Течение жидкости через пористую среду

В механике жидкости поток жидкости через пористую среду — это способ поведения жидкости при протекании через пористую среду , например, губку или дерево, или при фильтрации воды с использованием песка или другого пористого материала. Как обычно наблюдается, некоторая жидкость течет через среду, в то время как некоторая масса жидкости сохраняется в порах, присутствующих в среде.

Классическая механика течения в пористых средах предполагает, что среда однородна, изотропна и имеет межзеренную пористую структуру . Также предполагается, что жидкость представляет собой ньютоновскую жидкость , что пласт является изотермическим, что скважина вертикальная и т. д. Традиционные проблемы потока в пористых средах часто включают однофазный установившийся поток, взаимовлияние нескольких скважин, двух-водяной нефтяной поток. фазовый поток, поток природного газа, поток, управляемый упругой энергией, двухфазный поток нефть-газ и двухфазный поток газ-вода. ^[1]

Физико-химический процесс течения будет включать в себя различные изменения физических свойств и химические реакции в отличие от основной ньютоновской жидкости в классической теории течения пористой системы. Вязкость , поверхностное натяжение, фазовое состояние, концентрация, температура и другие физические характеристики являются примерами этих свойств. Поток неньютоновской жидкости , массоперенос посредством диффузии , а также поток многофазной и многокомпонентной жидкости являются основными проблемами потока. ^[2]

Регулирующие законы

Движение жидкости через пористую среду описывается сочетанием закона Дарси с принципом сохранения массы, чтобы выразить капиллярную силу или скорость жидкости как функцию различных других параметров, включая эффективный радиус пор, вязкость жидкости или проницаемость. . ^[3] Однако использование одного лишь закона Дарси не дает точных результатов для гетерогенных сред, таких как сланцы и плотные песчаники, где имеется огромная доля нанопор. Это требует использования модели потока, которая учитывает взвешенную долю различных режимов потока, таких как поток Дарси, переходный поток, скользящий поток и свободномолекулярный поток. ^[4]

Закон Дарси

Символ	Описание
$Q$	Объемный расход [м ³/с]
$k$	Проницаемость пористой среды [м ²]. Проницаемость зависит от типа материала, а также зависит от напряжения , температуры и т. д.
$\mu$	жидкости Вязкость [Па·с]
$A$	Площадь поперечного сечения пористой среды [м ²]
$(p_{b}-p_{a})$	Перепад давления в среде [Па]
$L$	Длина образца [м]

Основным законом, регулирующим течение жидкостей через пористую среду, является закон Дарси , который был сформулирован французским инженером-строителем Генри Дарси в 1856 году на основе его экспериментов по вертикальной фильтрации воды через песчаные пласты. ^[5]

Согласно закону Дарси, вязкость жидкости, эффективная проницаемость жидкости и градиент давления жидкости определяют скорость потока в любом заданном месте пласта. ^[6]

Q={\frac {-kA}{\mu }}{\frac {(p_{b}-p_{a})}{L}}

Для переходных процессов, в которых поток меняется от точки к точке, следующая дифференциальная форма закона Дарси используется .

Q={\frac {-kA}{\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right)

Закон Дарси справедлив для ситуации, когда пористый материал уже насыщен жидкостью. Для расчета скорости капиллярного впитывания жидкости в первоначально сухую среду Уошберна или Бозанке используют уравнения .

Массовая консервация

Сохранение массы жидкости в пористой среде основано на основном принципе, согласно которому приток массы минус отток массы равен увеличению количества, запасаемого средой. ^[7] Это означает, что общая масса жидкости всегда сохраняется. В математической форме, учитывая период времени от $t$ к $\Delta t$ , длина пористой среды от $x$ к $\Delta x$ и $m$ будучи массой, запасенной средой, мы имеем

[A\rho (x)q(x)-A\rho (x+\Delta x)q(x+\Delta x)]\Delta t=m(t+\Delta t)-m(t).

