполагается, что пригодность узла не зависит от времени и является фиксированной. Новый узел j с m ссылками и пригодностью $\eta _{j}$ добавляется с каждым временным шагом.

Предпочтительное вложение

Вероятность $\Pi _{i}$ что новый узел подключается к одной из существующих ссылок на узел $i$ в сети зависит от количества ребер, $k_{i}$и о фитнесе $\eta _{i}$ узла $i$, такой, что,

$\Pi _{i}={\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}.$

Эволюцию каждого узла во времени можно предсказать с помощью теории континуума. Если исходный номер узла $m$, то степень узла $i$ меняется по курсу:

${\frac {\partial k_{i}}{\partial t}}=m{\frac {\eta _{i}k_{i}}{\sum _{j}\eta _{j}k_{j}}}$

Предполагая эволюцию $k_{i}$ подчиняется степенному закону с показателем приспособленности $\beta (\eta _{i})$

$k(t,t_{i},\eta _{i})=m\left({\frac {t}{t_{i}}}\right)^{\beta (\eta _{i})}$,

где $t_{i}$ это время с момента создания узла $i$.

Здесь, $\beta (\eta )={\frac {\eta }{C}}{\text{ and }}C=\int \rho (\eta ){\frac {\eta }{1-\beta (\eta )}}\,d\eta .$

Характеристики

Равная пригодность

Если все приспособленности в сети приспособленности равны, модель Бьянкони-Барабаши сводится к модели Барабаши-Альберта , когда степень не учитывается, модель сводится к модели приспособленности (теория сети) .

При равенстве приспособленностей вероятность $\Pi _{i}$ что новый узел подключен к узлу $i$ когда $k_{i}$ это степень узла $i$ является,

$\Pi _{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}.$

Распределение степеней

Распределение степеней модели Бьянкони – Барабаши зависит от распределения приспособленности. $\rho (\eta )$. В зависимости от распределения вероятностей могут произойти два сценария. Если распределение приспособленности имеет конечную область, то распределение степеней будет иметь степенной закон, как и модель BA. Во втором случае, если распределение приспособленности имеет бесконечную область, то узел с наивысшим значением приспособленности привлечет большое количество узлов и продемонстрирует сценарий «победитель получает все».

Измерение пригодности узла на основе эмпирических сетевых данных

Существуют различные статистические методы измерения пригодности узлов. $\eta _{i}$ в модели Бьянкони-Барабаси на основе реальных сетевых данных. Из измерений можно исследовать распределение приспособленности. $\rho (\eta )$ или сравните модель Бьянкони-Барабаши с различными конкурирующими сетевыми моделями в этой конкретной сети.

Вариации модели Бьянкони – Барабаши.

Модель Бьянкони – Барабаши была распространена на взвешенные сети. отображение линейного и суперлинейного масштабирования силы в зависимости от степени узлов, как это наблюдается в реальных сетевых данных. Эта взвешенная модель может привести к конденсации весов сети, когда несколько ссылок приобретают конечную долю веса всей сети. Недавно было показано, что модель Бьянкони – Барабаши можно интерпретировать как предельный случай модели возникающей геометрии гиперболической сети. под названием «Сетевая геометрия со вкусом». Модель Бьянкони-Барабаши также можно модифицировать для изучения статических сетей, в которых количество узлов фиксировано.

Конденсация Бозе-Эйнштейна

Конденсация Бозе-Эйнштейна в сетях — это фазовый переход, наблюдаемый в сложных сетях , который можно описать моделью Бьянкони-Барабаши. Этот фазовый переход предсказывает явление «победитель получает все» в сложных сетях и может быть математически сопоставлен с математической моделью, объясняющей конденсацию Бозе-Эйнштейна в физике.

