Метризируемое пространство

В топологии и смежных областях математики метризуемым пространством называется топологическое пространство гомеоморфное , метрическому пространству . То есть топологическое пространство $(X,\tau )$ называется метризуемым, если существует метрика $d:X\times X\to [0,\infty )$ такая, что топология, индуцированная $d$ является $\tau .$ Теоремы о метризации — это теоремы , которые дают достаточные условия метризуемости топологического пространства.

Свойства

Метризуемые пространства наследуют все топологические свойства метрических пространств. Например, они являются хаусдорфовыми паракомпактными пространствами (и, следовательно, нормальными и тихоновскими ) и первыми счетными . Однако нельзя сказать, что некоторые свойства метрики, такие как полнота , наследуются. Это также верно и для других структур, связанных с метрикой. метризуемое однородное пространство Например, может иметь другой набор сжимающих отображений, чем метрическое пространство, которому оно гомеоморфно.

Теоремы

Одной из первых широко признанных теорем метризации была Теорема о метризации Урысона . Это означает, что каждое со счетом по регулярное пространство Хаусдорфу метризуемо. Так, например, всякое многообразие , счетное по секундам, метризуемо. (Историческая справка: показанная здесь форма теоремы фактически была доказана Тихоновым в 1926 году. В статье, опубликованной посмертно в 1925 году, Урысон показал, что каждое нормальное хаусдорфово пространство, счетное по секундам, метризуемо.) Обратное утверждение не так. Верно: существуют метрические пространства, не являющиеся секундно-счетными, например несчетное множество, наделенное дискретной метрикой. Теорема о метризации Нагаты-Смирнова , описанная ниже, представляет собой более конкретную теорему, в которой действительно справедливо обратное.

Несколько других теорем о метризации следуют как простые следствия из теоремы Урысона. Например, хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счетно по секундам.

Теорему Урысона можно переформулировать следующим образом: Топологическое пространство сепарабельно и метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и счетно по секундам. Теорема о метризации Нагаты–Смирнова распространяет это на несепарабельный случай. Он утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу. σ-локально конечная база — это база, представляющая собой объединение счетного числа локально конечных наборов открытых множеств. Для получения информации о близкой теореме см. теорему о метризации Бинга .

Сепарабельные метризуемые пространства также можно охарактеризовать как пространства, гомеоморфные подпространству гильбертова куба. $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },$ то есть счетное бесконечное произведение единичного интервала (с его естественной топологией подпространства из вещественных чисел) на самого себя, наделенное топологией произведения .

Пространство называется локально метризуемым , если каждая точка имеет метризуемую окрестность . Смирнов доказал, что локально метризуемое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и паракомпактно . В частности, многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно.

Примеры

Группа унитарных операторов $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ в сепарабельном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ наделенныйс сильной операторной топологией метризуема (см. предложение II.1 в ).

Примеры неметризуемых пространств

Ненормальные пространства не могут быть метризуемыми; важные примеры включают

• топология Зарисского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца , используемая в алгебраической геометрии ,
• топологическое векторное пространство всех функций вещественной прямой $\mathbb {R}$ самому себе, с топологией поточечной сходимости .

Действительная линия с топологией нижнего предела не метризуема. Обычная функция расстояния не является метрикой в ​​этом пространстве, поскольку определяемая ею топология является обычной топологией, а не топологией нижнего предела. Это пространство хаусдорфово, паракомпактно и впервые счетно.

Локально метризуемый, но не метризуемый

Линия с двумя началами , также называемая линией с жуками, является нехаусдорфовым многообразием (и, следовательно, не может быть метризуемо). Как и все многообразия, оно локально гомеоморфно евклидову пространству и, следовательно, локально метризуемо (но не метризуемо) и локально хаусдорфово (но не хаусдорфово ). Это также T ₁ локально регулярное пространство , но не полурегулярное пространство .

локально Длинная линия метризуема, но не метризуема; в каком-то смысле это «слишком долго».

См. также

• Аполлоническая метрика - румынский математик и поэт.
• Теорема Бинга о метризации - характеризует метризуемость топологического пространства.
• Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
• Пространство Мура (топология) – развиваемое регулярное пространство Хаусдорфа. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема о метризации Нагаты – Смирнова - характеризует метризуемость топологического пространства.
• Униформизируемость - топологическое пространство, топология которого генерируется однородной структурой. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления , свойство топологического пространства быть гомеоморфным однородному пространству или, что то же самое, топология, определяемая семейством псевдометрик.

Ссылки

В эту статью включены материалы из Metrizable на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .