Александр Варченко

Александр Варченко
Александр Варченко
Рожденный	6 февраля 1949 г. (75 лет) ; Россия
Альма-матер	Московский государственный университет (1971).
Известный	Теорема Варченко
	Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл
Докторантура	Владимир Арнольд

Alexander Nikolaevich Varchenko ( Russian : Александр Николаевич Варченко , born February 6, 1949) is a Soviet and Russian mathematician working in geometry , topology , combinatorics and mathematical physics .

Образование и карьера

С 1964 по 1966 год Варченко училась в Московской Колмогоровской школе-интернате № 18 для одарённых гимназистов, где Андрей Колмогоров и Я. А. Смородинский читал лекции по математике и физике. Варченко окончил МГУ в 1971 году. Был учеником Владимира Арнольда . ^{[ 1 ]} Варченко защитил кандидатскую диссертацию. защитил диссертацию «Теоремы о топологической равноособенности семейств алгебраических множеств и отображений» в 1974 году и докторскую диссертацию «Асимптотика интегралов и алгебро-геометрические инварианты критических точек функций» в 1982 году. С 1974 по 1984 год он был научным сотрудником Московского государственного университета, в 1985–1990 годах профессор Института газа имени И.М. Губкина. и нефти , а с 1991 года он является профессором Эрнеста Элиэля в Университете Северной Каролины в Чапел-Хилл .

Исследовать

В 1969 г. Варченко определил группу монодромии критической точки типа $A_{n}$ функции нечетного числа переменных с симметрической группой $S_{n+1}$ которая является группой Вейля простой алгебры Ли типа $A_{n}$ . ^{[ 2 ]}

В 1971 году Варченко доказал, что семейство комплексных квазипроективных алгебраических множеств с неприводимой базой образует топологически локально тривиальное расслоение над открытым по Зарисскому подмножеством базы. ^{[ 3 ]} Это утверждение, выдвинутое Оскаром Зариским , заполнило пробел в доказательстве теоремы Зариского о фундаментальной группе дополнения к комплексной алгебраической гиперповерхности. ^{[ 4 ]} опубликовано в 1937 году. В 1973 году Варченко доказал гипотезу Рене Тома о том, что росток типичного гладкого отображения топологически эквивалентен ростку полиномиального отображения и имеет конечномерную полиномиальную топологическую версальную деформацию, в то время как негенерические отображения образуют подмножество бесконечной коразмерности в пространстве всех ростков. ^{[ 5 ]}

Варченко был среди создателей теории многоугольников Ньютона в теории особенностей, в частности, он дал формулу, связывающую многоугольники Ньютона и асимптотику осциллирующих интегралов, связанных с критической точкой функции. Используя эту формулу, Варченко построил контрпример к гипотезе В. И. Арнольда о полунепрерывности, согласно которой яркость света в точке каустики не меньше яркости в соседних точках. ^{[ 6 ]}

Варченко сформулировал гипотезу о полунепрерывности спектра критической точки при деформациях критической точки и доказал ее для деформаций малого веса квазиоднородных особенностей. Используя полунепрерывность, Варченко дал оценку сверху числа особых точек проективной гиперповерхности заданной степени и размерности. ^{[ 7 ]}

Варченко ввел асимптотическую смешанную структуру Ходжа на когомологиях, обращающихся в нуль в критической точке функции, путем изучения асимптотики интегралов голоморфных дифференциальных форм по семействам исчезающих циклов. Такой интеграл зависит от параметра – значения функции. Интеграл имеет два свойства: насколько быстро он стремится к нулю, когда параметр стремится к критическому значению, и как меняется интеграл, когда параметр приближается к критическому значению. Первое свойство использовалось для определения фильтрации Ходжа асимптотической смешанной структуры Ходжа, а второе свойство использовалось для определения весовой фильтрации. ^{[ 8 ]}

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта состоит в том, чтобы решить, существует ли верхняя оценка числа предельных циклов в полиномиальных векторных полях заданной степени. Инфинитезимальная 16-я проблема Гильберта, сформулированная В. И. Арнольдом, состоит в том, чтобы решить, существует ли верхняя оценка числа нулей интеграла полиномиальной дифференциальной формы по семейству кривых уровня полиномиального гамильтониана в терминах степеней коэффициенты дифференциальной формы и степень гамильтониана. Варченко доказал существование границы в бесконечно малой 16-й задаче Гильберта. ^{[ 9 ]}

