Принесите радикал

Сюжет «Принеси радикала для реального спора»

В алгебре или радикал Приведения ультрарадикал действительного числа a   является единственным вещественным корнем многочлена . $$x^{5}+x+a.$$

Радикал Приведения комплексного числа a представляет собой либо любой из пяти корней вышеуказанного многочлена (таким образом, он является многозначным ), либо конкретный корень, который обычно выбирается таким образом, чтобы радикал Приведения имел вещественное значение для действительного числа a и — аналитическая функция в окрестности вещественной прямой. Из-за существования четырех точек ветвления радикал Бринга не может быть определен как функция, непрерывная на всей комплексной плоскости , и его область непрерывности должна исключать четыре разреза ветвления .

Джордж Джеррард показал, что некоторые уравнения пятой степени могут быть решены в замкнутой форме с использованием радикалов и радикалов Бринга, которые были введены Эрландом Брингом .

В этой статье радикал Приведения a обозначается $\operatorname {BR} (a).$ Для настоящего аргумента он нечетный, монотонно убывающий и неограниченный, с асимптотическим поведением. $\operatorname {BR} (a)\sim -a^{1/5}$ для больших $a$.

Нормальные формы

Уравнение пятой степени довольно сложно получить решения напрямую, с пятью независимыми коэффициентами в самом общем виде: $$x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.$$

Различные методы решения квинтики, которые были разработаны, обычно пытаются упростить квинтику с помощью преобразований Чирнхауза, чтобы уменьшить количество независимых коэффициентов.

Основная квинтическая форма

Общую квинтику можно свести к так называемой основной квинтике с удалением квартических и кубических членов: $$y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,$$

Если корни общей квинтики и главной квинтики связаны квадратичным преобразованием Чирнхауза $$y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,$$коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ может быть определена с помощью результирующей или с помощью степенных сумм корней и тождеств Ньютона . Это приводит к системе уравнений $\alpha$ и $\beta$ состоит из квадратного и линейного уравнений, и любой из двух наборов решений может быть использован для получения соответствующих трех коэффициентов главной пятерной формы.

Эта форма используется в Феликсом Кляйном . решении квинтики

Нормальная форма Бринга-Джеррарда

Можно еще больше упростить квинтику и исключить квадратичный член, получив нормальную форму Бринга – Джеррарда : $$v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.$$Повторное использование формул суммы степеней с кубическим преобразованием, как пытался Чирнхаус , не работает, поскольку полученная система уравнений приводит к уравнению шестой степени. Но в 1796 году Бринг нашел способ обойти эту проблему, используя квартическое преобразование Чирнхауса, чтобы связать корни главной квинтики с корнями квинтики Бринга – Джеррарда: $$v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,.$$

Дополнительный параметр, который обеспечивает это преобразование четвертого порядка, позволил Bring уменьшить степени других параметров. Это приводит к системе пяти уравнений с шестью неизвестными, которая затем требует решения кубического и квадратного уравнений. Этот метод был также открыт Джеррардом в 1852 году. но вполне вероятно, что он не знал о предыдущих работах Бринга в этой области. Полное преобразование можно легко выполнить с помощью пакета компьютерной алгебры, такого как Mathematica. или Клен . Как и следовало ожидать, учитывая сложность этих преобразований, полученные выражения могут быть огромными, особенно по сравнению с решениями в радикалах для уравнений более низкой степени, требующими много мегабайт памяти для общей квинтики с символическими коэффициентами.

Если рассматривать ее как алгебраическую функцию, то решения $$v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0$$использовать две переменные, d ₁ и d ₀ ; однако на самом деле приведение происходит к алгебраической функции одной переменной, что во многом аналогично решению в радикалах, поскольку мы можем дополнительно сократить форму Бринга – Джеррарда. Если мы, например, установим $$z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}$$то приведем уравнение к виду $$z^{5}-z+a=0\,,$$который включает z как алгебраическую функцию одной переменной $a$, где $a=d_{0}(-d_{1})^{-5/4}$. Эта форма требуется для метода Эрмита – Кронекера – Бриоши, метода Глассера и метода дифференциальных резольвент Кокла – Харли, описанного ниже.