Более того, у нас есть это $m=\rho V_{p}$ , где $V_{p}$ – объем пор среды между $x$ и $x+\Delta x$ и $\rho$ это плотность. Так $m=\rho V_{p}=\rho \phi V=\rho \phi A\Delta x,$ где $\phi$ это пористость . Разделив обе части на $A\Delta x$ , пока $\Delta x\rightarrow 0$ , для одномерного линейного течения в пористой среде имеем соотношение

{\frac {-d(\rho q)}{dx}}={\frac {d(\rho \phi )}{dt}}~~~~(i)

В трехмерном виде уравнение можно записать как

{\frac {d(\rho q)}{dx}}+{\frac {d(\rho q)}{dy}}+{\frac {d(\rho q)}{dz}}={\frac {-d(\rho \phi )}{dt}}

Математическая операция в левой части этого уравнения известна как дивергенция $\rho q$ , и представляет собой скорость, с которой жидкость расходится из заданной области на единицу объема.

Уравнение диффузии

Тип материала	Сжимаемость (м ²Н ⁻¹ или Па ⁻¹) ^[8]
Глина	10 ⁻⁶ - 10 ⁻⁸
Песок	10 ⁻⁷ - 10 ⁻⁹
Гравий	10 ⁻⁸ - 10 ⁻¹⁰
Соединенная скала	10 ⁻⁸ - 10 ⁻¹⁰
Саунд Рок	10 ⁻⁹ - 10 ⁻¹¹
Вода (бета)	4,4 х 10 ⁻¹⁰

Используя правило произведения (и правило цепочки) в правой части приведенного выше уравнения сохранения массы (i),

{\frac {d(\rho \phi )}{dt}}=\rho {\frac {d\phi }{dt}}+\phi {\frac {d\rho }{dt}}=\rho {\frac {d\phi }{dP}}{\frac {dP}{dt}}+\phi {\frac {d\rho }{dP}}{\frac {dP}{dt}}=\rho \phi \left[{\frac {1}{\phi }}{\frac {d\phi }{dP}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dP}}\right]\quad {\frac {dP}{dt}}=\rho \phi [c_{\phi }+c_{f}]{\frac {dP}{dt}}~~~~(ii)

Здесь, $c_{f}$ = сжимаемость жидкости и $c_{\phi }$ = сжимаемость пористой среды. ^[9] Теперь рассмотрим левую часть уравнения сохранения массы, которое определяется законом Дарси как

{\frac {-d(\rho q)}{dx}}={\frac {-d}{dx}}\left[{\frac {-\rho k}{\mu }}{\frac {dP}{dx}}\right]\quad ={\frac {k}{\mu }}\left[\rho {\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+{\frac {d\rho }{dP}}{\frac {dP}{dx}}{\frac {dP}{dx}}\right]\quad ={\frac {\rho k}{\mu }}\left[{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dP}}\right)\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}\right]\quad ={\frac {\rho k}{\mu }}\left[{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+c_{f}\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}\right]\quad ~~~~(iii)

Приравнивая результаты, полученные в $(ii)$ & $(iii)$ , мы получаем

{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}+c_{f}\left({\frac {dP}{dx}}\right)^{2}={\frac {\phi \mu (c_{f}+c_{\phi })}{k}}{\frac {dP}{dt}}

Второе слагаемое в левой части обычно пренебрежимо мало, и мы получаем уравнение диффузии в 1 измерении как

{\frac {dP}{dt}}={\frac {k}{\phi \mu c_{t}}}{\frac {d^{2}P}{dx^{2}}}

где $c_{t}=c_{f}+c_{\phi }$ . ^[10]

