Трассировка поля

В математике след поля — это особая функция, относительно конечного расширения поля L / K , которое является K -линейным отображением L на K. определенная

Определение

Пусть K — поле , а L конечное расширение (и, следовательно, алгебраическое расширение ) поля K. — L можно рассматривать как пространство над K. векторное Умножение на α , элемент L ,

m_{\alpha }:L\to L{\text{ given by }}m_{\alpha }(x)=\alpha x

,

является K - линейным преобразованием этого векторного пространства в себя. След . ) Tr _{L / K} ( α определяется как след (в смысле линейной алгебры ) этого линейного преобразования ^[1]

Для α в L пусть σ1 _α ( α ), ..., σn _в ( полинома ) — корни (считаемые с кратностью) минимального от α над K ( некотором поле расширения K ). Затем

\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K(\alpha )]\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha ).

Если L / K отделима , то каждый корень появляется только один раз. ^[2] (однако это не означает, что приведенный выше коэффициент равен единице; например, если α является единичным элементом 1 из K , то след равен [ L : K ] раз 1).

Более конкретно, если L / K — расширение Галуа и α находится в L , то след α является суммой всех Галуа, сопряженных с α , ^[1] то есть,

\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),

где Gal( L / K ) обозначает Галуа группу L / K .

Пример

Позволять $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ быть квадратичным расширением $\mathbb {Q}$ . Тогда основа $L/\mathbb {Q}$ является $\{1,{\sqrt {d}}\}.$ Если $\alpha =a+b{\sqrt {d}}$ тогда матрица $m_{\alpha }$ является:

\left[{\begin{matrix}a&bd\\b&a\end{matrix}}\right]

,

и так, $\operatorname {Tr} _{L/\mathbb {Q} }(\alpha )=[L:\mathbb {Q} (\alpha )]\left(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )\right)=1\times \left(\sigma _{1}(\alpha )+{\overline {\sigma _{1}}}(\alpha )\right)=a+b{\sqrt {d}}+a-b{\sqrt {d}}=2a$ . ^[1] Минимальный многочлен от α равен X ² − 2 а X + ( а ² − дБ ²) .

Свойства трассы

Некоторые свойства функции следа справедливы для любого конечного расширения. ^[3]

След Tr _{L / K} : L → K является K - линейным отображением ( K -линейным функционалом), т.е.

\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname {Tr} _{L/K}(a)+\beta \operatorname {Tr} _{L/K}(b){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in K

.

Если α ∈ K , то $\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K]\alpha .$

Кроме того, след хорошо ведет себя в башнях полей : если M — конечное расширение L , то след от M до K — это просто композиция следа от M до L со следом от L до K , т.е.

\operatorname {Tr} _{M/K}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{M/L}

.

Конечные поля

Пусть L = GF( q ^н) — конечное расширение конечного поля K = GF( q ). Так как L / K является расширением Галуа , то если α находится в L , то след α является суммой всех Галуа, сопряженных к α , т.е. ^[4]

\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\alpha +\alpha ^{q}+\cdots +\alpha ^{q^{n-1}}.

В этой настройке у нас есть дополнительные свойства: ^[5]

$\operatorname {Tr} _{L/K}(a^{q})=\operatorname {Tr} _{L/K}(a){\text{ for }}a\in L$ .
Для любого $\alpha \in K$ , есть точно $q^{n-1}$ элементы $b\in L$ с $\operatorname {Tr} _{L/K}(b)=\alpha$ .

Теорема . ^[6] Для b ∈ L пусть F _b — отображение $a\mapsto \operatorname {Tr} _{L/K}(ba).$ Тогда F _b ≠ F _c, если b ≠ c . Более того, K -линейные преобразования из L в K являются в точности отображениями формы F _b при изменении b по полю L .

Когда K является простым подполем L , , след называется абсолютным следом в противном случае — относительным следом . ^[4]

Приложение

Квадратное уравнение , ax ² + bx + c = 0 при a ≠ 0 и коэффициенты в конечном поле $\operatorname {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}$ имеет 0, 1 или 2 корня в GF( q ) (и два корня, считая с кратностью, в квадратичном расширении GF( q ²)). Если характеристика GF( q ) нечетна , дискриминант Δ = b ² − 4 ac указывает количество корней в GF( q ), а классическая квадратичная формула дает корни. Однако когда GF( q ) имеет четную характеристику (т. е. q = 2 ^час для некоторого натурального h ) эти формулы больше не применимы.

Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 с коэффициентами из конечного поля GF(2 ^час). ^[7] Если b = 0, то это уравнение имеет единственное решение $x={\sqrt {\frac {c}{a}}}$ в GF( q ). Если b ≠ 0 , то замена y = ax / b преобразует квадратное уравнение к виду:

y^{2}+y+\delta =0,{\text{ where }}\delta ={\frac {ac}{b^{2}}}.

Это уравнение имеет два решения в GF( q ) тогда и только тогда, когда абсолютный след $\operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(\delta )=0.$ В этом случае, если y = s — одно из решений, то y = s + 1 — другое. Пусть k — любой элемент GF( q ) с $\operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(k)=1.$ Тогда решение уравнения имеет вид:

y=s=k\delta ^{2}+(k+k^{2})\delta ^{4}+\ldots +(k+k^{2}+\ldots +k^{2^{h-2}})\delta ^{2^{h-1}}.

Когда h = 2 m' + 1, решение дается более простым выражением:

y=s=\delta +\delta ^{2^{2}}+\delta ^{2^{4}}+\ldots +\delta ^{2^{2m}}.

Форма трассировки

Когда L / K отделим, след обеспечивает теорию двойственности через форму следа : отображение от L × L до K, отправляющее ( x , y ) в Tr _{L / K} ( xy ), является невырожденной , симметричной билинейной формой, называемой следом. форма. Если L / K — расширение Галуа, форма следа инвариантна относительно группы Галуа.

Форма следа используется в алгебраической теории чисел в теории различных идеалов .

Форма следа для расширения поля конечной степени / K имеет неотрицательную сигнатуру для любого порядка K. L поля ^[8] Обратное утверждение , что каждый класс эквивалентности Витта с неотрицательной сигнатурой содержит форму следа, верно для чисел K. полей алгебраических ^[8]

Если L / K — неразделимое расширение , то форма следа тождественно равна 0. ^[9]

См. также

Примечания

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ротман 2002 , с. 940
^ Ротман 2002 , с. 941
^ Роман 2006 , с. 151
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Lidl & Niederreiter 1997 , стр.54.
^ Маллен и Панарио 2013 , с. 21
^ Lidl & Niederreiter 1997 , стр.56.
^ Хиршфельд 1979 , стр. 3-4.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лоренц (2008) стр.38
^ Айзекс 1994 , с. 369, как указано в сноске в Rotman 2002 , p. 943

Ссылки

Хиршфельд, JWP (1979), Проективная геометрия над конечными полями , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0
Айзекс, IM (1994), Алгебра, Высший курс , Brooks/Cole Publishing
Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997) [1983], Конечные поля , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 20 (второе изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-39231-4 , Збл 0866.11069
Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер. ISBN 978-0-387-72487-4 . Збл 1130.12001 .
Маллен, Гэри Л.; Панарио, Дэниел (2013), Справочник по конечным полям , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
Роман, Стивен (2006), Теория поля , Тексты для аспирантов по математике, том. 158 (второе изд.), Springer, глава 8, ISBN. 978-0-387-27677-9 , Збл 1172.12001
Ротман, Джозеф Дж. (2002), Продвинутая современная алгебра , Прентис Холл, ISBN 978-0-13-087868-7

Дальнейшее чтение

Коннер, ЧП; Перлис, Р. (1984). Обзор следовых форм полей алгебраических чисел . Серия по чистой математике. Том. 2. Мировая научная. ISBN 9971-966-05-0 . Збл 0551.10017 .
Раздел VI.5 Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556 , Збл 0984.00001

[ROT940-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ротман 2002 , с. 940

[2] Ротман 2002 , с. 941

[3] Роман 2006 , с. 151

[LN54-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Lidl & Niederreiter 1997 , стр.54.

[5] Маллен и Панарио 2013 , с. 21

[LN56-6] Lidl & Niederreiter 1997 , стр.56.

[7] Хиршфельд 1979 , стр. 3-4.

[L38-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лоренц (2008) стр.38

[9] Айзекс 1994 , с. 369, как указано в сноске в Rotman 2002 , p. 943

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]