Прыгающий мяч

Внешние видео
Внешние видео
	Девушка-физика (2015). «Падение сложенного мяча» . Ютуб .

Внешние видео
Внешние видео
	БиомеханикаММУ (2008). «Удары гольфа — замедленное видео» . Ютуб .

Внешние видео
Внешние видео
	Флориан Корн (2013). «Мяч подпрыгивает в замедленной съемке: резиновый мяч» . Ютуб .

Физика прыгающего мяча касается физического поведения прыгающего мяча , в частности его движения до, во время и после удара о поверхность другого тела . Некоторые аспекты поведения прыгающего мяча служат введением в механику на в средней школе или бакалавриате курсах физики . Однако точное моделирование поведения сложно и представляет интерес для спортивной инженерии .

Движение мяча обычно описывается движением снаряда (на которое могут влиять гравитация , сопротивление , эффект Магнуса и плавучесть ), тогда как его воздействие обычно характеризуется коэффициентом восстановления (на который может влиять природа шар, характер ударяющей поверхности, скорость удара, вращение и местные условия, такие как температура и давление ). Чтобы обеспечить честную игру , многие спортивные руководящие органы устанавливают ограничения на упругость мяча и запрещают изменение его аэродинамических свойств. Прыгание мячей было характерной чертой таких видов спорта, как древняя игра с мячом в Мезоамерике . ^{[ 1 ]}

Силы во время полета и влияние на движение

Движение прыгающего мяча подчиняется движению снаряда . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} На настоящий мяч действуют многие силы, а именно сила гравитации ( F _G ), сила сопротивления из-за сопротивления воздуха ( FD ₎ , сила Магнуса мяча из-за вращения ( F _M ) и сила плавучести ( F _B ). . необходимо использовать второй закон Ньютона В общем случае для анализа движения мяча с учетом всех сил:

{\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} ,\\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}},\end{aligned}}

где m — масса мяча. Здесь a , v , r мяча представляют ускорение , скорость и положение во времени t .

Гравитация

Траектория мяча, отскакивающего под углом 70° после удара без сопротивления , с сопротивлением Стокса , и с сопротивлением Ньютона .

Сила гравитации направлена вниз и равна ^{[ 4 ]}

F_{\text{G}}=mg,

где m — масса шара, а g — ускорение свободного падения , которое на Земле колеблется в пределах 9,764 м/с. ² и 9,834 м/с ². ^{[ 5 ]} Поскольку другие силы обычно малы, движение часто идеализируется как происходящее только под действием силы тяжести. Если на шарик действует только сила тяжести, то энергия сохранится механическая во время его полета. В этом идеализированном случае уравнения движения имеют вид

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {\hat {j}} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2},\end{aligned}}

где a , v и r обозначают ускорение, скорость и положение шара, а v ₀ и r ₀ — начальная скорость и положение шара соответственно.

Более конкретно, если мяч отскакивает под углом θ к земле, движение по осям x и y (представляющее горизонтальное и вертикальное движение соответственно) описывается формулой ^{[ 6 ]}

X ось	Y ось
${\begin{aligned}a_{\text{x}}&=0,\\v_{\text{x}}&=v_{0}\cos \left(\theta \right),\\x&=x_{0}+v_{0}\cos \left(\theta \right)t,\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a_{\text{y}}&=-g,\\v_{\text{y}}&=v_{0}\sin \left(\theta \right)-gt,\\y&=y_{0}+v_{0}\sin \left(\theta \right)t-{\frac {1}{2}}gt^{2}.\end{aligned}}$

Уравнения подразумевают, что максимальная высота ( H ), дальность ( R ) и время полета ( T ) мяча, отскакивающего от плоской поверхности, определяются выражением ^{[ 2 ]}^{[ 6 ]}

{\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right),\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right),~{\text{and}}\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right).\end{aligned}}

Дальнейшие уточнения движения мяча можно внести, приняв во внимание сопротивление воздуха (и связанные с ним эффекты, такие как сопротивление и ветер ), эффект Магнуса и плавучесть . Поскольку более легкие шары ускоряются быстрее, на их движение больше влияют такие силы.

Тащить

Обтекание шара воздухом может быть как ламинарным , так и турбулентным в зависимости от числа Рейнольдса (Re), определяемого как:

{\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }},

где ρ — плотность воздуха , µ — динамическая вязкость воздуха, D — диаметр мяча, а v — скорость мяча в воздухе. При температуре ρ 20 °С = 1,2 кг /м. ³ и ц = 1,8 × 10 ⁻⁵ Па·с . ^{[ 7 ]}

Если число Рейнольдса очень мало (Re < 1), сила сопротивления мяча описывается законом Стокса : ^{[ 8 ]}

F_{\text{D}}=6\pi \mu rv,

где r — радиус шара. Эта сила действует против направления мяча (в направлении $\textstyle -{\hat {\mathbf {v} }}$ ). Однако для большинства спортивных мячей число Рейнольдса будет находиться в пределах 10. ⁴ и 10 ⁵ и закон Стокса не применяется. ^{[ 9 ]} При этих более высоких значениях числа Рейнольдса сила сопротивления мячу вместо этого описывается уравнением сопротивления : ^{[ 10 ]}

F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2},

где C _d — коэффициент сопротивления , а A — площадь поперечного сечения шара.

Сопротивление приведет к тому, что мяч потеряет механическую энергию во время полета, уменьшит его дальность и высоту, а боковой ветер отклонит его от первоначального пути. Оба эффекта должны учитываться игроками в таких видах спорта, как гольф.

Отличный эффект

В настольном теннисе опытный игрок может использовать вращение мяча, чтобы повлиять на траекторию полета мяча во время его полета и его реакцию при ударе о поверхность. При топспине мяч достигает максимальной высоты в полете (1), а затем резко поворачивает вниз (2). противоположного игрока Удар толкает мяч вперед (3) и имеет тенденцию отскакивать вверх при ударе о ракетку . В случае обратного вращения ситуация противоположная .