Вадим Шехтман и Варченко опознаны в ^{[ 10 ]} уравнения Книжника –Замолодчикова (или уравнения КЗ) с подходящей связностью Гаусса–Манина и построенные многомерные гипергеометрические решения уравнений КЗ. В этой конструкции решения были помечены элементами подходящей группы гомологии. Затем группа гомологий отождествлялась с пространством кратностей тензорного произведения представлений подходящей квантовой группы, а представление монодромии уравнений КЗ отождествлялось с соответствующим R-матричным представлением. Эта конструкция дала геометрическое доказательство теоремы Коно-Дринфельда. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} о монодромии уравнений КЗ. Аналогичная картина была разработана для квантовых уравнений КЗ (или разностных уравнений типа qKZ) в совместных работах с Джованни Фельдером и Виталием Тарасовым. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} Весовые функции, возникающие в многомерных гипергеометрических решениях, позже были отождествлены с устойчивыми огибающими в Андрея Окунькова . эквивариантной перечислительной геометрии ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

Во второй половине 90-х годов Фельдер, Павел Этигоф и Варченко разработали теорию динамических квантовых групп. ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} Динамические уравнения, совместимые с уравнениями типа КЗ, были введены в совместных работах с Г. Фельдером, Ю. Марковым, В. Тарасовым. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} В приложениях динамические уравнения появляются как квантовые дифференциальные уравнения кокасательных расслоений частных многообразий флагов. ^{[ 21 ]}

В, ^{[ 22 ]} Евгений Мухин, Тарасов и Варченко доказали гипотезу Бориса Шапиро и Михаила Шапиро в реальной алгебраической геометрии : ^{[ 23 ]} если определитель Вронского комплексного конечномерного векторного пространства многочленов от одной переменной имеет только вещественные корни, то векторное пространство имеет базис из многочленов с вещественными коэффициентами.

Классически известно, что индекс пересечения многообразий Шуберта в грассманиане -мерных N плоскостей совпадает с размерностью пространства инвариантов в подходящем тензорном произведении представлений полной линейной группы $\operatorname {GL} _{N}$ . В, ^{[ 24 ]} Мухин, Тарасов и Варченко классифицировали этот факт и показали, что алгебра Бете модели Годена на таком пространстве инвариантов изоморфна алгебре функций на пересечении соответствующих многообразий Шуберта. В качестве приложения они показали, что если многообразия Шуберта определены относительно различных вещественных соприкасающихся флагов, то многообразия пересекаются трансверсально и все точки пересечения вещественны. Это свойство называется реальностью исчисления Шуберта .

Признание

Варченко был приглашенным докладчиком на Международном конгрессе математиков в 1974 г. в Ванкувере (секция алгебраической геометрии) и в 1990 г. в Киото (пленарное выступление). ^{[ 25 ]} В 1973 году он получил премию Московского математического общества .

Он был включен в класс членов Американского математического общества 2023 года «за вклад в теорию особенностей, реальную алгебраическую геометрию и теорию квантовых интегрируемых систем». ^{[ 26 ]}

Книги

Арнольд, VI; Гусейн-Заде, С.М.; Варченко А.Н. Особенности дифференцируемых отображений. Том. I. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. Монографии по математике, 82. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1985. xi+382 стр. ISBN 0-8176-3187-9
Арнольд, VI; Гусейн-Заде, С.М.; Варченко А.Н. Особенности дифференцируемых отображений. Том. II. Монодромия и асимптотика интегралов. Монографии по математике, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1988. viii+492 стр. ISBN 0-8176-3185-2
Этингоф, П.; Варченко А. Почему граница круглой капли становится кривой четвертого порядка (серия университетских лекций), AMS 1992, ISBN 0821870025
Варченко А. Многомерные гипергеометрические функции и теория представлений алгебр Ли и квантовых групп. Расширенная серия по математической физике, 21. World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер Эдж, Нью-Джерси, 1995. x +371 стр. ISBN 981-02-1880-Х
Варченко А. Специальные функции, уравнения типа КЗ и теория представлений. Серия региональных конференций CBMS по математике, 98. Опубликовано для Совета конференции математических наук, Вашингтон, округ Колумбия; Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2003. viii+118 стр. ISBN 0-8218-2867-3

