Поворот (угол)

Революция
Революция
Единица	Вращение
Символ	оборот, r, цикл, c
Конверсии
1 оборот за...	... равно...
Базовые единицы	1

Вращение
Вращение
Другие имена	количество оборотов, количество циклов, количество оборотов, количество оборотов
Общие символы	Н
И объединились	Безразмерный
Измерение	1

Повернуть
Повернуть
	против часовой стрелки Вращения вокруг центральной точки, начиная справа, где полный поворот соответствует углу поворота в 1 оборот.
Общая информация
Единица	Плоский угол
Символ	тр, пла, оборот, цикл
Конверсии
1 тр в...	... равно...
радианы	2 π рад ; ≈ 6,283 185 307 ... рад
миллирадианы	2000 пи мрад ; ≈ 6 283 .185 307 ... мрад
степени	360°
градиенты	400 г

Поворот заключенную (символ tr или pla ) — это единица плоского угла измерения , которая представляет собой угловую меру, в полный круг в его центре. Он равен $2 π$ радиан , 360 градусам или 400 граданам . В качестве угловой единицы один оборот также соответствует одному циклу (символ cyc или c ). ^[1] или на один оборот (символ rev или r ). ^[2] Распространенными единицами измерения частоты являются циклы в секунду (cps) и обороты в минуту (об/мин). ^[а] Угловая единица витка полезна, среди прочего, в связи с электромагнитными катушками (например, трансформаторами ), вращающимися объектами и количеством намоточных кривых.

В ISQ произвольное «количество оборотов» (также известное как «число оборотов» или «количество циклов») формализуется как безразмерная величина , называемая вращением , определяемая как соотношение заданного угла и полного оборота. представлен символом Н. Он ( см. ниже Формулу .) Подразделения поворота включают полуповороты и четвертьповороты, охватывающие прямой угол и прямой угол соответственно; Также можно использовать метрические префиксы , например, сантитурны (ctr), миллитурны (mtr) и т. д.

Потому что один поворот $2\pi$ радиан, некоторые предложили представлять $2\pi$ с одной буквы. В 2010 году Майкл Хартл предложил использовать греческую букву. $\tau$ ( тау ), равный $2\pi$ и соответствует одному обороту для большей концептуальной простоты при указании углов в радианах. ^[3] Первоначально это предложение не получило широкого признания в математическом сообществе. ^[4] но константа получила более широкое распространение, ^[5] был добавлен в несколько основных языков программирования и калькуляторов.

Символы единиц

Для хода и связанных с ним концепций имеется несколько символов единиц.

единицы СИ

В Международной системе величин (ISQ) вращение (символ N ) — это физическая величина, определяемая как количество оборотов : ^[6]

N — число (не обязательно целое число) оборотов, например, вращающегося тела вокруг заданной оси. Его значение определяется:
$N={\frac {\varphi }{2\pi {\text{ rad}}}}$
где 𝜑 обозначает меру вращательного смещения .

Приведенное выше определение является частью ISQ, формализованного в международном стандарте ISO 80000-3 (Пространство и время). ^[6] и принята в Международной системе единиц (СИ). ^[7]^[8] В ISQ/SI вращение используется для получения частоты вращения ( скорости изменения вращения во времени), обозначаемой $n$ :

n={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}

Единицей частоты вращения в системе СИ является обратная секунда (с). ⁻¹). Распространенными единицами измерения частоты являются герцы (Гц), циклы в секунду (cps) и обороты в минуту (об/мин).

Замененная версия ISO 80000-3:2006 определяет «революцию» как специальное название безразмерной единицы «один». ^[б]который получил и другие специальные названия, например радиан. ^[с]Несмотря на свою размерную однородность , эти две специально названные безразмерные единицы применимы для несравнимых видов величин : поворота и угла соответственно. ^[10]«Цикл» также упоминается в ISO 80000-3 в определении периода . ^[д]

ЕС и Швейцария

Немецкий стандарт DIN 1315 (март 1974 г.) предложил для поворотов символ единицы измерения «pla» (от латинского: plenus angulus «полный угол»). ^[11]^[12] Описанный в стандарте DIN 1301-1 [ de ] (октябрь 2010 г.), так называемый Фольвинкель («полный угол») не является единицей СИ . Однако это законная единица измерения в ЕС. ^[13]^[14] и Швейцария. ^[15]