Фон

В физике конденсат Бозе -Эйнштейна — это состояние вещества, которое возникает в некоторых газах при очень низких температурах. Любую элементарную частицу, атом или молекулу можно отнести к одному из двух типов: бозону или фермиону . Например, электрон — это фермион, а фотон или атом гелия — бозон. В квантовой механике энергия (связанной) частицы ограничена набором дискретных значений, называемых уровнями энергии. Важной характеристикой фермиона является то, что он подчиняется принципу исключения Паули , который гласит, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Бозоны же не подчиняются принципу исключения, и в одном и том же состоянии может существовать любое их количество. В результате при очень низких энергиях (или температурах) подавляющее большинство бозонов в бозе-газе могут переместиться в состояние с самой низкой энергией, создавая конденсат Бозе-Эйнштейна.

Бозе и Эйнштейн установили, что статистические свойства бозе-газа определяются статистикой Бозе-Эйнштейна . В статистике Бозе-Эйнштейна любое количество идентичных бозонов может находиться в одном и том же состоянии. В частности, при энергетическом состоянии ε количество невзаимодействующих бозонов, находящихся в тепловом равновесии при температуре T = ⁠ 1 / β ⁠ определяется бозевским числом заполнения

$n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}$

где константа µ определяется уравнением, описывающим сохранение числа частиц

$N=\int d\varepsilon \,g(\varepsilon )\,n(\varepsilon )$

где g ( ε ) — плотность состояний системы.

Это последнее уравнение может не иметь решения при достаточно низких температурах, когда g ( ε ) → 0 при ε → 0 . критическая температура Тс _{система находится в бозе- эйнштейновской} В этом случае находится что при Т < Тс _{такая ,} конденсированной фазе и конечная доля бозонов находится в основном состоянии.

Плотность состояний g ( ε ) зависит от размерности пространства. В частности $g(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\frac {d-2}{2}}$ поэтому g ( ε ) → 0 при ε → 0 только в размерностях d > 2 . Следовательно, бозе-эйнштейновская конденсация идеального бозе-газа может происходить только для размеров d > 2 .

Концепция

Эволюция многих сложных систем, включая всемирную паутину, бизнес и сети цитирования, кодируется в динамическом веб -Интернете, описывающем взаимодействие между составляющими системы. Эволюция этих сетей захвачена моделью Bianconi-Barabási, которая включает в себя две основные характеристики растущих сетей: их постоянный рост путем добавления новых узлов и звень Полем Поэтому модель также известна как модель фитнеса . Несмотря на их необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют за статистикой Бозе и могут быть нанесены на карту с газом Бозе. В этом отображении каждый узел отображается с энергетическим состоянием, определяемым его подготовкой, и каждая новая связь, прикрепленная к данному узлу, отображается с частицей Бозе, занимающей соответствующее энергетическое состояние. Это отображение предсказывает, что модель Bianconi -Barabási может подвергаться топологическому фазовому переходу в соответствии с конденсацией Bose -Einstein газа Bose. Поэтому этот фазовый переход называется конденсацией Бозе-Эйнштейна в сложных сетях. Следовательно, устранение динамических свойств этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что «первопроходца», «Fit-get-get» ( FGR )» и явления «победитель получает все», наблюдаемые в конкурентных системах, представляют собой термодинамически различные фазы лежащих в основе развивающихся сетей.

Схематическая иллюстрация соответствия сетевой модели и бозе-газа.

Математическое отображение эволюции сети на бозе-газе

Начиная с модели Бьянкони-Барабаси, отображение бозе-газа в сеть может быть выполнено путем присвоения энергии ε _i каждому узлу, определяемой его пригодностью через соотношение

$\varepsilon _{i}=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\eta _{i}}$

где β знак равно 1/Т . В частности, когда β = 0, все узлы имеют одинаковую приспособленность, когда вместо этого β ≫ 1 узлы с разной «энергией» имеют очень разную приспособленность. Мы предполагаем, что сеть развивается посредством модифицированного механизма предпочтительного прикрепления . Каждый раз новый узел i с энергией ε _i, полученной из распределения вероятностей p ( ε ), в сеть входит и прикрепляет новую ссылку к узлу j, выбранному с вероятностью:

$\Pi _{j}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{j}}k_{j}}{\sum _{r}e^{-\beta \varepsilon _{r}}k_{r}}}.$

При отображении на бозе-газ мы присваиваем каждому новому звену, связанному преимущественным присоединением к узлу j, частицу в энергетическом состоянии ε _j .

