Передаточная функция

В технике ( передаточная функция также известная как системная функция) ^{[ 1 ]} или сетевая функция ) системы, подсистемы или компонента — это математическая функция , которая моделирует выходные данные системы для каждого возможного входа. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Он широко используется в электронных инженерных инструментах, таких как симуляторы цепей и системы управления . В простых случаях эту функцию можно представить как двумерный график зависимости независимого скалярного входа от зависимого скалярного выхода (известный как передаточная кривая или характеристическая кривая ). Передаточные функции для компонентов используются для проектирования и анализа систем, собранных из компонентов, в частности с использованием метода блок-схем , в электронике и теории управления .

Размеры и единицы передаточной функции моделируют выходную реакцию устройства для диапазона возможных входов. Передаточная функция двухпортовой электронной схемы, такой как усилитель , может представлять собой двумерный график скалярного напряжения на выходе как функции скалярного напряжения, приложенного к входу; передаточной функцией электромеханического привода может быть механическое смещение подвижного рычага в зависимости от электрического тока, приложенного к устройству; передаточной функцией фотодетектора может быть выходное напряжение как функция силы света падающего света данной длины волны .

Термин «передаточная функция» также используется при в частотной области анализе систем с использованием методов преобразования, таких как преобразование Лапласа ; это амплитуда выходного сигнала как функция частоты входного сигнала. Передаточная функция электронного фильтра — это амплитуда на выходе как функция частоты синусоидальной волны постоянной амплитуды, подаваемой на вход. Для устройств оптического формирования изображений оптическая передаточная функция представляет собой преобразование Фурье функции рассеяния точки (функции пространственной частоты ).

Линейные стационарные системы

Передаточные функции обычно используются при анализе таких систем, как с одним входом и одним выходом фильтры в обработке сигналов , теории связи и теории управления . Этот термин часто используется исключительно для обозначения линейных, инвариантных во времени (LTI) систем. Большинство реальных систем имеют нелинейные характеристики ввода-вывода, но многие системы, работающие в пределах номинальных параметров (без перегрузки), имеют поведение, достаточно близкое к линейному, поэтому теория систем LTI является приемлемым представлением их поведения ввода-вывода.

Непрерывное время

Описания даны в терминах комплексной переменной , $s=\sigma +j\cdot \omega$ . Во многих приложениях достаточно установить $\sigma =0$ (таким образом $s=j\cdot \omega$ ), что сводит преобразования Лапласа с комплексными аргументами к преобразованиям Фурье с вещественным аргументом ω. Это часто встречается в приложениях, в первую очередь интересующихся установившимся откликом системы LTI (часто это происходит в теории обработки сигналов и теории связи включения и выключения ), а не мимолетными переходными реакциями или проблемами стабильности.

Для непрерывного входного сигнала $x(t)$ и вывод $y(t)$ , разделив преобразование Лапласа выходного сигнала, $Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}$ , преобразованием Лапласа входных данных, $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ , дает передаточную функцию системы $H(s)$ :

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}

который можно переставить так:

Y(s)=H(s)\;X(s)\,.

Дискретное время

Сигналы дискретного времени могут быть записаны как массивы, индексированные целым числом. $n$ (например $x[n]$ для ввода и $y[n]$ для вывода). Вместо использования преобразования Лапласа (которое лучше для сигналов с непрерывным временем), сигналы с дискретным временем обрабатываются с использованием z-преобразования (обозначается соответствующей заглавной буквой, например $X(z)$ и $Y(z)$ ), поэтому передаточную функцию системы с дискретным временем можно записать как:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.$

Прямой вывод из дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)

где u и r — достаточно гладкие функции от t , а L — оператор, определенный в соответствующем функциональном пространстве, преобразует u в r . Уравнение такого типа можно использовать для ограничения выходной функции u с точки зрения вынуждающей функции r . Передаточная функция может использоваться для определения оператора $F[r]=u$ который служит правой инверсией L , а это означает, что $L[F[r]]=r$ .

Решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами $L[u]=0$ можно найти, попробовав $u=e^{\lambda t}$ . Эта замена дает характеристический полином

p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,

Неоднородный случай легко решить, если входная функция r также имеет вид $r(t)=e^{st}$ . Подставив $u=H(s)e^{st}$ , $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ если мы определим

H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.

Используются и другие определения передаточной функции, например $1/p_{L}(ik).$ ^{[ 5 ]}

Усиление, переходное поведение и стабильность

Общий синусоидальный вход в систему частоты $\omega _{0}/(2\pi )$ может быть написано $\exp(j\omega _{0}t)$ . Реакция системы на синусоидальный входной сигнал, начиная с момента времени $t=0$ будет состоять из суммы установившегося отклика и переходного отклика. Стационарный отклик — это выходной сигнал системы в пределе бесконечного времени, а переходный отклик — это разница между откликом и установившимся откликом; оно соответствует однородному решению дифференциального уравнения . Передаточная функция для системы LTI может быть записана как произведение:

H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}

где s _{P _i} — N корней характеристического полинома и будут полюсами передаточной функции. В передаточной функции с одним полюсом $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ где $s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}$ , преобразование Лапласа общей синусоиды единичной амплитуды будет равно ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ . Преобразование Лапласа на выходе будет ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ , а временной результат будет обратным преобразованием Лапласа этой функции:

g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}

Второй член в числителе представляет собой переходный процесс, и в пределе бесконечного времени он будет расходиться до бесконечности, если σ _P положителен. Чтобы система была устойчивой, ее передаточная функция не должна иметь полюсов, действительные части которых положительны. Если передаточная функция строго устойчива, действительные части всех полюсов будут отрицательными, а переходный процесс будет стремиться к нулю в пределе бесконечного времени. Стационарный выходной сигнал будет:

g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}

Частотная характеристика (или «усиление») G системы определяется как абсолютное значение отношения выходной амплитуды к установившейся входной амплитуде:

G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},

что является абсолютным значением передаточной функции $H(s)$ оценивается в $j\omega _{i}$ . Этот результат справедлив для любого числа полюсов передаточной функции.

Обработка сигналов

Если $x(t)$ является входом в общую линейную стационарную систему , и $y(t)$ является выходом, а двустороннее преобразование Лапласа $x(t)$ и $y(t)$ является

{\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}

Выход связан с входом передаточной функцией $H(s)$ как

Y(s)=H(s)X(s)

а сама передаточная функция

H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.

Если сложный гармонический сигнал с синусоидальной составляющей с амплитудой $|X|$ , угловая частота $\omega$ и фаза $\arg(X)$ , где arg — аргумент

x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}

где

X=|X|e^{j\arg(X)}

является входом в линейную стационарную систему, соответствующий компонент на выходе:

{\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}

В линейной стационарной системе входная частота $\omega$ не изменился; системой были изменены только амплитуда и фазовый угол синусоиды. Частотная характеристика $H(j\omega )$ описывает это изменение для каждой частоты $\omega$ с точки зрения выгоды

G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|

и фазовый сдвиг

\phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).

Фазовая задержка (зависимая от частоты величина задержки, вносимая в синусоиду передаточной функцией) равна

\tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.

Групповая задержка (зависимая от частоты величина задержки, вносимая в огибающую синусоиды передаточной функцией) находится путем вычисления производной фазового сдвига по угловой частоте. $\omega$ ,

\tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.

Передаточную функцию также можно показать с помощью преобразования Фурье , частного случая двустороннего преобразования Лапласа , где $s=j\omega$ .