Калькуляторы

Научные калькуляторы HP 39gII и HP Prime поддерживают символ единицы «tr» для оборотов с 2011 и 2013 годов соответственно. Поддержка «tr» также была добавлена в новый RPL для HP 50g в 2016 году, а также для hp 39g+ , HP 49g+ , HP 39gs и HP 40gs в 2017 году. ^[16]^[17] Угловой режим ПОВОРОТ был предложен для WP 43S . и ^[18] но вместо этого калькулятор реализует «MUL $π$ » ( кратное $π$ ) в качестве режима и единицы измерения с 2019 года. ^[19]^[20]

Подразделения

Оборот можно разделить на 100 сантуритнов или 1000 миллитурнов, причем каждый миллитурн соответствует углу 0,36°, который также можно записать как 21′ 36″ . ^[21]^[22] Транспортир , разделенный на сантитурны, обычно называется « процентным транспортиром».

Хотя процентные транспортиры существуют с 1922 года, ^[23] термины сантитурн, миллитурн и микрооборот были введены гораздо позже британским астрономом Фредом Хойлом в 1962 году. ^[21]^[22] Некоторые измерительные приборы для артиллерийского и спутникового наблюдения имеют миллитурновую шкалу. ^[24]^[25]

двоичные дроби оборота Также используются . Моряки традиционно разделяли поворот на 32 точки компаса , которые неявно имеют угловое расстояние 1/32 оборота. Двоичная степень , также известная как двоичный радиан (или бред ), равна ⁠ 1/256 оборота ⁠ . ^[26] Двоичная степень используется в вычислениях, чтобы угол мог быть представлен с максимально возможной точностью в одном байте . Другие меры угла, используемые в вычислениях, могут быть основаны на делении одного целого витка на $2. н$ равные части для других значений $n$ . ^[27]

Предложения по использованию одной буквы для обозначения 2 π

Число $2 π$ (приблизительно 6,28) — это отношение длины окружности к ее радиусу и количество радианов за один оборот.

Значение символа $\pi$ изначально не было зафиксировано соотношение длины окружности и диаметра. В 1697 году Дэвид Грегори использовал $⁠ π / ρ ⁠$ (пи над ро) для обозначения периметра круга (т. е. окружности ), разделенного на его радиус. ^[28]^[29] Однако ранее в 1647 году Уильям Отред использовал $⁠ δ / π ⁠$ (дельта по числу пи) для отношения диаметра к периметру. Первое использование символа $π$ в его нынешнем значении (периметр, разделенный на диаметр) было в 1706 году валлийским математиком Уильямом Джонсом . ^[30]^[31]

Первое известное использование одной буквы для обозначения константы 6,28... было в Леонарда Эйлера 1727 года «Эссе, объясняющем свойства воздуха» , где она обозначалась буквой $π$ . Эйлер позже использовал букву $π$ для константы 3,14... в своих книгах «Механика» 1736 года и «Введение в анализ бесконечности» 1748 года , хотя и определялся как половина окружности круга радиуса 1 — единичный круг — а не как отношение длины окружности к диаметру. . В другом месте в «Introductio in analysin infinitorum» Эйлер вместо этого использовал букву $π$ для обозначения одной четверти окружности единичного круга, или 1,57... . В конце концов, $π$ было стандартизировано как равное 3,14..., и его использование стало широко распространенным. ^[32]^[33]

Несколько человек независимо друг от друга предложили использовать $𝜏 = 2 π$ , в том числе: ^[34]

Джозеф Линденбург ( ок. 1990)
Джон Фишер (2004)
Питер Харремоэс (2010)
Майкл Хартл (2010)

В 2001 году Робер Пале предложил использовать число радиан за оборот в качестве фундаментальной константы круга вместо $π$ , которое соответствует числу радиан за пол-оборота, чтобы сделать математику более простой и интуитивно понятной. В его предложении использовался символ «π с тремя ножками» для обозначения константы ( $\pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi$ ). ^[35]

