Каустик (математика)

Чтобы узнать о других значениях, см. Каустик (значения) .

Светоотражающая каустика, созданная из круга и параллельных лучей. С одной стороны каждая точка содержится в трех световых лучах; с другой стороны, каждая точка содержится в одном световом луче.

В дифференциальной каустика ​ это оболочка лучей , или отраженных . преломленных многообразием — геометрии Это связано с понятием каустики в геометрической оптике . Источником луча может быть точка (называемая радиантом) или параллельные лучи, исходящие из бесконечной точки, и в этом случае необходимо указать вектор направления лучей.

В более общем смысле, особенно применительно к симплектической геометрии и теории особенностей , каустика — это набор критических значений лагранжева отображения ( π ○ i ): L ↪ M ↠ B ; где i : L ↪ M — лагранжево погружение лагранжева подмногообразия L в симплектическое многообразие M , а π : M ↠ B — лагранжево расслоение симплектического M. многообразия Каустика является подмножеством лагранжева расслоения базового пространства B .

Объяснение

Лучи, преломленные неплоской поверхностью, образуют каустики в местах пересечения многих из них.

Концентрированный свет, особенно солнечный , может вызвать ожог. На самом деле слово «каустик » происходит от греческого καυστός, «сожженный», через латинское causticus , «горящий».

Обычная ситуация, когда каустики видны, — это когда свет падает на стакан для питья. Стекло отбрасывает тень, но также создает изогнутую область яркого света. В идеальных условиях (включая совершенно параллельные лучи, как если бы они исходили из точечного источника, находящегося в бесконечности) нефроидной формы. можно получить пятно света Рябь каустики обычно образуется, когда свет проходит сквозь волны на водоеме.

Еще одна знакомая каустика — радуга . Рассеяние света каплями дождя приводит к тому, что световые волны разной длины преломляются в дуги разного радиуса, образуя лук.

Катакаустический

Катакаустика – это рефлексивный случай.

Для радианта это эволюция ортотомии . радианта

Плоский случай параллельных исходных лучей: предположим, что вектор направления равен $(a,b)$ а зеркальная кривая параметризуется как $(u(t),v(t))$. Вектор нормали в точке равен $(-v'(t),u'(t))$; отражение вектора направления (нормальное требует специальной нормализации)

$2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}$

Наличие компонентов найденного отраженного вектора рассматривает его как касательную.

$(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).$

Использование простейшей конверта формы

$F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})$

$=x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')$

$F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')$

$+b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')$

может это и неэстетично, но $F=F_{t}=0$ дает линейную систему в $(x,y)$ и поэтому элементарно получить параметризацию катакаустики. Правило Крамера сослужило бы службу.

Пример

Пусть вектор направления равен (0,1), а зеркало — $(t,t^{2}).$ Затем

$u'=1$   $u''=0$   $v'=2t$   $v''=2$   $a=0$   $b=1$

$F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t$

$F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1$

и $F=F_{t}=0$ имеет решение $(0,1/4)$; т.е. свет, попадающий в параболическое зеркало параллельно его оси, отражается через фокус.

См. также

• Разрезанное локус (риманово многообразие)
• Последнее геометрическое высказывание Якоби.
• Нефроид едкий

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Каустик» . Математический мир .