Вращение эффекта мяча повлияет на его траекторию посредством Магнуса . Согласно теореме Кутты–Жуковского , для вращающейся сферы с невязким потоком воздуха сила Магнуса равна ^{[ 11 ]}

F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v,

где r - радиус шара, ω - ( угловая скорость или скорость вращения) мяча, ρ - плотность воздуха и v - скорость мяча относительно воздуха. Эта сила направлена перпендикулярно движению и перпендикулярно оси вращения (в направлении $\textstyle {\hat {\mathbf {\omega } }}\times {\hat {\mathbf {v} }}$ ). Сила направлена вверх при обратном вращении и вниз при верхнем вращении. В действительности поток никогда не бывает невязким, и лифт Магнуса лучше описать формулой ^{[ 12 ]}

F_{\text{M}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{L}}Av^{2},

где ρ — плотность воздуха, C _L — коэффициент подъемной силы , A — площадь поперечного сечения шара, а v — скорость мяча относительно воздуха. Коэффициент подъемной силы представляет собой сложный фактор, который зависит, среди прочего, от отношения rω / v , числа Рейнольдса и шероховатости поверхности . ^{[ 12 ]} В определенных условиях коэффициент подъемной силы может быть даже отрицательным, изменяя направление силы Магнуса ( обратный эффект Магнуса ). ^{[ 4 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

В таких видах спорта, как теннис или волейбол , игрок может использовать эффект Магнуса для управления траекторией мяча (например, с помощью верхнего или обратного вращения ) во время полета. В гольфе этот эффект отвечает за нарезку и зацеп , которые обычно наносят вред игроку в гольф, но также помогают увеличить дальность удара и других ударов. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} В бейсболе питчеры и других используют этот эффект для создания крученых мячей специальных полей . ^{[ 17 ]}

Фальсификация мяча часто является незаконной и часто оказывается в центре споров о крикете, таких как спор между Англией и Пакистаном в августе 2006 года . ^{[ 18 ]} В бейсболе термин « спитбол » означает незаконное покрытие мяча слюной или другими веществами с целью изменения аэродинамики мяча . ^{[ 19 ]}

Плавучесть

Любой объект, погруженный в жидкость, например, в воду или воздух, будет испытывать подъемную силу вверх . ^{[ 20 ]} Согласно принципу Архимеда , эта выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной предметом. В случае сферы эта сила равна

F_{\text{B}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho g.

Выталкивающая сила обычно мала по сравнению с сопротивлением и силами Магнуса, и ею часто можно пренебречь. Однако в случае с баскетбольным мячом выталкивающая сила может составлять около 1,5% веса мяча. ^{[ 20 ]} Поскольку плавучесть направлена вверх, она будет способствовать увеличению дальности и высоты полета мяча.

Влияние

Когда мяч ударяется о поверхность, поверхность отскакивает и вибрирует , как и мяч, создавая звук и тепло , а мяч теряет кинетическую энергию . Кроме того, удар может придать шару некоторое вращение, передавая часть его поступательной кинетической энергии в кинетическую энергию вращения . Эти потери энергии обычно характеризуются (косвенно) через коэффициент восстановления (или COR, обозначаемый e ): ^{[ 23 ]}^{[ примечание 1 ]}

e=-{\frac {v_{\text{f}}-u_{\text{f}}}{v_{\text{i}}-u_{\text{i}}}},

где v _f и vi _— конечная и начальная скорости мяча, а u _f и u _i — конечная и начальная скорости, соударяющиеся с поверхностью соответственно. В конкретном случае, когда мяч ударяется о неподвижную поверхность, COR упрощается до

e=-{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}.

Таким образом, для мяча, упавшего на пол, COR будет варьироваться от 0 (нет отскока, полная потеря энергии) до 1 (идеальный отскок, отсутствие потери энергии). Значение COR ниже 0 или выше 1 теоретически возможно, но будет указывать на то, что мяч прошел через поверхность ( e < 0 ) или что поверхность не была «расслаблена», когда мяч ударился о нее ( e > 1 ), как в случай падения мяча на подпружиненную платформу.

Чтобы проанализировать вертикальные и горизонтальные компоненты движения, COR иногда разделяют на нормальный COR ( e _y ) и тангенциальный COR ( e _x ), определяемый как ^{[ 24 ]}

e_{\text{y}}=-{\frac {v_{\text{yf}}-u_{\text{yf}}}{v_{\text{yi}}-u_{\text{yi}}}},

e_{\text{x}}=-{\frac {(v_{\text{xf}}-r\omega _{\text{f}})-(u_{\text{xf}}-R\Omega _{\text{f}})}{(v_{\text{xi}}-r\omega _{\text{i}})-(u_{\text{xi}}-R\Omega _{\text{i}})}},

где r и ω обозначают радиус и угловую скорость мяча, а R и Ω обозначают радиус и угловую скорость поверхности удара (например, бейсбольной биты). В частности, rω — это тангенциальная скорость поверхности шара, а RΩ — это тангенциальная скорость соударяющейся поверхности. Это особенно интересно, когда мяч ударяется о поверхность под косым углом или когда вращение задействовано .

При прямом падении на землю без вращения, когда на мяч действует только сила тяжести, COR можно связать с несколькими другими величинами следующим образом: ^{[ 22 ]}^{[ 25 ]}

e=\left|{\frac {v_{\text{f}}}{v_{\text{i}}}}\right|={\sqrt {\frac {K_{\text{f}}}{K_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {U_{\text{f}}}{U_{\text{i}}}}}={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}={\frac {T_{\text{f}}}{T_{\text{i}}}}={\sqrt {\frac {gT_{\text{f}}^{2}}{8H_{\text{i}}}}}.

Здесь K и U обозначают кинетическую и потенциальную энергию мяча, H — максимальную высоту мяча, а T — время полета мяча. Индексы «i» и «f» относятся к начальному (до удара) и конечному (после удара) состояниям мяча. Аналогичным образом, потеря энергии при ударе может быть связана с COR соотношением

{\text{Energy Loss}}={\frac {{K_{\text{i}}}-{K_{\text{f}}}}{K_{\text{i}}}}\times 100\%=\left(1-e^{2}\right)\times 100\%.

На COR мяча могут влиять несколько факторов, в основном

характер воздействующей поверхности (например, трава, бетон, проволочная сетка) ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}
материал мяча (например, кожа, резина, пластик) ^{[ 22 ]}
давление внутри шара (если полый) ^{[ 22 ]}
величина вращения, вызываемого мячом при ударе ^{[ 27 ]}
скорость удара ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 26 ]}^{[ 28 ]}

Внешние условия, такие как температура, могут изменить свойства ударяющей поверхности или мяча, делая их более гибкими или более жесткими. Это, в свою очередь, повлияет на COR. ^{[ 22 ]} В общем, мяч будет деформироваться сильнее при более высоких скоростях удара и, соответственно, потеряет больше своей энергии, уменьшая свой COR. ^{[ 22 ]}^{[ 28 ]}

Вращение и угол удара

При ударе о землю некоторая поступательная кинетическая энергия может быть преобразована в кинетическую энергию вращения и наоборот, в зависимости от угла удара мяча и угловой скорости. Если при ударе мяч движется горизонтально, трение будет иметь «поступательную» составляющую в направлении, противоположном движению мяча. На рисунке мяч движется вправо , и, следовательно, у него будет поступательная составляющая трения, толкающая мяч влево . Кроме того, если мяч при ударе вращается, трение будет иметь «вращательную» составляющую в направлении, противоположном вращению мяча. На рисунке мяч вращается по часовой стрелке, а точка удара о землю перемещается влево относительно центра масс мяча . Таким образом, вращательная составляющая трения толкает мяч вправо . В отличие от нормальной силы и силы тяжести, эти силы трения оказывают крутящий момент на шар и изменяют его угловую скорость ( ω ). ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}

Могут возникнуть три ситуации: ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}

Если мяч движется вперед с обратным вращением , поступательное и вращательное трение будут действовать в одних и тех же направлениях. Угловая скорость мяча после удара уменьшится, как и его горизонтальная скорость, и мяч поднимется вверх , возможно, даже превысив свою первоначальную высоту. Также возможно, что мяч начнет вращаться в противоположном направлении и даже отскочит назад.
Если мяч движется вперед с верхним вращением , акты поступательного и вращательного трения будут действовать в противоположных направлениях. Что именно произойдет, зависит от того, какой из двух компонентов доминирует.
- Если мяч вращается гораздо быстрее, чем двигался, трение вращения будет преобладать. Угловая скорость мяча после удара уменьшится, но его горизонтальная скорость увеличится. Мяч будет двигаться вперед , но не превысит своей первоначальной высоты и продолжит вращаться в том же направлении.
- Если мяч движется гораздо быстрее, чем вращался, поступательное трение будет преобладать. Угловая скорость мяча после удара увеличится, но его горизонтальная скорость уменьшится. Мяч не превысит свою первоначальную высоту и продолжит вращаться в том же направлении.

Если поверхность наклонена на некоторую величину θ , вся диаграмма будет повернута на θ , но сила гравитации останется направленной вниз (образуя угол θ с поверхностью). Тогда гравитация будет иметь компонент, параллельный поверхности, который будет способствовать трению и, таким образом, способствовать вращению. ^{[ 32 ]}

В ракеточных видах спорта, таких как настольный теннис или ракетбол , опытные игроки будут использовать вращение (включая боковое вращение ), чтобы внезапно изменить направление мяча, когда он ударяется о поверхность, например, о землю или ракетку противника . Точно так же в крикете существуют различные методы боулинга с вращением , которые могут привести к значительному отклонению мяча от поля .

Несферические шарики

Отскок мяча овальной формы (например, тех, что используются в футболе с сеткой или регби ) в целом гораздо менее предсказуем, чем отскок сферического мяча. В зависимости от положения мяча при ударе нормальная сила может действовать впереди или позади центра массы мяча, а трение о землю будет зависеть от выравнивания мяча, а также от его вращения, вращения и скорости удара. Когда силы, действующие относительно центра масс мяча, изменяются по мере того, как мяч катится по земле, и все силы могут оказывать на мяч крутящий момент , включая нормальную силу и силу тяжести. Это может привести к отскоку мяча вперед, назад или в сторону. Поскольку можно передать некоторую кинетическую энергию вращения в кинетическую энергию поступательного движения, возможно даже, что COR будет больше 1 или скорость движения мяча вперед увеличится при ударе. ^{[ 35 ]}

Несколько сложенных шаров

Популярная демонстрация включает в себя отскок нескольких сложенных мячей. Если теннисный мяч положить на баскетбольный мяч и оба мяча уронить одновременно, теннисный мяч подпрыгнет намного выше, чем если бы он упал сам по себе, даже превысив свою первоначальную высоту выброса. ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]} Результат удивителен, поскольку он, очевидно, нарушает закон сохранения энергии. ^{[ 38 ]} Однако при ближайшем рассмотрении баскетбольный мяч не подпрыгивает так высоко, как если бы теннисный мяч не находился на нем сверху и не передал часть своей энергии теннисному мячу, подталкивая его на большую высоту. ^{[ 36 ]}

Обычное объяснение предполагает рассмотрение двух отдельных ударов: удара баскетбольного мяча об пол и удара баскетбольного мяча о теннисный мяч. ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]} Предполагая абсолютно упругие столкновения , баскетбольный мяч, ударяющийся о пол со скоростью 1 м/с, отскочит со скоростью 1 м/с. Теннисный мяч, летящий со скоростью 1 м/с, тогда будет иметь относительную скорость удара 2 м/с, что означает, что он будет отскакивать со скоростью 2 м/с относительно баскетбольного мяча или 3 м/с относительно пола, что утроит его скорость. скорость отскока по сравнению с ударом об пол. Это означает, что мяч отскочит на высоту, в 9 раз превышающую его первоначальную высоту. ^{[ примечание 2 ]} В действительности, из-за неупругих столкновений теннисный мяч увеличит свою скорость и высоту отскока в меньший раз, но все равно будет подпрыгивать быстрее и выше, чем если бы он был сам по себе. ^{[ 37 ]}