В 2008 году Роберт П. Криз предложил идею определения новой константы как отношения длины окружности к радиусу. Это предложение поддержал Джон Хортон Конвей . Криз использовал греческую букву пси : $\psi =2\pi$ . ^[36]

В том же году Томас Колигнат предложил заглавную греческую букву тета , Θ, для обозначения 2 $π$ . ^[37]Греческая буква тета происходит от финикийской и еврейской буквы тет , 𐤈 или ט, и было замечено, что старая версия символа, означающая колесо, напоминает колесо с четырьмя спицами. ^[38] Также было предложено использовать символ колеса, teth, для обозначения значения 2 $π$ , а совсем недавно среди других древних культур была установлена связь с существованием символа колеса, солнца, круга или диска, то есть других вариаций. тэтов — как представление для 2 $π$ . ^[39]

В 2010 году Майкл Хартл предложил использовать греческую букву тау для обозначения постоянной окружности: $τ = 2 π$ . Он предложил несколько причин выбора константы, в первую очередь то, что она позволяет выражать доли оборота более непосредственно: например, ⁠ 3 / 4 ⁠ ход будет представлен как $⁠ 3 τ / 4 ⁠$ рад вместо $⁠ 3 π / 2 ⁠$ рад. Что касается выбора обозначений, он предложил две причины. Во-первых, $τ$ — это количество радиан в одном обороте , причем и $τ$ , и оборот начинаются со а / т / звука . Во-вторых, $τ$ визуально напоминает $π$ , ассоциация которого с константой круга неизбежна. ^[3] Хартла Манифест Тау ^[40] приводит множество примеров формул, которые, как утверждается, становятся более понятными, когда $используется τ$ вместо $π$ . ^[41]^[42]^[43] Например, Хартл утверждает, что замена тождества Эйлера $e яπ = -1$ по $е это = 1$ (которое Хартл также называет «тождеством Эйлера») является более фундаментальным и значимым. ^[40]

Первоначально ни одно из этих предложений не получило широкого признания со стороны математического и научного сообщества. ^[4] Однако использование $τ$ стало более распространенным. ^[5] Например:

В 2012 году образовательный сайт «Академия Хана» начал принимать ответы, выраженные через $τ$ . ^[44]
Константа $τ$ доступна в калькуляторе Google, графическом калькуляторе Desmos. ^[45] и в нескольких языках программирования, таких как Python , ^[46]^[47] Раку , ^[48] Обработка , ^[49] Nim , ^[50] Ржавчина , ^[51] GDScript , ^[52] Чертежи УЭ , ^[53] Ява , ^[54]^[55] .СЕТЬ , ^[56]^[57] и Один. ^[58]
Он также использовался по крайней мере в одной математической исследовательской статье. ^[59] автор $τ$ -промоутера Питера Харремоэса. ^[60]

В следующей таблице показано, как появляются различные тождества, когда $используется τ = 2 π$ вместо $π$ . ^[61]^[35] Более полный список см. в разделе «Список формул, включающих $π»$ .


Формула	Используя $π$	Используя $τ$	Примечания
Угол, образуемый ⁠ 1/4 ⁠ круга	${\color {orangered}{\frac {\pi }{2}}}{\text{ rad}}$	${\color {orangered}{\frac {\tau }{4}}}{\text{ rad}}$	$⁠ τ / 4 ⁠ рад = ⁠ 1/4 ⁠ поворота$
Окружность $C$ круга радиуса $r$	$C={\color {orangered}2\pi }r$	$C={\color {orangered}\tau }r$
Площадь круга	$A={\color {orangered}\pi }r^{2}$	$A={\color {orangered}{\frac {1}{2}}\tau }r^{2}$	Площадь сектора угла $θ$ равна $A = ⁠ 1 / 2 ⁠ θr 2$ .
Площадь правильного $n$ -угольника с единичным радиусом описанной окружности	$A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}2\pi }{n}}$	$A={\frac {n}{2}}\sin {\frac {\color {orangered}\tau }{n}}$
$n$ -шара и $n -сферы$ Рекуррентное соотношение объема	$V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)$ $S_{n}(r)={\color {orangered}2\pi }rV_{n-1}(r)$	$V_{n}(r)={\frac {r}{n}}S_{n-1}(r)$ $S_{n}(r)={\color {orangered}\tau }rV_{n-1}(r)$	$В 0 (р) знак равно 1$ $S 0 (р) знак равно 2$
Интегральная формула Коши	$f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}2\pi }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$	$f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}\tau }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$	$\gamma$ является границей диска, содержащего $a$ в комплексной плоскости.
Стандартное нормальное распределение	$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$	$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}\tau }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$
Приближение Стирлинга	$n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}2\pi }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$	$n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}\tau }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$
$n-$ ные корни единства	$e^{{\color {orangered}2\pi }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}+i\sin {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}$	$e^{{\color {orangered}\tau }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}+i\sin {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}$
Постоянная Планка	$h={\color {orangered}2\pi }\hbar$	$h={\color {orangered}\tau }\hbar$	$ħ$ – приведенная постоянная Планка .
Угловая частота	$\omega ={\color {orangered}2\pi }f$	$\omega ={\color {orangered}\tau }f$

