Ортосхема Шлефли

В геометрии ортосхема Шлефли является разновидностью симплекса . Ортосхема — это обобщение прямоугольного треугольника на симплексные фигуры любого числа измерений. Ортосхемы определяются последовательностью ребер. $(v_{0}v_{1}),(v_{1}v_{2}),\dots ,(v_{d-1}v_{d})\,$ которые взаимно ортогональны . Они были введены Людвигом Шлефли , который назвал их ортосхемами и изучил их объем в евклидовой , гиперболической и сферической геометрии. HSM Coxeter позже назвал их в честь Шлефли. Поскольку прямоугольные треугольники составляют основу тригонометрии , ортосхемы составляют основу тригонометрии n измерений, разработанной Схоутом , который назвал ее полигонометрией . ^[1] Ж.-П. Сидлер и Борге Йессен широко изучали ортосхемы в связи с третьей проблемой Гильберта .

Ортосхемы, также называемые симплексами путей в литературе по прикладной математике , представляют собой частный случай более общего класса симплексов, изучаемого Фидлером . ^[2] и позднее вновь открыт Коксетером . ^[3] Эти симплексы представляют собой выпуклые оболочки деревьев , у которых все ребра взаимно перпендикулярны. В ортосхеме базовое дерево представляет собой путь .

В трех измерениях ортосхему также называют двупрямоугольным тетраэдром (поскольку ее путь образует два прямых угла в вершинах, каждая из которых имеет по два прямых угла) или четырехпрямоугольным тетраэдром (поскольку она содержит четыре прямых угла). ^[4]

Характеристики

Все 2-грани являются прямоугольными треугольниками .
Все грани d -мерной ортосхемы являются ( d - 1)-мерными ортосхемами.
The $d$ двугранные углы , не пересекающиеся с краями пути, имеют острые углы ; остальные ${\tbinom {d}{2}}$ все двугранные углы прямые . ^[3]
Середина ребра самого длинного является центром описанной сферы .
Тот случай, когда $|v_{0}v_{1}|=|v_{1}v_{2}|=\cdots =|v_{d-1}v_{d}|$ представляет собой обобщенный тетраэдр Хилла .
Любой гиперкуб в d -мерном пространстве можно разбить на d ! конгруэнтные ортосхемы. Подобное расчленение на такое же количество ортосхем применимо в более общем плане к каждому гиперпрямоугольнику , но в этом случае ортосхемы могут не совпадать.
Каждый правильный многогранник можно разрезать радиально на g конгруэнтных ортосхем, пересекающихся в его центре, где g — порядок группы симметрии правильного многогранника. ^[5]
В 3- и 4-мерном евклидовом пространстве каждый выпуклый многогранник ортосхеме ножнично конгруэнтен .
Каждую ортосхему можно разделить на три меньшие ортосхемы. ^[1]
В трехмерных гиперболических и сферических пространствах объем ортосхем можно выразить через функцию Лобачевского или через дилогарифмы . ^[6]

Рассечение на ортосхемы

В 1956 году Хьюго Хадвигер предположил, что каждый симплекс можно разбить на конечное число ортосхем. ^[7] Гипотеза была доказана в пространствах пяти или менее измерений. ^[8] но остается нерешенной в более высоких измерениях. ^[9]

Гипотеза Хадвигера подразумевает, что любой выпуклый многогранник можно разбить на ортосхемы.

Характеристический симплекс общего правильного многогранника

Коксетер идентифицирует различные ортосхемы как характерные симплексы многогранников, которые они порождают посредством отражений. ^[10] Характеристический симплекс является фундаментальным строительным блоком многогранника. Его можно воспроизвести путем отражений или вращений, чтобы построить многогранник, точно так же, как многогранник можно разбить на некоторое целое число. Характеристический симплекс является киральным (он существует в двух различных зеркальных формах), а многогранник разбивается на равное количество его левых и правых экземпляров. Он имеет разную длину ребер и грани вместо граней равностороннего треугольника, как у обычного симплекса. Когда многогранник правильный, его характеристический симплекс является ортосхемой, симплексом, имеющим только прямоугольные треугольные грани.

Каждый правильный многогранник имеет свою характерную ортосхему , которая является его фундаментальной областью , неправильный симплекс, который имеет точно такие же характеристики симметрии, что и правильный многогранник, но охватывает их все без повторения. ^[11] Для правильного k -многогранника диаграмма Кокстера-Дынкина характеристической k- ортосхемы представляет собой диаграмму k -многогранника без кольца образующих точек . Правильный k- многогранник подразделяется по его ( k -1)-элементам симметрии на g экземпляров его характеристической k -ортосхемы, окружающей его центр, где g — порядок k - многогранника группы симметрии . Это барицентрическое подразделение .