Хотя предположения об отдельных ударах на самом деле не верны (шары остаются в тесном контакте друг с другом на протяжении большей части удара), эта модель, тем не менее, воспроизводит экспериментальные результаты с хорошим согласием. ^{[ 37 ]} и часто используется для понимания более сложных явлений, таких как ядра сверхновых коллапс . ^{[ 36 ]} или маневры гравитационной рогатки . ^{[ 39 ]}

Спортивный регламент

некоторых видов Руководящие органы спорта регулируют упругость мяча различными способами, некоторые прямыми, некоторые косвенными.

AFL : Регулирует манометрическое давление футбольного мяча в пределах от 62 до 76 кПа . ^{[ 40 ]}
ФИБА : Регулирует манометрическое давление таким образом, чтобы баскетбольный мяч подпрыгивал на высоту от 1200 мм до 1400 мм (верхняя часть мяча), когда он падает с высоты 1800 мм (нижняя часть мяча). ^{[ 41 ]} Это примерно соответствует COR от 0,727 до 0,806. ^{[ примечание 3 ]}
FIFA : регулирует манометрическое давление футбольного мяча в пределах от 0,6 на до 1,1 атм уровне моря (от 61 до 111 кПа ). ^{[ 42 ]}
FIVB : Регулирует манометрическое давление волейбольного мяча на уровне 0,30 кг _F /см. ² до 0,325 кг _Ф /см ² (от 29,4 до 31,9 кПа) для волейбола в закрытых помещениях и 0,175 кг _Ф /см. ² до 0,225 кг _Ф /см ² (от 17,2 до 22,1 кПа) для пляжного волейбола . ^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}
ITF : Регулирует высоту отскока теннисного мяча при падении на «гладкий, жесткий и горизонтальный блок большой массы». Для разных типов поверхностей разрешены разные типы мячей. При падении с высоты 100 дюймов (254 см) отскок должен составлять 54–60 дюймов (137–152 см) для мячей типа 1, 53–58 дюймов (135–147 см) для мячей типа 2 и типа 3. и 48–53 дюйма (122–135 см) для высотных мячей. ^{[ 45 ]} Это примерно соответствует COR 0,735–0,775 (шары типа 1), 0,728–0,762 (шары типов 2 и 3) и 0,693–0,728 (шары, высотные) при падении на испытательную поверхность. ^{[ примечание 3 ]}
ITTF : регулирует игровую поверхность так, что мяч для настольного тенниса отскакивает примерно на 23 см при падении с высоты 30 см. ^{[ 46 ]} Это примерно соответствует коэффициенту COR около 0,876 по отношению к игровой поверхности. ^{[ примечание 3 ]}
НБА : регулирует манометрическое давление баскетбольного мяча в пределах от 7,5 до 8,5 фунтов на квадратный дюйм (от 51,7 до 58,6 кПа). ^{[ 47 ]}
НФЛ : Манометрическое давление в американском футболе регулируется на уровне от 12,5 до 13,5 фунтов на квадратный дюйм (от 86 до 93 кПа). ^{[ 48 ]}
R&A / USGA : напрямую ограничивает COR мяча для гольфа , который не должен превышать 0,83 по отношению к клюшке для гольфа . ^{[ 49 ]}

Давление американского футбола было в центре спора о дефлатгате . ^{[ 50 ]}^{[ 51 ]} В некоторых видах спорта прыгающие свойства мячей напрямую не регулируются, а вместо этого указываются метод конструкции. В бейсболе появление мяча на основе пробки помогло положить конец эпохе мертвого мяча и положить начало эпохе живого мяча . ^{[ 52 ]}^{[ 53 ]}

См. также

Примечания

^ Здесь v и u — это не только величина скоростей, но и их направление ( знак ).
^ Поскольку сохранение механической энергии подразумевает $\textstyle {\frac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}=mgH_{\text{f}}$ , затем $\textstyle H_{\text{f}}$ пропорционально $v_{\text{f}}^{2}$ .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Рассчитано с использованием $\textstyle e={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}$ и (если применимо) диаметр шара. Расчет предполагает, что сопротивление воздуха незначительно.