Общие семейства передаточных функций

Хотя любую систему LTI можно описать некоторой передаточной функцией, обычно используются «семейства» специальных передаточных функций:

Фильтр Баттерворта - максимально плоский в полосе пропускания и полосе задерживания для данного порядка.
Фильтр Чебышева (Тип I) – максимально плоский в полосе задерживания, более резкая граница среза, чем у фильтра Баттерворта того же порядка.
Фильтр Чебышева (Тип II) - максимально плоская полоса пропускания, более резкая граница среза, чем у фильтра Баттерворта того же порядка.
Фильтр Бесселя – максимально постоянная групповая задержка для данного порядка
Эллиптический фильтр – самая резкая граница (самый узкий переход между полосой пропускания и полосой задерживания) для данного порядка.
Оптимальный фильтр «L»
Фильтр Гаусса – минимальная групповая задержка; не дает перерегулирования ступенчатой функции
Фильтр повышенного косинуса

Техника управления

В технике управления и теории управления передаточная функция получается с помощью преобразования Лапласа . Передаточная функция была основным инструментом, используемым в классической технике управления. Матрицу переноса можно получить для любой линейной системы для анализа ее динамики и других свойств; каждый элемент передаточной матрицы представляет собой передаточную функцию, связывающую конкретную входную переменную с выходной переменной. Представление, соединяющее пространство состояний и методы передаточной функции, было предложено Говардом Х. Розенброком и известно как матрица системы Розенброка .

Визуализация

В визуализации передаточные функции используются для описания взаимосвязи между освещением сцены, сигналом изображения и отображаемым светом.

Нелинейные системы

Передаточные функции не существуют для многих нелинейных систем , таких как релаксационные осцилляторы ; ^{[ 6 ]} однако описывающие функции иногда можно использовать для аппроксимации таких нелинейных стационарных систем.

См. также

Ссылки

^ Бернд Жирод , Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер, Сигналы и системы , 2-е изд., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 стр. 50.
^ М. А. Лотон; Д. Ф. Варн (27 сентября 2002 г.). Справочник инженера-электрика (16-е изд.). Ньюнес. стр. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5 .
^ Э.А. Парр (1993). Справочник дизайнера логики: схемы и системы (2-е изд.). Новизна. стр. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9 .
^ Ян Синклер; Джон Дантон (2007). Обслуживание электроники и электрооборудования: бытовая и коммерческая электроника . Рутледж. п. 172. ИСБН 978-0-7506-6988-7 .
^ Биркгоф, Гарретт; Рота, Джан-Карло (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-05224-1 . ^{[ нужна страница ]}
^ Валентин Де Смедт, Жорж Гилен и Вим Деэн (2015). Независимые от температуры и напряжения эталоны времени для беспроводных сенсорных сетей . Спрингер. п. 47. ИСБН 978-3-319-09003-0 .

Внешние ссылки

ECE 209: Обзор цепей как систем LTI . Краткое руководство по математическому анализу (электрических) систем LTI.

[1] Бернд Жирод , Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер, Сигналы и системы , 2-е изд., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 стр. 50.

[LaughtonWarne2002-2] М. А. Лотон; Д. Ф. Варн (27 сентября 2002 г.). Справочник инженера-электрика (16-е изд.). Ньюнес. стр. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5 .

[Parr1993-3] Э.А. Парр (1993). Справочник дизайнера логики: схемы и системы (2-е изд.). Новизна. стр. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9 .

[SinclairDunton2007-4] Ян Синклер; Джон Дантон (2007). Обслуживание электроники и электрооборудования: бытовая и коммерческая электроника . Рутледж. п. 172. ИСБН 978-0-7506-6988-7 .

[5] Биркгоф, Гарретт; Рота, Джан-Карло (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-05224-1 . ^{[ нужна страница ]}

[Dehaene-6] Валентин Де Смедт, Жорж Гилен и Вим Деэн (2015). Независимые от температуры и напряжения эталоны времени для беспроводных сенсорных сетей . Спрингер. п. 47. ИСБН 978-3-319-09003-0 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]