Перейдем к описанию «симплициального подразделения» правильного многогранника, начиная с одномерного случая. Отрезок 𝚷 ₁ разделен своим центром 𝚶 ₁ на две равные части . Многоугольник 𝚷 ₂ = { p } разделен линиями симметрии на 2 p прямоугольных треугольника, которые соединяют центр 𝚶 ₂ с упрощенно разделенными сторонами. Многогранник 𝚷 ₃ = { p, q } разбивается своими плоскостями симметрии на g четырехпрямоугольных тетраэдров (см. 5.43), которые соединяют центр 𝚶 ₃ с симплициально разделенными гранями. Аналогично, общий правильный многогранник 𝚷 _n разбивается на ряд конгруэнтных симплексов ([ортосхем]), которые соединяют центр 𝚶 _n с симплициально разделенными ячейками. ^[5]

См. также

3-ортосхема ( тетраэдр с гранями прямоугольного треугольника)
4-ортосхема ( 5-клеточная с гранями прямоугольного треугольника)
Тетраэдр Гурса
Заказать многогранник

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Коксетер, HSM (1989), «Трисекция ортосхемы», Компьютеры и математика с приложениями , 17 (1–3): 59–71, doi : 10.1016/0898-1221(89)90148-X , MR 0994189
^ Фидлер, Мирослав (1957), «О качественных угловых свойствах симплексов» , Чехословацкий математический журнал , 7 (82): 463–478, doi : 10.21136/CMJ.1957.100260 , MR 0094740
^ Jump up to: ^а ^б Коксетер, HSM (1991), «Ортогональные деревья», в Драйсдейле, Роберт Л. Скот (ред.), Труды седьмого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии, Норт-Конвей, Нью-Хэмпшир, США, 10–12 июня 1991 г. , Ассоциация Вычислительная техника, стр. 89–97, doi : 10.1145/109648.109658 , S2CID 18687383 .
^ Коксетер, HSM (1973), «§4.7 Другие соты (характеристические тетраэдры)», Правильные многогранники , стр. 71–72.
^ Jump up to: ^а ^б Коксетер, HSM (1973), «§7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника», Правильные многогранники
^ Винберг Е.Б. (1993), "Объемы неевклидовых многогранников", Изв. матем. Опросы , 48:2 (2): 15–45, Bibcode : 1993RuMaS..48...15V , doi : 10.1070/rm1993v048n02abeh001011
^ Хадвигер, Хьюго (1956), «Нерешенные проблемы» , «Элементы математики» , 11 : 109–110.
^ Чирпке, Катрин (1994), «Разбиение пятимерных симплексов на ортосхемы», Вклад в алгебру и геометрию , 35 (1): 1–11, MR 1287191
^ Брандтс, Ян; Коротов Сергей; Кржижек, Михал; Шольц, Якуб (2009), «О нетупых симплициальных разбиениях» (PDF) , SIAM Review , 51 (2): 317–335, Бибкод : 2009SIAMR..51..317B , doi : 10.1137/060669073 , MR 2505583 . См., в частности, Гипотезу 23, с. 327.
^ Коксетер, HSM (1973), «§11.7 Правильные фигуры и их усечения», Правильные многогранники
^ Коксетер, HSM (1973), «§7.9 Характеристический симплекс», Правильные многогранники

[cox89-1] Jump up to: ^а ^б Коксетер, HSM (1989), «Трисекция ортосхемы», Компьютеры и математика с приложениями , 17 (1–3): 59–71, doi : 10.1016/0898-1221(89)90148-X , MR 0994189

[fiedler-2] Фидлер, Мирослав (1957), «О качественных угловых свойствах симплексов» , Чехословацкий математический журнал , 7 (82): 463–478, doi : 10.21136/CMJ.1957.100260 , MR 0094740

[cox91-3] Jump up to: ^а ^б Коксетер, HSM (1991), «Ортогональные деревья», в Драйсдейле, Роберт Л. Скот (ред.), Труды седьмого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии, Норт-Конвей, Нью-Хэмпшир, США, 10–12 июня 1991 г. , Ассоциация Вычислительная техника, стр. 89–97, doi : 10.1145/109648.109658 , S2CID 18687383 .

[cox73.4.7-4] Коксетер, HSM (1973), «§4.7 Другие соты (характеристические тетраэдры)», Правильные многогранники , стр. 71–72.

[cox73.7.6-5] Jump up to: ^а ^б Коксетер, HSM (1973), «§7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника», Правильные многогранники

[vinberg-6] Винберг Е.Б. (1993), "Объемы неевклидовых многогранников", Изв. матем. Опросы , 48:2 (2): 15–45, Bibcode : 1993RuMaS..48...15V , doi : 10.1070/rm1993v048n02abeh001011

[hadwiger-7] Хадвигер, Хьюго (1956), «Нерешенные проблемы» , «Элементы математики» , 11 : 109–110.

[tschirpke-8] Чирпке, Катрин (1994), «Разбиение пятимерных симплексов на ортосхемы», Вклад в алгебру и геометрию , 35 (1): 1–11, MR 1287191

[bkks-9] Брандтс, Ян; Коротов Сергей; Кржижек, Михал; Шольц, Якуб (2009), «О нетупых симплициальных разбиениях» (PDF) , SIAM Review , 51 (2): 317–335, Бибкод : 2009SIAMR..51..317B , doi : 10.1137/060669073 , MR 2505583 . См., в частности, Гипотезу 23, с. 327.

[cox73.11.7-10] Коксетер, HSM (1973), «§11.7 Правильные фигуры и их усечения», Правильные многогранники

[cox73.7.9-11] Коксетер, HSM (1973), «§7.9 Характеристический симплекс», Правильные многогранники

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]