Ссылки

^ Уиттингтон, Э.М., изд. (2001). Спорт жизни и смерти: мезоамериканская игра в мяч . Темза и Гудзон . ISBN 0-500-05108-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Бранкацио, П.Дж. (1985). «Траектория полета мяча». Учитель физики . 23 (1): 20–23. Бибкод : 1985PhTea..23...20B . дои : 10.1119/1.2341702 .
^ Уокер, Дж. (2014). Основы физики (10-е расширенное изд.). Джон Уайли и сыновья . Рисунок 4-8, с. 70. ИСБН 978-1-118-23072-5 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Буш, JWM (2013). «Аэродинамика красивой игры» (PDF) . В Кланете, К. (ред.). Спортивная физика . Les Éditions de l'École Polytechnique . п. 171. HDL : 1721.1/87576 . ISBN 978-2-7302-1615-9 .
^ Хирт, К.; Классенс, С.; Фехер, Т.; Кун, М.; Пейл, Р.; Рексер, М. (2013). «Новая картина гравитационного поля Земли в сверхвысоком разрешении» . Письма о геофизических исследованиях . 40 (16): 4279–4283. Бибкод : 2013GeoRL..40.4279H . дои : 10.1002/grl.50838 . hdl : 20.500.11937/46786 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Нейв, Р. «Траектории» . Гиперфизика . Проверено 27 января 2017 г.
^ «Свойства сухого воздуха» . Инженерный набор инструментов . Проверено 11 февраля 2017 г.
^ Саутард, Дж. (осень 2006 г.). «Глава 3: Обтекание сферы II: закон Стокса, уравнение Бернулли, турбулентность, пограничные слои, отрыв потока» (PDF) . Специальные темы: Введение в движение жидкости, перенос отложений и осадочные структуры, генерируемые током . Массачусетский технологический институт . стр. 35–82. Архивировано из оригинала (PDF) 5 февраля 2017 г.
^ Мета, Р.Д. (2008). «Аэродинамика спортивного мяча». В Норструде, Х. (ред.). Спортивная аэродинамика . CISM Международный центр механических наук. Том. 506. Спрингер . стр. 229–331. дои : 10.1007/978-3-211-89297-8_12 . ISBN 978-3-211-89296-1 .
^ «Перетаскивание сферы» . НАСА .
^ «Идеальный подъем вращающегося мяча» . НАСА . Проверено 2 февраля 2017 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Натан, AM (2008). «Влияние вращения на полет бейсбольного мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 76 (2): 119–124. arXiv : физика/0605041 . Бибкод : 2008AmJPh..76..119N . дои : 10.1119/1.2805242 . S2CID 15494386 .
^ Ким, Дж.; Парк, Х.; Чой, Х.; Ю, JY (2011). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере» (PDF) . 64-е ежегодное собрание отдела гидродинамики APS . Американское физическое общество . Бибкод : 2011APS..DFD.A7008K .
^ Ким, Дж.; Чой, Х.; Парк, Х.; Ю, JY (2014). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере: когда и почему». Журнал механики жидкости . 754 : Р2. Бибкод : 2014JFM...754R...2K . дои : 10.1017/jfm.2014.428 . S2CID 122453684 .
^ «Эффект Магнуса» . HumanKinetics.com . 11 ноября 2008 г. Архивировано из оригинала 28 декабря 2018 г. Проверено 27 января 2017 г.
^ ДеФорест, К. (1997). «Почему мячи для гольфа с ямочками?» . Оригинальный FAQ по физике Usenet . Архивировано из оригинала 23 июля 2019 г. Проверено 27 января 2017 г.
^ Кланет, К. (2015). «Спортивная баллистика» (PDF) . Ежегодный обзор механики жидкости . 47 : 455–478. Бибкод : 2015AnRFM..47..455C . doi : 10.1146/annurev-fluid-010313-141255 .
^ «Инзамам обвинен МУС» . Хранитель . 21 августа 2006 года . Проверено 28 января 2017 г.
^ Окрент, Д.; Вульф, С. (1989). Анекдоты о бейсболе . Издательство Оксфордского университета . п. 89. ИСБН 978-0-19-504396-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Пост, С. (2010). Прикладная и вычислительная механика жидкости . Издательство Джонс и Бартлетт . стр. 280–282. ISBN 978-1-934015-47-6 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Кросс, Р. (1999). «Отскок мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 67 (3): 222–227. Бибкод : 1999AmJPh..67..222C . дои : 10.1119/1.19229 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Георгаллас, А.; Лэндри, Г. (2016). «Коэффициент восстановления шариков под давлением: механистическая модель» . Канадский физический журнал . 94 (1): 42. Бибкод : 2016CaJPh..94...42G . дои : 10.1139/cjp-2015-0378 . hdl : 1807/69855 .
^ «Коэффициент реституции» . RacquetResearch.com . Архивировано из оригинала 23 ноября 2016 г. Проверено 27 января 2017 г.
^ Кросс, Р.; Натан, AM (2006). «Разбрасывание бейсбольного мяча битой». Американский журнал физики . 74 (10): 896–904. arXiv : физика/0605040 . Бибкод : 2006AmJPh..74..896C . дои : 10.1119/1.2209246 . S2CID 15488042 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Харон, А.; Исмаил, Калифорния (2012). «Коэффициент возврата спортивных мячей: обычный тест на падение» . Серия конференций IOP: Материаловедение и инженерия . 36 (1): 012038. Бибкод : 2012MS&E...36a2038H . дои : 10.1088/1757-899X/36/1/012038 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Кросс, Р. (2000). «Коэффициент возмещения столкновений счастливых, несчастливых и теннисных мячей» (PDF) . Американский журнал физики . 68 (11): 1025–1031. Бибкод : 2000AmJPh..68.1025C . дои : 10.1119/1.1285945 .
^ Кросс, Р. (2002). «Поведение прыгающего мяча при сцеплении и скольжении» (PDF) . Американский журнал физики . 70 (11): 1093–1102. Бибкод : 2002AmJPh..70.1093C . дои : 10.1119/1.1507792 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Чжан, X.; Ву-Куок, Л. (2002). «Моделирование зависимости коэффициента восстановления от скорости удара при упругопластических столкновениях». Международный журнал ударной инженерии . 27 (3): 317–341. Бибкод : 2002IJIE...27..317Z . дои : 10.1016/S0734-743X(01)00052-5 .
^ Хессер-Нолл, М. (2014). «Вращение мяча при отскоке» . Физика тенниса . Университет Аляски в Фэрбенксе . Проверено 1 февраля 2017 г.
^ Линдси, К. (апрель 2004 г.). «Следуй за прыгающим мячом» . Теннисная индустрия . Архивировано из оригинала 20 ноября 2018 г. Проверено 1 февраля 2017 г.
^ Аллен, Т.; Хааке, С.; Гудвилл, С. (2010). «Влияние трения на удары теннисного мяча». Труды Института инженеров-механиков, Часть P. 224 (3): 229–236. дои : 10.1243/17543371JSET66 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кросс, Р. (2005). «Отскок вращающегося мяча при нормальном падении» (PDF) . Американский журнал физики . 73 (10): 914–920. Бибкод : 2005AmJPh..73..914C . дои : 10.1119/1.2008299 .
^ Аллен, Т. (2012). «Мяч на вашей стороне» (PDF) . ANSYS Advantage (эксклюзивно для Интернета). Архивировано из оригинала (PDF) 5 февраля 2017 г.
^ Джафри, СММ (2004). Моделирование динамики удара теннисного мяча о плоскую поверхность (PDF) (Диссертация). Техасский университет A&M . hdl : 1969.1/2441 .
^ Кросс, Р. (2011). «Отскок футбольного мяча овальной формы» (PDF) . Спортивные технологии . 3 (3): 168–180. дои : 10.1080/19346182.2011.564283 . S2CID 108409393 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Хюбнер, Дж. С.; Смит, ТЛ (1992). «Мультишаровые столкновения» . Учитель физики . 30 (1): 46. Бибкод : 1992PhTea..30...46H . дои : 10.1119/1.2343467 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кросс, Р. (2007). «Вертикальный отскок двух вертикально выровненных мячей» (PDF) . Американский журнал физики . 75 (11): 1009–1016. Бибкод : 2007AmJPh..75.1009C . дои : 10.1119/1.2772286 .
^ Хартер, WG (1971). «Усиление скорости в экспериментах по столкновению супершаров» (PDF) . Американский журнал физики . 39 (6): 656–663. Бибкод : 1971AmJPh..39..656H . дои : 10.1119/1.1986253 .
^ Нейв, Р. «Двойное падение мяча» . Гиперфизика . Проверено 28 января 2017 г.
^ Законы австралийского футбола 2017 г. (PDF) . АФЛ . 2017. с. 15 . Проверено 19 января 2018 г.
^ Официальные правила баскетбола 2014. Баскетбольное оборудование (PDF) . ФИБА . 2014. с. 12. Архивировано из оригинала (PDF) 8 сентября 2014 г.
^ Правила игры: 2014–2015 гг. (PDF) . ФИФА . 2014. с. 15. Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2017 г. Проверено 27 января 2017 г.
^ Официальные правила волейбола: 2017–2020 гг. (PDF) . ФИВБ . 2016. с. 16.
^ Официальные правила пляжного волейбола: 2017–2020 гг. (PDF) . ФИВБ . 2017. с. 15.
^ Теннисные мячи, классифицированные покрытия и признанные корты, одобренные ITF (PDF) . ИТФ . 2016. стр. 4–5.
^ Справочник Международной федерации настольного тенниса (PDF) . ИТТФ . 2017. с. 24. Архивировано из оригинала (PDF) 24 апреля 2018 г. Проверено 20 октября 2017 г.
^ Официальные правила Национальной баскетбольной ассоциации: 2013–2014 гг. (PDF) . НБА . 2013. с. 10.
^ Официальные правила игры Национальной футбольной лиги (PDF) . НФЛ . 2016. с. 3.
^ Рубинштейн, Л. (11 мая 2002 г.). «Наконец-то добрались до COR игры» . Глобус и почта . Проверено 27 января 2017 г.
^ Ботельо, Г.; Кастильо, М. (11 мая 2015 г.). « Дефлатгейт: дисквалификация Тома Брэди на 4 игры» . CNN . Проверено 27 января 2017 г.
^ Ну, младший, телевизор; Карп, Б.С.; Рейснер, LL (2015). Отчет о расследовании использования футбольных мячей во время матча чемпионата AFC 18 января 2015 г. (PDF) . Пол, Вайс, Рифкинд, Уортон и Гаррисон ЛЛП .
^ «Эволюция мяча» . Бейсбольный дайджест : 67. Июль 1963 г.
^ Соуэлл, Т. (2011). «Мертвый мяч против живого мяча» . Читатель Томаса Соуэлла . Основные книги . ISBN 9780465022502 .