Альтернативная форма получается установкой $u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}$так что $u^{5}+u+b=0\,,$где $b=d_{0}(d_{1})^{-5/4}$. Эта форма используется для определения радикала Bring ниже.

Нормальная форма Бриоши

Существует еще одна однопараметрическая нормальная форма уравнения пятой степени, известная как нормальная форма Бриоши. $$w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0,$$которое можно получить с помощью рационального преобразования Чирнхауза $$w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}$$связать корни общей квинтики с квинтикой Бриоши. Значения параметров $\lambda$ и $\mu$ могут быть получены с использованием многогранных функций на сфере Римана и связаны с разделением объекта икосаэдрической симметрии на пять объектов тетраэдрической симметрии .

Это преобразование Чирнхауса гораздо проще, чем сложное преобразование, используемое для преобразования главной квинтики в форму Бринга – Джеррарда. Эта нормальная форма используется итерационным методом Дойла – Макмаллена и методом Киперта.

Представление серии

Ряд Тейлора для радикалов Бринга, а также представление в терминах гипергеометрических функций можно получить следующим образом. Уравнение $x^{5}+x+a=0$ можно переписать как $x^{5}+x=-a.$ Установив $f(x)=x^{5}+x,$ желаемое решение $x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)$ с $f(x)$ странно.

Серия для $f^{-1}$ затем может быть получено обращением ряда Тейлора для $f(x)$ (что просто $x+x^{5}$), давая $$\operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,$$где абсолютные значения коэффициентов образуют последовательность A002294 в OEIS . Радиус сходимости ряда равен $4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0.53499.$

В гипергеометрической форме радикал Приведения можно записать как $$\operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).$$

Может быть интересно сравнить с гипергеометрическими функциями, возникающими ниже при выводе Глассера и методе дифференциальных резольвент.

Решение общей квинтики

Корни многочлена $$x^{5}+px+q$$можно выразить через радикал Bring как $${\sqrt[{4}]{p}}\,\operatorname {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}}}q\right)$$и четыре его конъюгата . Теперь проблема сведена к форме Бринга – Джеррарда в терминах разрешимых полиномиальных уравнений и использования преобразований, включающих полиномиальные выражения в корнях только до четвертой степени, что означает, что обращение преобразования может быть выполнено путем нахождения корней полиномиально разрешимого уравнения. в радикалах. Эта процедура дает посторонние решения, но когда правильные решения найдены численными методами, корни квинтики можно записать в терминах квадратных корней, кубических корней и радикала Бринга, что, следовательно, является алгебраическим решением в терминах алгебраических функции (в широком смысле, включающие радикалы Бринга) одной переменной — алгебраическое решение общей квинтики.

Другие характеристики

Многие другие характеристики радикала Бринга были разработаны в 1858 году в терминах «эллиптических трансцендентов» (относящихся к эллиптическим и модулярным функциям) Чарльзом Эрмитом , а дальнейшие методы позже были разработаны другими математиками.

Характеристика Эрмита-Кронекера-Бриоши.