Теория континуума предсказывает, что скорость, с которой ссылки накапливаются в узле i с «энергией» ε _i, определяется выражением

${\frac {\partial k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{\partial t}}=m{\frac {e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})}{Z_{t}}}$

где $k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})$ указывающее количество ссылок, прикрепленных к узлу i , которые были добавлены в сеть на данном временном шаге $t_{i}$. $Z_{t}$ – это функция раздела , определяемая как:

$Z_{t}=\sum _{i}e^{-\beta \varepsilon _{i}}k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i}).$

Решение этого дифференциального уравнения:

$k_{i}(\varepsilon _{i},t,t_{i})=m\left({\frac {t}{t_{i}}}\right)^{f(\varepsilon _{i})}$

где динамический показатель $f(\varepsilon )$ удовлетворяет $f(\varepsilon )=e^{-\beta (\varepsilon -\mu )}$, µ играет роль химического потенциала, удовлетворяющего уравнению

$\int d\varepsilon \,p(\varepsilon ){\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}=1$

где p ( ε ) — вероятность того, что узел имеет «энергию» ε и «приспособленность» η = e ^-быть . В пределе t → ∞ число заполнения, определяющее количество связей, связанных с узлами с «энергией» ε , следует знакомой статистике Бозе.

$n(\varepsilon )={\frac {1}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}-1}}.$

Определение константы ц в сетевых моделях удивительно похоже на определение химического потенциала в бозе-газе. В частности, для вероятностей p ( ε ) таких, что p ( ε ) → 0 для ε → 0 при достаточно высоком значении β, мы имеем фазовый переход конденсации в сетевой модели. Когда это происходит, один узел с более высокой приспособленностью приобретает конечную долю всех связей. Таким образом, конденсация Бозе-Эйнштейна в сложных сетях представляет собой топологический фазовый переход, после которого сеть приобретает звездообразную доминирующую структуру.

Фазовый переход Бозе – Эйнштейна в сложных сетях

Численные доказательства конденсации Бозе – Эйнштейна в сетевой модели.

Картирование бозе-газа предсказывает существование двух различных фаз в зависимости от распределения энергии. На этапе «подгонка-обогащение», описывающем случай равномерной приспособленности, подходящие узлы приобретают ребра с более высокой скоростью, чем более старые, но менее подходящие узлы. В конечном итоге наиболее приспособленный узел будет иметь наибольшее количество ребер, но самый богатый узел не является абсолютным победителем, поскольку его доля ребер (т. е. отношение его ребер к общему числу ребер в системе) уменьшается до нуля в предел больших размеров системы (рис.2(б)). Неожиданным результатом этого отображения является возможность конденсации Бозе-Эйнштейна при T < T _BE , когда наиболее приспособленный узел приобретает конечную долю ребер и сохраняет эту долю ребер с течением времени (рис. 2 (c)).

Репрезентативное фитнес-распределение $\rho (\eta )$ что приводит к конденсации, определяется выражением

$\rho (\eta )=(\lambda +1)(1-\eta )^{\lambda },$

где $\lambda =1$.

Однако существование бозе-эйнштейновской конденсации или фазы «пригодность-обогащение» не зависит от температуры или β системы, а зависит только от функциональной формы распределения приспособленности. $\rho (\eta )$ системы. В конце концов, β выпадает из всех топологически важных величин. Фактически, можно показать, что конденсация Бозе-Эйнштейна существует в фитнес-модели даже без отображения на бозе-газ. Подобное гелеобразование можно увидеть в моделях со сверхлинейным преимущественным прикреплением , однако неясно, случайность ли это или между этим и фитнес-моделью лежит более глубокая связь.

См. также

• Модель Барабаши – Альберта

Внешние ссылки

• Сети: очень краткое введение
• Расширенная сетевая динамика