Ссылки

^ «Классическая теория потока в пористых средах» , «Поток жидкости в пористых средах» , WORLD SCIENTIFIC, стр. 69–197, 28 февраля 2020 г., doi : 10.1142/9789811219535_0003 , ISBN 978-981-12-1952-8 , S2CID 242538024 , получено 1 июля 2022 г.
^ «Физико-химический поток в пористых средах» , «Поток жидкости в пористых средах» , WORLD SCIENTIFIC, стр. 249–285, 28 февраля 2020 г., doi : 10.1142/9789811219535_0005 , ISBN 978-981-12-1952-8 , S2CID 241660780 , получено 1 июля 2022 г.
^ Адаптация пористой среды для контролируемого капиллярного потока Журнал коллоидной и интерфейсной науки (2019), 539, 379-387
^ Саураб, Суман (15 февраля 2022 г.). «Эволюция режима течения и проницаемость в нанопористых породах в зависимости от напряжения» . Топливо . 310 . Elsevier: 122413. Бибкод : 2022Fuel..31022413S . doi : 10.1016/j.fuel.2021.122413 . S2CID 243474407 .
^ Уитакер, Стивен (1986). «Течение в пористой среде I: теоретический вывод закона Дарси». Транспорт в пористых средах . 1 (1): 3–25. Бибкод : 1986TPMed...1....3W . дои : 10.1007/BF01036523 . S2CID 121904058 .
^ Джонс, Рассел Т. (1 января 2004 г.). «Добыча нефти» . Энциклопедия энергетики . Эльзевир: 701–713. дои : 10.1016/b0-12-176480-x/00255-2 . ISBN 9780121764807 .
^ Медведь, Джейкоб (26 февраля 2013 г.). Динамика жидкостей в пористых средах . Курьерская компания. ISBN 9780486131801 .
^ https://eng.ucmerced.edu/people/jfisher/.../EnveEss110_20081110.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Огирхян, Питер. «Установившееся течение сжимаемой жидкости в пористой среде». {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Циммерман, доктор Р.В. «Течение в пористых средах» .

Дальнейшее чтение

Ачесон, диджей (1990). Элементарная гидродинамика . Кларендон Пресс. ISBN 0-19-859679-0 .
Лэмб, Гораций (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-45868-4 . Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.
Милн-Томпсон, LM (1968). Теоретическая гидродинамика (5-е изд.). Макмиллан. Первоначально опубликовано в 1938 году.
Шинброт, М. (1973). Лекции по механике жидкости . Гордон и Брич. ISBN 0-677-01710-3 .
Шансон, Х. (2009). Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные течения жидкости . CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц. ISBN 978-0-415-49271-3 .
Клэнси, ЖЖ (1975). Аэродинамика . Лондон: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-01120-0 .
Назаренко, Сергей (2014), Гидродинамика через примеры и решения , CRC Press (группа Тейлора и Фрэнсиса), ISBN 978-1-43-988882-7

Внешние ссылки

[1] «Классическая теория потока в пористых средах» , «Поток жидкости в пористых средах» , WORLD SCIENTIFIC, стр. 69–197, 28 февраля 2020 г., doi : 10.1142/9789811219535_0003 , ISBN 978-981-12-1952-8 , S2CID 242538024 , получено 1 июля 2022 г.

[2] «Физико-химический поток в пористых средах» , «Поток жидкости в пористых средах» , WORLD SCIENTIFIC, стр. 249–285, 28 февраля 2020 г., doi : 10.1142/9789811219535_0005 , ISBN 978-981-12-1952-8 , S2CID 241660780 , получено 1 июля 2022 г.

[3] Адаптация пористой среды для контролируемого капиллярного потока Журнал коллоидной и интерфейсной науки (2019), 539, 379-387

[4] Саураб, Суман (15 февраля 2022 г.). «Эволюция режима течения и проницаемость в нанопористых породах в зависимости от напряжения» . Топливо . 310 . Elsevier: 122413. Бибкод : 2022Fuel..31022413S . doi : 10.1016/j.fuel.2021.122413 . S2CID 243474407 .

[5] Уитакер, Стивен (1986). «Течение в пористой среде I: теоретический вывод закона Дарси». Транспорт в пористых средах . 1 (1): 3–25. Бибкод : 1986TPMed...1....3W . дои : 10.1007/BF01036523 . S2CID 121904058 .

[6] Джонс, Рассел Т. (1 января 2004 г.). «Добыча нефти» . Энциклопедия энергетики . Эльзевир: 701–713. дои : 10.1016/b0-12-176480-x/00255-2 . ISBN 9780121764807 .

[7] Медведь, Джейкоб (26 февраля 2013 г.). Динамика жидкостей в пористых средах . Курьерская компания. ISBN 9780486131801 .

[8] ttps://eng.ucmerced.edu/people/jfisher/.../EnveEss110_20081110.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[9] Огирхян, Питер. «Установившееся течение сжимаемой жидкости в пористой среде». {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[10] Циммерман, доктор Р.В. «Течение в пористых средах» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]