Ссылки

^ Эдвард Френкель (1 октября 2013 г.). Любовь и математика: сердце скрытой реальности . Основные книги. стр. 38 . ISBN 978-0-465-06995-8 .
^ А. Варченко (1969). «Ветвление кратных интегралов, зависящих от параметров». Функционал. Анальный. Я приложен . 3 (3): 79–80.
^ А. Варченко (1972). «Теоремы топологической равноособенности семейств алгебраических многообразий и полиномиальных отображений» . Изв. акад. наук. СССР . 36 : 957–1019.
^ Зариский, О. (1937). «О группе Пуанкаре проективной гиперповерхности». Энн. математики . 38 (1): 131–141. дои : 10.2307/1968515 . JSTOR 1968515 .
^ Варченко, А. (1975). «Версальные топологические деформации». Изв. акад. наук. СССР . 39 :294314.
^ Варченко, А. (1976). «Многогранники Ньютона и асимптотика осциллирующих интегралов». Функц. Анальный. Приложение . 10 (3): 175–196. дои : 10.1007/bf01075524 . S2CID 17932967 .
^ Варченко, А. (1983). «О полунепрерывности спектров и оценках сверху числа особых точек проективной гиперповерхности». Докл. Акад. Наук СССР . 270 (6): 1294–1297.
^ Варченко, А. (1980). «Асимптотика голоморфных форм определяет смешанную структуру Ходжа». Советская математика — Доклады . 22 (5): 772–775.
^ Варченко, А. (1984). «Оценка числа нулей вещественного абелева интеграла в зависимости от параметра и предельных циклов». Функц. Анальный. Приложение . 18 (2): 98–108. дои : 10.1007/bf01077820 . S2CID 121780077 .
^ Шехтман, В.; Варченко, А. (1991). «Расположение гиперплоскостей и гомологии алгебры Ли». Изобретать. Математика . 106 : 139–194. Бибкод : 1991InMat.106..139S . дои : 10.1007/bf01243909 . S2CID 121471033 .
^ Кохно, Т. (1987). «Монодромические представления групп кос и уравнения Янга-Бакстера» . Анналы Института Фурье . 1 (4): 139–160. дои : 10.5802/aif.1114 .
^ Дринфельд, В. (1990). «Квази-Хопфовые алгебры». Ленинградская математика. Дж . 1 : 1419–1457.
^ Тарасов В.; Варченко, А. (1997). «Геометрия q-гипергеометрических функций как мост между янгианами и квантовыми аффинными алгебрами». Изобретать. Математика . 128 (3): 501–588. arXiv : q-alg/9604011 . Бибкод : 1997InMat.128..501T . дои : 10.1007/s002220050151 . S2CID 119162926 .
^ Фелдер, Г.; Тарасов В.; Варченко, А. (1999). «Монодромия решений эллиптических квантовых разностных уравнений Книжника-Замолодчикова-Бернара». Межд. Дж. Математика . 10 (8): 943–975. arXiv : q-alg/9705017 . дои : 10.1142/s0129167x99000410 . S2CID 14985025 .
^ Риманьи, Р.; Тарасов В.; Варченко, А. (2012). «Частичные разновидности флагов, стабильные конверты и весовые функции». arXiv : 1212.6240 [ math.AG ].
^ Фелдер, Г.; Риманьи, Р.; Варченко, А. (2018). «Эллиптические динамические квантовые группы и эквивариантные эллиптические когомологии». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 14 : 132. arXiv : 1702.08060 . Бибкод : 2018SIGMA..14..132F . дои : 10.3842/SIGMA.2018.132 . S2CID 119149792 .
^ Фелдер, Г.; Варченко, А. (1996). «О представлениях эллиптической квантовой группы $E_{\tau ,\eta }(sl_{2})$ ". Comm. Math. Phys . 181 (3): 741–761. arXiv : q-alg/9601003 . Bibcode : 1996CMaPh.181..741F . doi : 10.1007/bf02101296 . S2CID 119128058 .
^ Этингоф, П.; Варченко, А. (1998). «Решения квантового динамического уравнения Янга – Бакстера и динамические квантовые группы». Комм. Математика. Физ . 196 (3): 591–640. arXiv : q-alg/9708015 . Бибкод : 1998CMaPh.196..591E . дои : 10.1007/s002200050437 . S2CID 8031350 .
^ Марков Ю.; Фелдер, Г.; Тарасов В.; Варченко, А. (2000). «Дифференциальные уравнения, совместимые с уравнениями КЗ». Дж. Математика. Физика, анализ и геометрия . 3 (2): 139–177. дои : 10.1023/А:1009862302234 . S2CID 119590296 .
^ Тарасов В. ; Варченко, А. (2002). «Двойственность Книжника-Замолодчикова и динамические уравнения» Действующее приложение. Математика 73 : 141–154. дои : 10.1023/А:1019787006990 . S2CID 14901561 .
^ Риманьи, Р.; Тарасов В.; Варченко, А. (2012). «Частичные разновидности флагов, стабильные конверты и весовые функции». arXiv : 1212.6240 [ math.AG ].
^ Мухин Е.; Тарасов В.; Варченко, А. (2009). «Гипотеза Б. и М. Шапиро в реальной алгебраической геометрии и анзац Бете». Анналы математики . Серия 2. 170 (2): 863–881. arXiv : math/0512299 . дои : 10.4007/анналы.2009.170.863 . S2CID 18381451 .
^ Соттиле, Фрэнк (2010). «Границы реальности в исчислении Шуберта». Бюллетень Американского математического общества . (НС). 47 (1): 31–71. arXiv : 0907.1847 . дои : 10.1090/s0273-0979-09-01276-2 . S2CID 5914695 .
^ Мухин Е.; Тарасов В.; Варченко, А. (2009). «Исчисление Шуберта и представления полной линейной группы» . Журнал Американского математического общества . 22 (4): 909–940. arXiv : 0711.4079 . Бибкод : 2009JAMS...22..909M . дои : 10.1090/s0894-0347-09-00640-7 .
^ «Пленарные заседания ICM и приглашенные докладчики с 1897 года» . Международный конгресс математиков . Архивировано из оригинала 08.11.2017 . Проверено 28 августа 2014 г.
^ «Класс стипендиатов 2023 года» . Американское математическое общество . Проверено 9 ноября 2022 г.