Преобразование единиц измерения

Длина окружности единичного круга ( радиус которого равна единице) равна $2 π$ .

Один оборот равен $2 π$ (≈ 6,283 185 307 179 586 ) ^[62] радианы , 360 градусов или 400 градусов .

Преобразование общих углов
Повороты	радианы		Степени	Градианы
0 ход	0 рад		0°	0 ^г
⁠ 1/72 ⁠ поворота	⁠ 𝜏 / 72 ⁠ рад	⁠ $π$ / 36 ⁠ рад	5°	⁠5 + 5 / 9 ⁠ ^г
⁠ 1/24 ⁠ поворота	⁠ 𝜏 / 24 ⁠ рад	⁠ $π$ / 12 ⁠ рад	15°	⁠16 + 2 / 3 ⁠ ^г
⁠ 1/16 ⁠ поворот	⁠ 𝜏 / 16 ⁠ рад	⁠ $π$ / 8 ⁠ рад	22.5°	25 ^г
⁠ 1/12 ⁠ поворот	⁠ 𝜏 / 12 ⁠ рад	⁠ $π$ / 6 ⁠ рад	30°	⁠33 + 1 / 3 ⁠ ^г
⁠ 1/10 ⁠ поворот	⁠ 𝜏 / 10 ⁠ рад	⁠ $π$ / 5 ⁠ рад	36°	40 ^г
⁠ 1/8 ⁠ поворота	⁠ 𝜏 / 8 ⁠ рад	⁠ $π$ / 4 ⁠ рад	45°	50 ^г
⁠ 1 / 2 $π$ ⁠ поворот	1 рад		в. 57,3°	в. 63,7 ^г
⁠ 1 / 6 ⁠ поворот	⁠ 𝜏 / 6 ⁠ рад	⁠ $π$ / 3 ⁠ рад	60°	⁠66 + 2 / 3 ⁠ ^г
⁠ 1/5 ⁠ поворот	⁠ 𝜏 / 5 ⁠ рад	⁠ 2 $π$ / 5 ⁠ рад	72°	80 ^г
⁠ 1/4 ⁠ поворота	⁠ 𝜏 / 4 ⁠ рад	⁠ $π$ / 2 ⁠ рад	90°	100 ^г
⁠ 1/3 ⁠ поворота	⁠ 𝜏 / 3 ⁠ рад	⁠ 2 $π$ / 3 ⁠ рад	120°	⁠133 + 1 / 3 ⁠ ^г
⁠ 2 / 5 ⁠ поворот	⁠ 2𝜏 / 5 ⁠ рад	⁠ 4 $π$ / 5 ⁠ рад	144°	160 ^г
⁠ 1 / 2 ⁠ поворот	⁠ 𝜏 / 2 ⁠ рад	$п$ рад	180°	200 ^г
⁠ 3 / 4 ⁠ поворот	⁠ 3𝜏 / 4 ⁠ рад	⁠ 3 $π$ / 2 ⁠ рад	270°	300 ^г
1 ход	𝜏 рад	2 $π$ рад	360°	400 ^г