Дальнейшее чтение

Бриггс, ЖЖ (1945). «Методы измерения коэффициента восстановления и вращения мяча» . Журнал исследований Национального бюро стандартов . 34 (1): 1–23. дои : 10.6028/jres.034.001 .
Кросс, Р. (2011). Физика бейсбола и софтбола . Спрингер . ISBN 978-1-4419-8112-7 .
Кросс, Р. (июнь 2014 г.). «Физика отскока» . Сиднейский университет .
Кросс, Р. (2015). «Поведение прыгающего мяча» . Физическое образование . 50 (3): 335–341. Бибкод : 2015PhyEd..50..335C . дои : 10.1088/0031-9120/50/3/335 . S2CID 122366736 .
Стронг, WJ (2004). Ударная механика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-60289-1 .
Эрлихсон, Герман (1983). «Максимальная дальность полета снаряда с сопротивлением и подъемной силой, особенно для гольфа». Американский журнал физики . 51 (4): 357–362. Бибкод : 1983AmJPh..51..357E . дои : 10.1119/1.13248 .

[v-sign-24] Здесь v и u — это не только величина скоростей, но и их направление ( знак ).

[40] Поскольку сохранение механической энергии подразумевает $\textstyle {\frac {1}{2}}mv_{\text{f}}^{2}=mgH_{\text{f}}$ , затем $\textstyle H_{\text{f}}$ пропорционально $v_{\text{f}}^{2}$ .

[calc-44] Перейти обратно: ^а ^б ^с Рассчитано с использованием $\textstyle e={\sqrt {\frac {H_{\text{f}}}{H_{\text{i}}}}}$ и (если применимо) диаметр шара. Расчет предполагает, что сопротивление воздуха незначительно.

[Whittington2001-1] Уиттингтон, Э.М., изд. (2001). Спорт жизни и смерти: мезоамериканская игра в мяч . Темза и Гудзон . ISBN 0-500-05108-9 .

[Brancazio1985-2] Перейти обратно: ^а ^б Бранкацио, П.Дж. (1985). «Траектория полета мяча». Учитель физики . 23 (1): 20–23. Бибкод : 1985PhTea..23...20B . дои : 10.1119/1.2341702 .

[Walker2014-3] Уокер, Дж. (2014). Основы физики (10-е расширенное изд.). Джон Уайли и сыновья . Рисунок 4-8, с. 70. ИСБН 978-1-118-23072-5 .