Внешние ссылки

[1] Эдвард Френкель (1 октября 2013 г.). Любовь и математика: сердце скрытой реальности . Основные книги. стр. 38 . ISBN 978-0-465-06995-8 .

[2] А. Варченко (1969). «Ветвление кратных интегралов, зависящих от параметров». Функционал. Анальный. Я приложен . 3 (3): 79–80.

[3] А. Варченко (1972). «Теоремы топологической равноособенности семейств алгебраических многообразий и полиномиальных отображений» . Изв. акад. наук. СССР . 36 : 957–1019.

[4] Зариский, О. (1937). «О группе Пуанкаре проективной гиперповерхности». Энн. математики . 38 (1): 131–141. дои : 10.2307/1968515 . JSTOR 1968515 .

[5] Варченко, А. (1975). «Версальные топологические деформации». Изв. акад. наук. СССР . 39 :294314.

[6] Варченко, А. (1976). «Многогранники Ньютона и асимптотика осциллирующих интегралов». Функц. Анальный. Приложение . 10 (3): 175–196. дои : 10.1007/bf01075524 . S2CID 17932967 .

[7] Варченко, А. (1983). «О полунепрерывности спектров и оценках сверху числа особых точек проективной гиперповерхности». Докл. Акад. Наук СССР . 270 (6): 1294–1297.

[8] Варченко, А. (1980). «Асимптотика голоморфных форм определяет смешанную структуру Ходжа». Советская математика — Доклады . 22 (5): 772–775.

[9] Варченко, А. (1984). «Оценка числа нулей вещественного абелева интеграла в зависимости от параметра и предельных циклов». Функц. Анальный. Приложение . 18 (2): 98–108. дои : 10.1007/bf01077820 . S2CID 121780077 .

[10] Шехтман, В.; Варченко, А. (1991). «Расположение гиперплоскостей и гомологии алгебры Ли». Изобретать. Математика . 106 : 139–194. Бибкод : 1991InMat.106..139S . дои : 10.1007/bf01243909 . S2CID 121471033 .

[11] Кохно, Т. (1987). «Монодромические представления групп кос и уравнения Янга-Бакстера» . Анналы Института Фурье . 1 (4): 139–160. дои : 10.5802/aif.1114 .

[12] Дринфельд, В. (1990). «Квази-Хопфовые алгебры». Ленинградская математика. Дж . 1 : 1419–1457.

