Кривая педали

Геометрическая конструкция педали C относительно P

В математике педальная кривая данной кривой получается в результате ортогональной проекции неподвижной точки на касательные к этой кривой. Точнее, для плоской кривой C и данной фиксированной педальной точки P педальная кривая C X является геометрическим местом точек , так что линия PX перпендикулярна касательной T точку X. к кривой, проходящей через И наоборот, в любой точке R на кривой C пусть T будет касательной в этой точке R ; тогда существует единственная точка X на касательной T , которая образует с педальной точкой P линию, перпендикулярную касательной T (для частного случая, когда неподвижная точка P лежит на касательной T , точки X и P совпадают) – Кривая педали — это совокупность таких точек X , называемых перпендикуляра к касательной T от фиксированной точки P , поскольку переменная точка R проходит по кривой C. основанием

В дополнение к кривой педали существует единственная точка Y на линии, нормальной к C в точке R, так что PY перпендикулярен нормали, поэтому PXRY представляет собой (возможно, вырожденный) прямоугольник. Геометрическое положение точек Y называется контрапедальной кривой.

Ортотомией центром кривой является ее педаль, увеличенная в 2 раза, так что подобия является P . точка отражения P через касательную T. Это

первой в серии кривых C1 _, , C2 _, . C3 _и где C1 _— — педаль C д C2 _{Кривая педали является} педаль C1 _{т. д. ,} и т. этой схеме C1 _C известна как первая положительная педаль , и C2 — _. вторая положительная педаль C В так далее В другом направлении C — это первая отрицательная педаль C 1 _, вторая отрицательная педаль C 2 _и т. д.

Уравнения

Из декартова уравнения

Возьмите P за начало координат. Для кривой, заданной уравнением F ( x , y ) = 0, если уравнение касательной в точке R = ( x ₀ , y ₀ ) записано в виде

$\cos \alpha x+\sin \alpha y=p$

тогда вектор (cos α, sin α) параллелен отрезку PX , а длина PX , которая представляет собой расстояние от касательной до начала координат, равна p . Таким образом, X представлен полярными координатами ( p , α), а замена ( p , α) на ( r , θ) дает полярное уравнение для кривой педали.

Кривая педали (красная) в виде эллипса (черная). Здесь a =2 и b =1, поэтому уравнение кривой педали равно 4 x ² +й ² =( х ² +й ² ) ²

Например, для эллипса

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

касательная линия в точке R = ( x ₀ , y ₀ ) равна

${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$

и запись этого в приведенной выше форме требует, чтобы

${\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.$

Уравнение эллипса можно использовать для исключения x ₀ и y _0, что дает

$a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2},\,$

и преобразование в ( r , θ) дает

$a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,$

как полярное уравнение для педали. Это легко преобразовать к декартову уравнению как

$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,$

Из полярного уравнения

Для P начало координат и C заданы в полярных координатах r ( = f θ). Пусть R =( r , θ) будет точкой на кривой и пусть X = ( p , α) будет соответствующей точкой на кривой педали. Пусть ψ обозначает угол между касательной линией и радиус-вектором, иногда называемый полярным тангенциальным углом . Это дано

$r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi .$

Затем

$p=r\sin \psi$

и

$\alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.$

Эти уравнения можно использовать для создания уравнения для p и α, которое при переводе в r и θ дает полярное уравнение для кривой педали.

Например, пусть кривая представляет собой круг, заданный формулой r = a cos θ. Затем

$a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi$

так

$\tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .$

Также

$p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}.$

Таким образом, полярное уравнение педали имеет вид

$r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}.$

Из уравнения педали

Педальные уравнения кривой и ее педаль тесно связаны. Если P взять за точку педали и начало координат, то можно показать, что угол ψ между кривой и радиус-вектором в точке равен соответствующему углу для кривой педали в точке X. R Если p — длина перпендикуляра, проведенного из P к касательной к кривой (т. е. PX ), а q — длина соответствующего перпендикуляра, проведенного из P к касательной к педали, то подобными треугольниками

${\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.$

Отсюда сразу следует, что если уравнение педали кривой равно f ( p , r )=0, то уравнение педали для кривой педали будет

$f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0$

Отсюда можно легко вычислить все положительные и отрицательные педали, если известно уравнение кривой педали.

Из параметрических уравнений

Контрапедаль того же эллипса

Педаль разворота эллипса: такая же, как контрпедаль исходного эллипса.

Позволять ${\vec {v}}=P-R$быть вектором от R до P и написать

${\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }$,

Тангенциальная и нормальная составляющие ${\vec {v}}$ относительно кривой.Затем ${\vec {v}}_{\parallel }$ — вектор от R до X, положение X. по которому можно вычислить

В частности, если c является параметризацией кривой, то

$t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)$

параметризует кривую педали (без учета точек, где c' равен нулю или не определен).