[Bush2013-4] Перейти обратно: ^а ^б Буш, JWM (2013). «Аэродинамика красивой игры» (PDF) . В Кланете, К. (ред.). Спортивная физика . Les Éditions de l'École Polytechnique . п. 171. HDL : 1721.1/87576 . ISBN 978-2-7302-1615-9 .

[Hirt2013-5] Хирт, К.; Классенс, С.; Фехер, Т.; Кун, М.; Пейл, Р.; Рексер, М. (2013). «Новая картина гравитационного поля Земли в сверхвысоком разрешении» . Письма о геофизических исследованиях . 40 (16): 4279–4283. Бибкод : 2013GeoRL..40.4279H . дои : 10.1002/grl.50838 . hdl : 20.500.11937/46786 .

[HyperPhysicsTrajectories-6] Перейти обратно: ^а ^б Нейв, Р. «Траектории» . Гиперфизика . Проверено 27 января 2017 г.

[EngineeringToolbox-7] «Свойства сухого воздуха» . Инженерный набор инструментов . Проверено 11 февраля 2017 г.

[Southard2006-8] Саутард, Дж. (осень 2006 г.). «Глава 3: Обтекание сферы II: закон Стокса, уравнение Бернулли, турбулентность, пограничные слои, отрыв потока» (PDF) . Специальные темы: Введение в движение жидкости, перенос отложений и осадочные структуры, генерируемые током . Массачусетский технологический институт . стр. 35–82. Архивировано из оригинала (PDF) 5 февраля 2017 г.

[Metha2008-9] Мета, Р.Д. (2008). «Аэродинамика спортивного мяча». В Норструде, Х. (ред.). Спортивная аэродинамика . CISM Международный центр механических наук. Том. 506. Спрингер . стр. 229–331. дои : 10.1007/978-3-211-89297-8_12 . ISBN 978-3-211-89296-1 .

[NASADragSphere-10] «Перетаскивание сферы» . НАСА .

[NASAIdealLift-11] «Идеальный подъем вращающегося мяча» . НАСА . Проверено 2 февраля 2017 г.

[Nathan2008-12] Перейти обратно: ^а ^б Натан, AM (2008). «Влияние вращения на полет бейсбольного мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 76 (2): 119–124. arXiv : физика/0605041 . Бибкод : 2008AmJPh..76..119N . дои : 10.1119/1.2805242 . S2CID 15494386 .

[Kim2011-13] Ким, Дж.; Парк, Х.; Чой, Х.; Ю, JY (2011). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере» (PDF) . 64-е ежегодное собрание отдела гидродинамики APS . Американское физическое общество . Бибкод : 2011APS..DFD.A7008K .

[Kim2014-14] Ким, Дж.; Чой, Х.; Парк, Х.; Ю, JY (2014). «Обратный эффект Магнуса на вращающейся сфере: когда и почему». Журнал механики жидкости . 754 : Р2. Бибкод : 2014JFM...754R...2K . дои : 10.1017/jfm.2014.428 . S2CID 122453684 .

[HumanKinetics-15] «Эффект Магнуса» . HumanKinetics.com . 11 ноября 2008 г. Архивировано из оригинала 28 декабря 2018 г. Проверено 27 января 2017 г.

[DeForest1997-16] ДеФорест, К. (1997). «Почему мячи для гольфа с ямочками?» . Оригинальный FAQ по физике Usenet . Архивировано из оригинала 23 июля 2019 г. Проверено 27 января 2017 г.

[Clanet2015-17] Кланет, К. (2015). «Спортивная баллистика» (PDF) . Ежегодный обзор механики жидкости . 47 : 455–478. Бибкод : 2015AnRFM..47..455C . doi : 10.1146/annurev-fluid-010313-141255 .

[GuardianInzamam-18] «Инзамам обвинен МУС» . Хранитель . 21 августа 2006 года . Проверено 28 января 2017 г.

[Okrent1989-19] Окрент, Д.; Вульф, С. (1989). Анекдоты о бейсболе . Издательство Оксфордского университета . п. 89. ИСБН 978-0-19-504396-9 .

[Post2010-20] Перейти обратно: ^а ^б Пост, С. (2010). Прикладная и вычислительная механика жидкости . Издательство Джонс и Бартлетт . стр. 280–282. ISBN 978-1-934015-47-6 .

[Cross1999-21] Перейти обратно: ^а ^б Кросс, Р. (1999). «Отскок мяча» (PDF) . Американский журнал физики . 67 (3): 222–227. Бибкод : 1999AmJPh..67..222C . дои : 10.1119/1.19229 .

[Georgallas2016-22] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Георгаллас, А.; Лэндри, Г. (2016). «Коэффициент восстановления шариков под давлением: механистическая модель» . Канадский физический журнал . 94 (1): 42. Бибкод : 2016CaJPh..94...42G . дои : 10.1139/cjp-2015-0378 . hdl : 1807/69855 .

[RacquetResearch-23] «Коэффициент реституции» . RacquetResearch.com . Архивировано из оригинала 23 ноября 2016 г. Проверено 27 января 2017 г.

[Cross2006-25] Кросс, Р.; Натан, AM (2006). «Разбрасывание бейсбольного мяча битой». Американский журнал физики . 74 (10): 896–904. arXiv : физика/0605040 . Бибкод : 2006AmJPh..74..896C . дои : 10.1119/1.2209246 . S2CID 15488042 .

[Haron2012-26] Перейти обратно: ^а ^б Харон, А.; Исмаил, Калифорния (2012). «Коэффициент возврата спортивных мячей: обычный тест на падение» . Серия конференций IOP: Материаловедение и инженерия . 36 (1): 012038. Бибкод : 2012MS&E...36a2038H . дои : 10.1088/1757-899X/36/1/012038 .

[Cross2000-27] Перейти обратно: ^а ^б Кросс, Р. (2000). «Коэффициент возмещения столкновений счастливых, несчастливых и теннисных мячей» (PDF) . Американский журнал физики . 68 (11): 1025–1031. Бибкод : 2000AmJPh..68.1025C . дои : 10.1119/1.1285945 .