[13] Тарасов В.; Варченко, А. (1997). «Геометрия q-гипергеометрических функций как мост между янгианами и квантовыми аффинными алгебрами». Изобретать. Математика . 128 (3): 501–588. arXiv : q-alg/9604011 . Бибкод : 1997InMat.128..501T . дои : 10.1007/s002220050151 . S2CID 119162926 .

[14] Фелдер, Г.; Тарасов В.; Варченко, А. (1999). «Монодромия решений эллиптических квантовых разностных уравнений Книжника-Замолодчикова-Бернара». Межд. Дж. Математика . 10 (8): 943–975. arXiv : q-alg/9705017 . дои : 10.1142/s0129167x99000410 . S2CID 14985025 .

[15] Риманьи, Р.; Тарасов В.; Варченко, А. (2012). «Частичные разновидности флагов, стабильные конверты и весовые функции». arXiv : 1212.6240 [ math.AG ].

[16] Фелдер, Г.; Риманьи, Р.; Варченко, А. (2018). «Эллиптические динамические квантовые группы и эквивариантные эллиптические когомологии». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 14 : 132. arXiv : 1702.08060 . Бибкод : 2018SIGMA..14..132F . дои : 10.3842/SIGMA.2018.132 . S2CID 119149792 .

[17] Фелдер, Г.; Варченко, А. (1996). «О представлениях эллиптической квантовой группы $E_{\tau ,\eta }(sl_{2})$ ". Comm. Math. Phys . 181 (3): 741–761. arXiv : q-alg/9601003 . Bibcode : 1996CMaPh.181..741F . doi : 10.1007/bf02101296 . S2CID 119128058 .

[18] Этингоф, П.; Варченко, А. (1998). «Решения квантового динамического уравнения Янга – Бакстера и динамические квантовые группы». Комм. Математика. Физ . 196 (3): 591–640. arXiv : q-alg/9708015 . Бибкод : 1998CMaPh.196..591E . дои : 10.1007/s002200050437 . S2CID 8031350 .

[19] Марков Ю.; Фелдер, Г.; Тарасов В.; Варченко, А. (2000). «Дифференциальные уравнения, совместимые с уравнениями КЗ». Дж. Математика. Физика, анализ и геометрия . 3 (2): 139–177. дои : 10.1023/А:1009862302234 . S2CID 119590296 .

[20] Тарасов В. ; Варченко, А. (2002). «Двойственность Книжника-Замолодчикова и динамические уравнения» Действующее приложение. Математика 73 : 141–154. дои : 10.1023/А:1019787006990 . S2CID 14901561 .

[21] Риманьи, Р.; Тарасов В.; Варченко, А. (2012). «Частичные разновидности флагов, стабильные конверты и весовые функции». arXiv : 1212.6240 [ math.AG ].

[22] Мухин Е.; Тарасов В.; Варченко, А. (2009). «Гипотеза Б. и М. Шапиро в реальной алгебраической геометрии и анзац Бете». Анналы математики . Серия 2. 170 (2): 863–881. arXiv : math/0512299 . дои : 10.4007/анналы.2009.170.863 . S2CID 18381451 .

[23] Соттиле, Фрэнк (2010). «Границы реальности в исчислении Шуберта». Бюллетень Американского математического общества . (НС). 47 (1): 31–71. arXiv : 0907.1847 . дои : 10.1090/s0273-0979-09-01276-2 . S2CID 5914695 .

[24] Мухин Е.; Тарасов В.; Варченко, А. (2009). «Исчисление Шуберта и представления полной линейной группы» . Журнал Американского математического общества . 22 (4): 909–940. arXiv : 0711.4079 . Бибкод : 2009JAMS...22..909M . дои : 10.1090/s0894-0347-09-00640-7 .

[25] «Пленарные заседания ICM и приглашенные докладчики с 1897 года» . Международный конгресс математиков . Архивировано из оригинала 08.11.2017 . Проверено 28 августа 2014 г.

[26] «Класс стипендиатов 2023 года» . Американское математическое общество . Проверено 9 ноября 2022 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

Базы данных авторитетного контроля
International	ISNI VIAF WorldCat
National	Norway France BnF data Germany Israel United States Netherlands Poland
Academics	CiNii MathSciNet Mathematics Genealogy Project zbMATH
Other	IdRef