Для параметрически определенной кривой ее педальная кривая с точкой педали (0;0) определяется как

$X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}$

$Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.$

Контрапедальная кривая определяется выражением:

$t\mapsto P-{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)$

При той же точке педали контрапедальная кривая является педальной кривой эволюты данной кривой.

Геометрические свойства

Рассмотрим прямой угол, движущийся жестко так, что один катет остается в точке P , а другой касается кривой. Тогда вершина этого угла равна X и описывает кривую педали. При движении угла направление его движения в точке P параллельно PX , а направление движения в точке R параллельно касательной T = RX . Следовательно, мгновенный центр вращения — это пересечение линии, перпендикулярной в точке P и перпендикулярной RX в точке R , и эта точка — Y. PX Отсюда следует, что касательная к педали в точке X перпендикулярна XY .

Нарисуйте круг диаметром PR , затем он описывает прямоугольник PXRY , а XY — другой диаметр. Окружность и педаль перпендикулярны XY поэтому они касаются точки X. , Следовательно, педаль представляет собой огибающую кругов диаметром PR , где R лежит на кривой.

Линия YR является нормалью к кривой, а огибающая таких нормалей является ее эволютой . Следовательно, YR касается эволюты, а точка Y является основанием перпендикуляра из Р к этой касательной, другими словами Y находится на педали эволюты. Отсюда следует, что контрпедаль кривой — это педаль ее эволюты.

Пусть C' будет кривой, полученной путем сжатия в 2 раза в сторону P. C Тогда точка R', соответствующая R, является центром прямоугольника PXRY , а касательная к C' в точке R' делит этот прямоугольник пополам параллельно PY и XR . Луч света, начинающийся из и отраженный C' в R', затем пройдет через Y. P Отраженный луч в расширенном виде представляет собой линию XY перпендикулярную педали C. , Тогда огибающая линий, перпендикулярных педали, является огибающей отраженных лучей или катаустикой C ' . Это доказывает, что катакаустика кривой является эволюцией ее ортотомии.

Как отмечалось ранее, окружность диаметром PR касается педали. Центром этого круга является R', который следует за кривой C' .

Пусть D' — кривая, конгруэнтная C' , и пусть D' катится без скольжения, как в определении рулетки , по C', так что D' всегда является отражением C' относительно линии, к которой они взаимно относятся. касательная. Тогда, когда кривые соприкоснутся в точке R', точка, соответствующая P на движущейся плоскости, будет X , и, таким образом, рулетка станет педальной кривой. Эквивалентно, ортотомия кривой — это рулетка кривой на ее зеркальном изображении.

Пример

Лимасон — педальный изгиб круга

Когда C представляет собой круг, приведенное выше обсуждение показывает, что следующие определения лимасона эквивалентны :

• Это педаль круга.
• Это оболочка кругов, диаметры которых имеют одну конечную точку в фиксированной точке, а другую конечную точку, следующую за окружностью.
• Это огибающая кругов, проходящая через фиксированную точку, центры которой следуют по окружности.
• Это рулетка , состоящая из круга, катящегося по кругу того же радиуса.

Мы также показали, что катакаустика круга — это эволюция лимасона.

Педали определенных кривых

Педали некоторых специфических кривых:

Изгиб	Уравнение	Точка педали	Кривая педали
Круг		Точка на окружности	Кардиоида
Круг		Любая точка	Лимасон
Парабола		Фокус	Касательная линия в вершине
Парабола		Вертекс	Циссоид Диокла
Дельтовидная мышца		Центр	Трифолиум
Центральный конический		Фокус	Вспомогательный круг
Центральный конический	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	Центр	${a^{2}}\cos ^{2}\theta \pm {b^{2}}\sin ^{2}\theta =r^{2}$ ( бегемот )
Прямоугольная гипербола		Центр	Лемниската Бернулли
Логарифмическая спираль		Нет	Логарифмическая спираль
Синусоидальная спираль	$r^{n}=a^{n}\cos n\theta$	Нет	$r^{\tfrac {n}{n+1}}=a^{\tfrac {n}{n+1}}\cos {\tfrac {n}{n+1}}\theta$ (еще одна синусоидальная спираль)

См. также

• Список кривых

Ссылки

Примечания

Источники

• Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление . Лондон: MacMillan and Co., стр. 161 и далее.

• Бенджамин Уильямсон (1899). Элементарный трактат по дифференциальному исчислению . Логманс, Грин и Ко, стр. 227 и далее.

Дальнейшее чтение

• Дифференциальное и интегральное исчисление: с приложениями Джорджа Гринхилла (1891), стр. 326 и далее. ( Интернет-архив )
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. п. 60 . ISBN  0-486-60288-5 .
• «Заметки о проблеме кривых педалей» Артура Кэли.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая педали» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Контрапедальная кривая» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ортотомический» . Математический мир .