[Cross2002-28] Кросс, Р. (2002). «Поведение прыгающего мяча при сцеплении и скольжении» (PDF) . Американский журнал физики . 70 (11): 1093–1102. Бибкод : 2002AmJPh..70.1093C . дои : 10.1119/1.1507792 .

[Zhang2002-29] Перейти обратно: ^а ^б Чжан, X.; Ву-Куок, Л. (2002). «Моделирование зависимости коэффициента восстановления от скорости удара при упругопластических столкновениях». Международный журнал ударной инженерии . 27 (3): 317–341. Бибкод : 2002IJIE...27..317Z . дои : 10.1016/S0734-743X(01)00052-5 .

[Hesser-Knoll2014-30] Хессер-Нолл, М. (2014). «Вращение мяча при отскоке» . Физика тенниса . Университет Аляски в Фэрбенксе . Проверено 1 февраля 2017 г.

[Lindsey2004-31] Линдси, К. (апрель 2004 г.). «Следуй за прыгающим мячом» . Теннисная индустрия . Архивировано из оригинала 20 ноября 2018 г. Проверено 1 февраля 2017 г.

[Allen2010-32] Аллен, Т.; Хааке, С.; Гудвилл, С. (2010). «Влияние трения на удары теннисного мяча». Труды Института инженеров-механиков, Часть P. 224 (3): 229–236. дои : 10.1243/17543371JSET66 .

[Cross2005-33] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кросс, Р. (2005). «Отскок вращающегося мяча при нормальном падении» (PDF) . Американский журнал физики . 73 (10): 914–920. Бибкод : 2005AmJPh..73..914C . дои : 10.1119/1.2008299 .

[Allen2012-34] Аллен, Т. (2012). «Мяч на вашей стороне» (PDF) . ANSYS Advantage (эксклюзивно для Интернета). Архивировано из оригинала (PDF) 5 февраля 2017 г.

[Jaffri2004-35] Джафри, СММ (2004). Моделирование динамики удара теннисного мяча о плоскую поверхность (PDF) (Диссертация). Техасский университет A&M . hdl : 1969.1/2441 .

[Cross2011-36] Кросс, Р. (2011). «Отскок футбольного мяча овальной формы» (PDF) . Спортивные технологии . 3 (3): 168–180. дои : 10.1080/19346182.2011.564283 . S2CID 108409393 .

[Huebner1992-37] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Хюбнер, Дж. С.; Смит, ТЛ (1992). «Мультишаровые столкновения» . Учитель физики . 30 (1): 46. Бибкод : 1992PhTea..30...46H . дои : 10.1119/1.2343467 .

[Cross2007-38] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кросс, Р. (2007). «Вертикальный отскок двух вертикально выровненных мячей» (PDF) . Американский журнал физики . 75 (11): 1009–1016. Бибкод : 2007AmJPh..75.1009C . дои : 10.1119/1.2772286 .

[Hartner1971-39] Хартер, WG (1971). «Усиление скорости в экспериментах по столкновению супершаров» (PDF) . Американский журнал физики . 39 (6): 656–663. Бибкод : 1971AmJPh..39..656H . дои : 10.1119/1.1986253 .

[HyperphysicsDoubleBallDrop-41] Нейв, Р. «Двойное падение мяча» . Гиперфизика . Проверено 28 января 2017 г.

[AFL-42] Законы австралийского футбола 2017 г. (PDF) . АФЛ . 2017. с. 15 . Проверено 19 января 2018 г.

[FIBA-43] Официальные правила баскетбола 2014. Баскетбольное оборудование (PDF) . ФИБА . 2014. с. 12. Архивировано из оригинала (PDF) 8 сентября 2014 г.

[FIFA-45] Правила игры: 2014–2015 гг. (PDF) . ФИФА . 2014. с. 15. Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2017 г. Проверено 27 января 2017 г.

[FIVB-Indoor-46] Официальные правила волейбола: 2017–2020 гг. (PDF) . ФИВБ . 2016. с. 16.

[FIVB-Beach-47] Официальные правила пляжного волейбола: 2017–2020 гг. (PDF) . ФИВБ . 2017. с. 15.

[ITF-48] Теннисные мячи, классифицированные покрытия и признанные корты, одобренные ITF (PDF) . ИТФ . 2016. стр. 4–5.

[ITTF-49] Справочник Международной федерации настольного тенниса (PDF) . ИТТФ . 2017. с. 24. Архивировано из оригинала (PDF) 24 апреля 2018 г. Проверено 20 октября 2017 г.

[NBA-50] Официальные правила Национальной баскетбольной ассоциации: 2013–2014 гг. (PDF) . НБА . 2013. с. 10.

[NFL-51] Официальные правила игры Национальной футбольной лиги (PDF) . НФЛ . 2016. с. 3.

[RA-USGA-52] Рубинштейн, Л. (11 мая 2002 г.). «Наконец-то добрались до COR игры» . Глобус и почта . Проверено 27 января 2017 г.

[Botelho2015-53] Ботельо, Г.; Кастильо, М. (11 мая 2015 г.). « Дефлатгейт: дисквалификация Тома Брэди на 4 игры» . CNN . Проверено 27 января 2017 г.

[Well2015-54] Ну, младший, телевизор; Карп, Б.С.; Рейснер, LL (2015). Отчет о расследовании использования футбольных мячей во время матча чемпионата AFC 18 января 2015 г. (PDF) . Пол, Вайс, Рифкинд, Уортон и Гаррисон ЛЛП .

[BaseballDigest1963-55] «Эволюция мяча» . Бейсбольный дайджест : 67. Июль 1963 г.

[Sowell2011-56] Соуэлл, Т. (2011). «Мертвый мяч против живого мяча» . Читатель Томаса Соуэлла . Основные книги . ISBN 9780465022502 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ примечание 1 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ примечание 2 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ примечание 3 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]