В 1858 году Чарльз Эрмит опубликовал первое известное решение общего уравнения пятой степени в терминах «эллиптических трансцендентов», и примерно в то же время Франческо Бриоски и Леопольд Кронекер пришли к эквивалентным решениям. Эрмит пришел к этому решению, обобщив известное решение кубического уравнения в терминах тригонометрических функций , и находит решение квинтики в форме Бринга – Джеррарда: $$x^{5}-x+a=0$$

к которому любое уравнение пятой степени может быть сведено с помощью преобразований Чирнхауза, как было показано. Он заметил, что эллиптические функции играют аналогичную роль в решении квинтики Бринга – Джеррарда, как тригонометрические функции для кубических. Для $K$ и $K',$ запишем их как полные эллиптические интегралы первого рода : $$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$$$$K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$$где $$k^{2}+k'^{2}=1.$$Дайте определение двум «эллиптическим трансцендентам»: $$\varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$$$\psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi \tau }{2i}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$Их можно эквивалентно определить бесконечными рядами: $${\begin{aligned}\varphi (\tau )&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}(1-e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-3e^{3\pi i\tau }+4e^{4\pi i\tau }-6e^{5\pi i\tau }+9e^{6\pi i\tau }-\cdots ),\quad \operatorname {Im} \tau >0\\\psi (\tau )&={\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}}\\&=1-2e^{\pi i\tau }+2e^{2\pi i\tau }-4e^{3\pi i\tau }+6e^{4\pi i\tau }-8e^{5\pi i\tau }+12e^{6\pi i\tau }-\cdots ,\quad \operatorname {Im} \tau >0\end{aligned}}$$

Если n — простое число , мы можем определить два значения $u$ и $v$ следующее: $$u=\varphi (n\tau )$$и $$v=\varphi (\tau )$$

Когда n — нечетное простое число, параметры $u$ и $v$ связаны уравнением степени n + 1 в $u$, $\Omega _{n}(u,v)=0$, известное как модульное уравнение , чье $n+1$ корни в $u$ даны: $$u=\varphi (n\tau )$$и $$u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)$$где $\varepsilon (n)$ равно 1 или -1 в зависимости от того, является ли 2 квадратичным вычетом по модулю n или нет, соответственно, и $m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}$. Для n = 5 имеем модульное уравнение: $$\Omega _{5}(u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0$$с шестью корнями $u$ как показано выше.

Модульное уравнение с $n=5$ может быть связана с квинтикой Бринга – Джеррарда следующей функцией шести корней модульного уравнения (В книге Эрмита « О теории модульных уравнений и разрешении уравнения пятой степени » первый множитель неправильно задан как $[\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]$):

$$\Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]$$

Альтернативно, формула $$\Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i\tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )$$полезен для численной оценки $\Phi (\tau )$. По Эрмиту коэффициент $e^{n\pi i\tau /5}$ в разложении равна нулю для каждого $n\equiv 4\,(\operatorname {mod} 5)$.

Пять величин $\Phi (\tau )$, $\Phi (\tau +16)$, $\Phi (\tau +32)$, $\Phi (\tau +48)$, $\Phi (\tau +64)$ являются корнями уравнения пятой степени с коэффициентами, рациональными по $\varphi (\tau )$: $$\Phi ^{5}-2000\varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0$$которую можно легко преобразовать к форме Бринга–Джеррарда заменой: $$\Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )x$$что приводит к квинтике Бринга-Джеррарда: $$x^{5}-x+a=0$$где

$$a=-{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$ ( * )

Тогда метод Эрмита-Кронекера-Бриоски сводится к нахождению значения для $\tau$ что соответствует значению $a$, а затем используя это значение $\tau$ получить корни соответствующего модульного уравнения. Мы можем использовать алгоритмы поиска корней, чтобы найти $\tau$ из уравнения (*) (т.е. вычислить частичную обратную величину $a$). Возведение в квадрат (*) дает квартику только в $\varphi ^{4}(\tau )$ (с использованием $\varphi ^{8}(\tau )+\psi ^{8}(\tau )=1$). Каждое решение (в $\tau$) уравнения (*) является решением квартики, но не каждое решение квартики является решением (*).

Тогда корни квинтики Бринга – Джеррарда определяются следующим образом: $$x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$для $r=0,\ldots ,4$.

