Диаграмма Рэндольфа

«R-диаграмма» перенаправляется сюда. Информацию о диаграмме HR – см. в диаграмме Герцшпрунга – Рассела .

Диаграмма Рэндольфа , представляющая логическое утверждение $P\lor Q$ ( дизъюнкция ).

Диаграмма Рэндольфа ( R-диаграмма ) — это простой способ визуализировать логические выражения и комбинации множеств. Диаграммы Рэндольфа были созданы математиком Джоном Ф. Рэндольфом в 1965 году, во время его работы в Университете Арканзаса .

Обзор

Диаграммы Рэндольфа легче всего интерпретировать, определив каждую линию как принадлежащую или относящуюся к одному логическому утверждению или множеству. Любая точка над линией указывает на истинность или включение, а под линией — на ложность или исключение. Используя эту систему, можно представить любую комбинацию множеств или логических утверждений с помощью пересекающихся линий.

Хотя диаграммы Венна чаще используются для представления комбинаций наборов, диаграммы Рэндольфа имеют то преимущество, что позволяют четко представлять комбинации из более чем трех наборов. Диаграммы Венна требуют либо расширения в более высокие пространственные измерения, либо использования более сложных форм, в то время как диаграммы Рэндольфа равномерно подразделяются для каждого дополнительного набора. Вот сравнение диаграммы Венна и R-диаграммы для 5 наборов логических утверждений:

История

В своей вводной статье по этому предмету « Перекрестное исчисление высказываний и операции над множествами » Рэндольф упоминает, что первое использование крестиков и точек для обозначения логических отношений было предложено У.С. Маккалоком , нейрофизиологом и современником Рэндольфа. Рэндольф модифицировал систему Маккаллоха, добавив новый способ представления комбинаций и отношений более чем двух логических утверждений или наборов, а именно подразделив каждый раздел R-диаграммы новой диагональной линией для каждого нового введенного элемента. В статье Рэндольфа предполагается, что его первоначальная идея заключалась в использовании R-диаграмм для представления логических отношений, а затем расширил эту идею, чтобы ее можно было применить и к теории множеств. На протяжении всей статьи R-диаграммы используются в сочетании с обычными логическими символами и символами двоичных операций.

Приложение к теории логики

Смотрите также: Математическая логика

При применении R-диаграмм к теории логики каждое из логических утверждений p, q и r может стать линией или несколькими строками, чтобы визуально отобразить достоверность каждого элемента в более крупном утверждении. Обычно считается, что p обозначается наклонной вверх линией (/), тогда как q обозначается наклонной линией вниз (\). Точка на диаграмме над наклонной линией указывает на истинность этого утверждения; аналогично точка ниже указывает на ложность. R-диаграммы для p и q показаны ниже соответственно:

Для более чем двух утверждений четыре пространства, образованные пересечением линий p и q, должны быть разделены на большее количество строк. В случае r в каждом из четырех пробелов добавляется одна наклоненная вверх линия (/). R-диаграмма для r показана ниже:

Этот метод можно расширить для любого количества значений истинности:

, и т. д.

R-диаграммы в основном используются для представления логических выражений. Учитывая логическое предположение, R-диаграммы способны отображать результат всех возможных истинных/ложных вариаций каждого элемента, создавая альтернативный способ представления таблицы истинности .

Таблица истинности

#	п	д	р
1	Т	Т	Т
2	Т	Т	Ф
3	Т	Ф	Т
4	Т	Ф	Ф
5	Ф	Т	Т
6	Ф	Т	Ф
7	Ф	Ф	Т
8	Ф	Ф	Ф

Все основные логические операции или связи могут быть выражены с помощью R-диаграмм как более легко читаемой альтернативы таблице истинности, как показано в таблице ниже:

Основные логические операции

Имя	Символы	R-диаграмма	Таблица истинности
Отрицание (нет)	¬ , ~		п ¬p Т Ф Ф Т
Союз (и)	& , ∧		п д п ∧ q Т Т Т Т Ф Ф Ф Т Ф Ф Ф Ф
Дизъюнкция (или)	∨		п д п ∨ q Т Т Т Т Ф Т Ф Т Т Ф Ф Ф
Материальный смысл (если... то)	$\rightarrow$ , $\Rightarrow$, $\supset$		п д п $\rightarrow$ д Т Т Т Т Ф Ф Ф Т Т Ф Ф Т
Двуусловный (тогда и только тогда, когда xnor)	$\leftrightarrow$, $\equiv$, $=$		п д п $\leftrightarrow$ д Т Т Т Т Ф Ф Ф Т Ф Ф Ф Т

Упрощение логических выражений

R-диаграммы можно использовать для упрощения сложных логических выражений, используя пошаговый процесс. Используя порядок операций, логические операторы применяются к R-диаграммам в правильной последовательности. Наконец, результатом является R-диаграмма, которую можно преобразовать обратно в более простое логическое выражение.

Например, возьмем следующее выражение:

$(Q\leftrightarrow P)\lor (\lnot P\land Q)\,$

Его можно упростить с помощью R-диаграмм следующим образом:

$($$\leftrightarrow$$)\lor ($$\land$$)$

$\lor$

что равно:

$P\rightarrow Q.\,$

Доказательство логических аргументов

Точно так же R-диаграммы можно использовать для доказательства или опровержения логических аргументов. Возьмем, к примеру, хорошо известный аргумент modus ponens , также известный как исключение импликации:

${\frac {P\to Q,P}{\therefore Q}}$

Это можно преобразовать в тавтологическое логическое выражение,

$((P\to Q)\land P)\to Q$

которые затем можно упростить с помощью R-диаграмм:

$(($$\to$$)\land$$)\to$

$($$\land$$)\to$

$\to$

В результате получается R-диаграмма, в которой каждое пространство имеет точку. Это означает, что аргумент является тавтологией; это верно во всех случаях. R-диаграмма, в которой ни в одном месте нет точки, является противоречием , утверждением, которое никогда не бывает истинным.

Приложение к теории множеств

Смотрите также: Теория множеств

R-диаграммы также используются в теории множеств как альтернатива диаграммам Венна. В теории множеств каждая строка представляет собой набор, а не логическое утверждение; A заменяет p, а B заменяет q. При использовании для наборов точка над линией означает включение, а точка ниже — исключение. Как и в логике, операции с базовыми множествами можно представить визуально с помощью R-диаграмм:

Базовые операции с набором

Имя	Обозначения	R-диаграмма
Союз	$A\cup B$
Пересечение	$A\cap B$
Абсолютное дополнение	$A^{c}$
Относительное дополнение (установленная разница)	$A\smallsetminus B$
Симметричная разница	$A\Delta B$

R-диаграммы иллюстрируют эквивалентность теоретико-множественных и логических концепций: пересечение в теории множеств эквивалентно соединению в логике, а объединение теории множеств эквивалентно логической дизъюнкции.