См. также

Ампер-виток
Герц (современный) или цикл в секунду (старый)
Угол поворота
Оборотов в минуту
Повторяющийся круг
Спат (угловая единица) — телесный угол поворота, эквивалентный $4 π$ стерадианам .
Единичный интервал
Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии
Операция по модулю
Твист (математика)

Примечания

^ Термины угловых единиц «циклы» и «обороты» также используются неоднозначно как более короткие версии соответствующих единиц частоты. ^{[ нужна ссылка ]}
^ «Специальное название «революция», символ r, для этого устройства [имя «один», символ «1»] широко используется в спецификациях вращающихся машин». ^[9]
^ «Единицами измерения величин первого измерения являются числа. В некоторых случаях этим единицам измерения даются специальные названия, например радиан...» ^[9]
^ «3-14) продолжительность периода, период: продолжительность (пункт 3‑9) одного цикла периодического события» ^[6]

Ссылки

^ Фитцпатрик, Ричард (2021). Ньютоновская динамика: Введение . ЦРК Пресс . п. 116. ИСБН 978-1-000-50953-3 . Проверено 25 апреля 2023 г.
^ Единицы измерения и символы для инженеров по электротехнике и электронике (PDF) . Лондон, Великобритания: Институт инженерии и технологий . 2016. Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 18 июля 2023 г. (1+iii+32+1 стр.)
^ Jump up to: ^а ^б Хартл, Майкл (14 марта 2019 г.) [14 марта 2010 г.]. «Манифест Тау» . Архивировано из оригинала 28 июня 2019 г. Проверено 14 сентября 2013 г.
^ Jump up to: ^а ^б «Жизни Пи ничего не угрожает – эксперты проводят холодную кампанию по замене на тау» . Телеграф Индии . 30 июня 2011 г. Архивировано из оригинала 13 июля 2013 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б Макмиллан, Роберт (13 марта 2020 г.). «Для любителей математики ничто не может испортить День числа Пи, кроме, может быть, дня Тау» . Уолл Стрит Джорнал . ISSN 0099-9660 . Проверено 21 мая 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с «ISO 80000-3:2019 Величины и единицы. Часть 3. Пространство и время» (2-е изд.). Международная организация по стандартизации . 2019 . Проверено 23 октября 2019 г. [1] (11 страниц)
^ Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0
^ Томпсон, Эмблер; Тейлор, Барри Н. (04 марта 2020 г.) [02 июля 2009 г.]. «Руководство NIST по использованию международной системы единиц, специальная публикация 811» (изд. 2008 г.). Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 17 июля 2023 г. [2]
^ Jump up to: ^а ^б «ИСО 80000-3:2006» . ИСО . 2001-08-31 . Проверено 25 апреля 2023 г.
^ «ISO 80000-1:2009(ru) Величины и единицы. Часть 1: Общие положения» . iso.org . Проверено 12 мая 2023 г.
^ Герман, Зигмар; Драт, Питер (13 марта 2013 г.) [1979]. Справочник единиц СИ: Определение, внедрение, сохранение и распространение единиц СИ, основы точной измерительной техники (на немецком языке) (1-е изд.). Фридрих Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH , перепечатка: Springer-Verlag . п. 421. ИСБН 978-3-32283606-9 . 978-3-528-08441-7, 978-3-32283606-9 . Проверено 14 августа 2015 г.
^ Курцвейл, Питер (09 марта 2013 г.) [1999]. Лексикон Vieweg Unit: формулы и термины из физики, химии и технологии (на немецком языке) (1-е изд.). Vieweg, перепечатка: Springer-Verlag . п. 403. дои : 10.1007/978-3-322-92920-4 . ISBN 978-3-32292920-4 . 978-3-322-92921-1 . Проверено 14 августа 2015 г.
^ «Директива 80/181/EEC - Директива Совета от 20 декабря 1979 г. о сближении законов государств-членов, касающихся единиц измерения, и отмене Директивы 71/354/EEC» (на немецком языке). 15 февраля 1980 г. Архивировано из оригинала 22 июня 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
^ «Директива 2009/3/EC Европейского парламента и Совета от 11 марта 2009 г., вносящая поправки в Директиву Совета 80/181/EEC о сближении законов государств-членов, касающихся единиц измерения (Текст имеет отношение к ЕЭЗ)» ( на немецком языке). 11 марта 2009 г. Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