Альтернативный, «интегральный» подход заключается в следующем:

Учитывать $x^{5}-x+a=0$ где $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.$ Затем $$\tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}$$является решением $$a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau )]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$где $$s={\begin{cases}-\operatorname {sgn} \operatorname {Im} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a=0\\\operatorname {sgn} \operatorname {Re} a&{\text{ if }}\operatorname {Re} a\neq 0,\end{cases}}$$

$$k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2}k+1=0,$$ ( ** )

$$A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.$$

Корнями уравнения (**) являются: $$k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}$$где $\sin \alpha =4/A^{2}$(обратите внимание, что в некоторых важных ссылках это ошибочно указывается как $\sin \alpha =1/(4A^{2})$). Один из этих корней можно использовать в качестве эллиптического модуля. $k$.

Тогда корни квинтики Бринга – Джеррарда определяются следующим образом: $$x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$для $r=0,\ldots ,4$.

Можно заметить, что этот процесс использует обобщение корня n-й степени , которое можно выразить как: $${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)$$или более конкретно, так как $${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).$$Метод Эрмита – Кронекера – Бриоши по существу заменяет экспоненту «эллиптической трансцендентной», а интеграл ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ (или обратное $\exp$ на действительной прямой) эллиптическим интегралом (или частичным обратным к «эллиптическому трансценденту»). Кронекер считал, что это обобщение представляет собой частный случай еще более общей теоремы, применимой к уравнениям сколь угодно высокой степени. Эта теорема, известная как формула Томаэ , была полностью выражена Хироши Умемурой. в 1984 году, который использовал модульные формы Зигеля вместо экспоненциальных/эллиптических трансцендентов и заменил интеграл гиперэллиптическим интегралом .

Вывод Глассера

Этот вывод принадлежит М. Лоуренсу Глассеру. обобщает метод рядов, представленный ранее в этой статье, для поиска решения любого трехчленного уравнения вида: $$x^{N}-x+t=0$$

В частности, уравнение пятой степени можно привести к этому виду с помощью преобразований Чирнхауза, как показано выше. Позволять $x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,$, общая форма становится: $$\zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta )$$где $$\phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}$$

Формула Лагранжа утверждает , что для любой аналитической функции $f\,$, в окрестности корня преобразованного общего уравнения через $\zeta \,$, выше может быть выражено в виде бесконечной серии : $$f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a=e^{2\pi i}}$$

Если мы позволим $f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,$ в этой формуле мы можем найти корень: $$x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)}}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1\right)}}$$$$k=1,2,3,\dots ,N-1\,$$

Используя теорему умножения Гаусса, приведенный выше бесконечный ряд можно разбить на конечный ряд гипергеометрических функций : $$\psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i}{N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N-1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+1\right)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\right)}}=\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\right)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\right)}}$$

$$x_{n}=e^{-{\frac {2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n=1,2,3,\dots ,N-1$$

$$x_{N}=\sum _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\sum _{q=0}^{N-2}\psi _{m}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}$$

а трехчлен вида имеет корни $$ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}$$$$x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}$$$$x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}$$

$${\begin{aligned}x_{n}={}&-e^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\sum _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right)}{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\right)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q\right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N-2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}$$

Таким образом, корень уравнения можно выразить как сумму не более $N-1$ гипергеометрические функции. Применяя этот метод к приведенной квинтике Бринга – Джеррарда, определите следующие функции: $${\begin{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}$$которые представляют собой гипергеометрические функции, которые фигурируют в приведенной выше формуле ряда. Таким образом, корни квинтики таковы: $${\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\\end{array}}$$

По сути, это тот же результат, что и результат, полученный следующим методом.

