Полуправильный многогранник
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
В геометрии термин полуправильный многогранник (или полуправильный многогранник ) разными авторами используется по-разному.
Определения
[ редактировать ]В своем первоначальном определении это многогранник с правильными многоугольными гранями и группой симметрии транзитивной , по вершинам ; сегодня его чаще называют однородным многогранником (это следует из определения Торольда Госсета 1900 года более общего полуправильного многогранника ). [1] [2] К таким многогранникам относятся:
- Тринадцать архимедовых тел .
- Удлиненный квадратный гиробикупола , также называемый псевдоромбокубооктаэдром, телом Джонсона , имеет идентичные фигуры вершин 3.4.4.4, но не является транзитивным по вершинам, утверждал для включения в качестве 14-го архимедова тела включая скручивание, которое Бранко Грюнбаум .
- Бесконечная серия выпуклых призм .
- Бесконечный ряд выпуклых антипризм (их полуправильную природу впервые наблюдал Кеплер ).
Эти полуправильные тела могут быть полностью заданы конфигурацией вершин : списком граней по количеству сторон в порядке их расположения вокруг вершины. Например: 3.5.3.5 представляет икосододекаэдр , в котором чередуются два треугольника и два пятиугольника вокруг каждой вершины . Напротив: 3.3.3.5 — пятиугольная антипризма . Эти многогранники иногда называют вершинно-транзитивными .
После Госсета другие авторы по-разному использовали термин полурегулярный в отношении многогранников более высоких размерностей. Эль Эльте [3] предоставил определение, которое Коксетер счел слишком искусственным. Сам Коксетер назвал фигуры Госсета однородными , и лишь весьма ограниченное подмножество их классифицировало как полуправильные. [4]
Третьи пошли по противоположному пути, относя больше многогранников к полуправильным. К ним относятся:
- Три набора звездчатых многогранников , соответствующие определению Госсета, аналогичные трем выпуклым наборам, перечисленным выше.
- Двойники . вышеупомянутых полуправильных тел утверждают, что, поскольку двойственные многогранники имеют ту же симметрию, что и оригиналы, их тоже следует рассматривать как полуправильные тела Эти двойственные тела включают каталонские тела , выпуклые дипирамиды и выпуклые антидипирамиды или трапецоэдры , а также их невыпуклые аналоги.
Еще один источник путаницы заключается в том, как определяются архимедовы тела, причем опять же появляются разные интерпретации.
Определение полуправильных многогранников, данное Госсетом, включает фигуры более высокой симметрии: правильные и квазиправильные многогранники. Некоторые более поздние авторы предпочитают говорить, что они не являются полуправильными, потому что они более правильны - тогда говорят, что однородные многогранники включают в себя правильные, квазиправильные и полуправильные. Эта система именования работает хорошо и устраняет многие (но далеко не все) путаницы.
На практике даже самые выдающиеся авторитеты могут запутаться, определяя данный набор многогранников как полуправильные и/или архимеды, а затем предполагая (или даже заявляя) другой набор в последующих обсуждениях. Предположение, что данное определение применимо только к выпуклым многогранникам, вероятно, является наиболее распространенной ошибкой. Коксетер, Кромвель, [5] и Канди и Ролетт [6] все виноваты в таких промахах.
Общие замечания
[ редактировать ] Трехугольный трапецоэдр (V(3.3) 2 ) |  Ромбический додекаэдр V(3.4) 2 |  Ромбический триаконтаэдр V(3.5) 2 |
Иоганн Кеплер ввел категорию полуправильных тел в своей книге «Harmonices Mundi» (1619), включающую 13 архимедовых тел , два бесконечных семейства ( призмы и антипризмы на правильных основаниях) и два с переходными краями каталонских тела , ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Он также рассматривал ромб как полуправильный многоугольник (равносторонний и чередующийся с двумя углами), а также звездчатые многоугольники , теперь называемые изотоксальными фигурами , которые он использовал в плоских мозаиках . Тригональный трапецоэдр , топологический куб с конгруэнтными ромбическими гранями, также можно было бы квалифицировать как полуправильный, хотя Кеплер не упомянул его конкретно.
Во многих работах полуправильный многогранник используется как синоним архимедова тела . [7] Например, Канди и Роллетт (1961).
Мы можем различать лице-правильные и вершинно-транзитивные фигуры, основанные на Госсете, а также их вертикально-правильные (или верси-правильные) и гранично-транзитивные двойственные фигуры.
Коксетер и др. (1954) используют термин «полуправильные многогранники» для классификации однородных многогранников с символом Витхоффа формы pq | r — определение, охватывающее только шесть архимедовых тел, а также правильные призмы (но не правильные антипризмы) и многочисленные невыпуклые тела. Позже Коксетер (1973) процитировал определение Госсета без комментариев, тем самым приняв его косвенно.
Эрик Вайсштейн , Роберт Уильямс и другие используют этот термин для обозначения выпуклых однородных многогранников , исключая пять правильных многогранников , включая архимедовы тела, однородные призмы и однородные антипризмы (перекрывающиеся с кубом как призмой и правильным октаэдром как антипризмой). . [8] [9]
Питер Кромвель (1997) пишет в сноске к странице 149, что «в современной терминологии «полуправильные многогранники» относятся к архимедовым и каталанским (двойственным архимедовым) телам». На странице 80 он описывает тринадцать Архимедов как полуправильные, а на странице 367 и далее. он обсуждает каталонцев и их отношения к «полурегулярным» архимедам. Подразумевается, что каталонцы считаются неполурегулярными, что фактически противоречит (или, по крайней мере, запутывает) определению, которое он дал в предыдущей сноске. Он игнорирует невыпуклые многогранники.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Торольд Госсет о правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
- ^ Коксетер, Регулярные многогранники HSM , 3-е изд., Дувр (1973)
- ^ Эльте, EL (1912), Полуправильные многогранники гиперпространств , Гронинген: Гронингенский университет.
- ^ Коксетер, HSM , Лонге-Хиггинс, М.С. и Миллер, Однородные многогранники JCP, Философские труды Лондонского королевского общества 246 A (1954), стр. 401-450. ( Архив JSTOR , необходима подписка).
- ^ Кромвель, П. Многогранники , издательство Кембриджского университета (1977)
- ^ Канди Х.М. и Роллетт, А.П. Математические модели , 2-е изд. Издательство Оксфордского университета (1961)
- ^ «Архимед». (2006). В Британской энциклопедии . Получено 19 декабря 2006 г. из Британской энциклопедии Online (требуется подписка).
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Полуправильный многогранник» . Математический мир . Приведенное здесь определение не исключает случая, когда все грани конгруэнтны, но Платоновы тела не включены в нумерацию в статье.
- ^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Глава 3: Многогранники)
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Полуправильный многогранник» . Математический мир .
- Джордж Харт: Архимедовы полуправильные многогранники
- Дэвид Дарлинг: полуправильный многогранник
- Polyhedra.mathmos.net: Полуправильный многогранник
- Энциклопедия математики: полуправильные многогранники, однородные многогранники, архимедовы тела.