Метод дифференциальных резольвент

Джеймс Кокл и Роберт Харли разработал в 1860 году метод решения квинтики с помощью дифференциальных уравнений. Они рассматривают корни как функции коэффициентов и на основе этих уравнений рассчитывают дифференциальную резольвенту. Квинтика Бринга – Джеррарда выражается как функция: $$f(x)=x^{5}-x+a$$и функция $\,\phi (a)\,$ должно быть определено так, чтобы: $$f[\phi (a)]=0$$

Функция $\phi$ также должен удовлетворять следующим четырем дифференциальным уравнениям: $${\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)]}{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}$$

Их разложение и объединение дает дифференциальную резольвенту: $${\frac {(256-3125a^{4})}{1155}}{\frac {d^{4}\phi }{da^{4}}}-{\frac {6250a^{3}}{231}}{\frac {d^{3}\phi }{da^{3}}}-{\frac {4875a^{2}}{77}}{\frac {d^{2}\phi }{da^{2}}}-{\frac {2125a}{77}}{\frac {d\phi }{da}}+\phi =0$$

Решение дифференциальной резольвенты, представляющей собой обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, зависит от четырех констант интегрирования , которые следует выбрать так, чтобы удовлетворить исходную квинтику. Это фуксово обыкновенное дифференциальное уравнение гипергеометрического типа: решение которого оказывается идентичным ряду гипергеометрических функций, возникшему при выводе Глассера выше.

Этот метод также можно обобщить на уравнения сколь угодно высокой степени с дифференциальными резольвентами, которые представляют собой уравнения в частных производных , решения которых включают гипергеометрические функции нескольких переменных. Общая формула для дифференциальных резольвент произвольных одномерных многочленов дается формулой суммы степеней Наэя.

Итерация Дойла – Макмаллена

В 1989 году Питер Дойл и Курт Макмаллен разработали итерационный метод. который решает квинтику в нормальной форме Бриоши: $$x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}x-C^{2}=0.$$Алгоритм итерации выглядит следующим образом:

1. Набор $Z=1-1728C$
2. Вычислите рациональную функцию $$T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g'(Z,w)}}$$ где $g(Z,w)$ - полиномиальная функция, приведенная ниже, и $g'$ является производной от $g(Z,w)$ относительно $w$
3. Итерировать $T_{Z}[T_{Z}(w)]$ на случайном начальном предположении, пока оно не сойдётся. Вызов предельной точки $w_{1}$ и пусть $w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,$.
4. Вычислить $$\mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{i})}{g(Z,w_{i})}}$$ где $h(Z,w)$ представляет собой полиномиальную функцию, приведенную ниже. Сделайте это для обоих $w_{1}\,$ и $w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,$.
5. Наконец, вычислите $$x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _{i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}$$ для я = 1, 2 . Это два корня квинтики Бриоши.

Две полиномиальные функции $g(Z,w)\,$ и $h(Z,w)\,$ следующие: $${\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}$$

Этот итерационный метод дает два корня квинтики. Остальные три корня можно получить, используя синтетическое деление , чтобы разделить два корня и получить кубическое уравнение. Из-за того, как сформулирована итерация, этот метод, кажется, всегда находит два комплексно-сопряженных корня квинтики, даже если все коэффициенты квинтики действительны и начальная догадка действительна. Этот итерационный метод основан на симметрии икосаэдра и тесно связан с методом, который Феликс Кляйн описывает в своей книге.

См. также

• Теория уравнений

Источники

• Мирзаи, Рауф (2012). Спиноры и специальные функции для решения уравнений n-й степени . Международный симпозиум по математике.
• Кляйн, Ф. (1888). Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени . Перевод Морриса, Джорджа Гэвина. Трюбнера и Ко ISBN  0-486-49528-0 .
• Кинг, Р. Брюс (1996). За пределами уравнения четвертой степени . Биркхойзер. ISBN  3-7643-3776-1 .
• Дэвис, Гарольд Т. (1962). Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения . Дувр. Глава 6, особенно §20 и §21. ISBN  0-486-60971-5 .

Внешние ссылки

• Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Преобразование Чирнхаузена» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Принесите квинтическую форму Джеррарда» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Принесите квинтическую форму» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ультрарадикал» . Математический мир .