^ «Статья 15 Единицы в виде недесятичных кратных или частей единиц СИ» . Постановление о подразделении (на швейцарском верхненемецком языке). Федеральный совет Швейцарии . 23 ноября 1994 г. 941 202. Архивировано из оригинала 10 мая 2019 г. Проверено 1 января 2013 г.
^ Лапилли, Клаудио Даниэль (11 мая 2016 г.). «RE: newRPL: Обработка юнитов» . Музей HP . Архивировано из оригинала 10 августа 2017 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Лапилли, Клаудио Даниэль (25 октября 2018 г.). «Глава 3: Единицы измерения – Доступные единицы измерения – Углы» . новоеРПЛ Руководство пользователя . Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 7 августа 2019 г.
^ Пол, Матиас Р. (12 января 2016 г.) [11 января 2016 г.]. «RE: WP-32S в 2016 году?» . Музей HP . Архивировано из оригинала 5 августа 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г. […] Я бы также хотел, чтобы был реализован режим ПОВОРОТ. Режим ПОВОРОТ работает точно так же, как DEG, RAD и GRAD (включая полный набор функций преобразования угловых единиц, как в WP 34S ), за исключением того, что полный круг не равен 360 градусам, 6,2831... рад или 400 гонам. но 1 ход. (Я […] обнаружил, что это действительно удобно в инженерии/программировании, где вам часто приходится конвертировать в другие представления единиц измерения или обратно […] Но я думаю, что это также может быть полезно в образовательных целях. […]) Наличие угла полного круга, нормализованного до 1, позволяет упростить преобразование в/из множества других угловых единиц […]
^ Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. 72, 118–119, 311. ISBN. 978-1-72950098-9 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2019 г. [3] [4] (314 страниц)
^ Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. III, 54, 97, 128, 144, 193, 195. ISBN. 978-1-72950106-1 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2019 г. [5] [6] (271 страница)
^ Jump up to: ^а ^б Хойл, Фред (1962). Чендлер, Миннесота (ред.). Астрономия (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macdonald & Co. (Publishers) Ltd. / Rathbone Books Limited. LCCN 62065943 . OCLC 7419446 . (320 страниц)
^ Jump up to: ^а ^б Кляйн, Герберт Артур (2012) [1988, 1974]. «Глава 8: Следя за временем» . Наука измерения: исторический обзор (Мир измерений: шедевры, загадки и путаницы метрологии) . Dover Books on Mathematics (исправленное переиздание оригинального издания). Dover Publications, Inc. / Courier Corporation (первоначально компания Simon & Schuster, Inc. ). п. 102. ИСБН 978-0-48614497-9 . LCCN 88-25858 . Проверено 6 августа 2019 г. (736 страниц)
^ Крокстон, Фредерик Э. (1922). «Процентный транспортир — предназначен для использования при построении круговых диаграмм или круговых диаграмм» . Журнал Американской статистической ассоциации . Короткая заметка. 18 (137): 108–109. дои : 10.1080/01621459.1922.10502455 .
^ Шиффнер, Фридрих (1965). Венль, Мария Эмма [на немецком языке] (ред.). «Определение орбит спутников». Астрономические сообщения обсерватории Урания в Вене (на немецком языке). 8 . Вена, Австрия: Volksbildungshaus Wiener Urania .
^ Хейс, Юджин Нельсон (1975) [1968]. Следопыты небес . История Смитсоновской программы спутникового слежения. Кембридж, Массачусетс, США: Academic Press / Издательство Говарда А. Дойла.
^ «Руководство программиста ooPIC — Глава 15: URCP» . Руководство и технические характеристики ooPIC — компилятор ooPIC, версия 6.0 . Саваж Инновации, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Харгривз, Шон [на польском языке] . «Углы, целые числа и арифметика по модулю» . blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Бекманн, Петр (1989) [1970]. История Пи . Издательство Barnes & Noble .
^ Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Математическая ассоциация Америки . п. 165 . ISBN 978-0-88385511-9 .
^ Джонс, Уильям (1706). Краткое содержание Palmariorum Matheseos . Лондон: Дж. Уэйл. стр. 243 , 263 . п. 263: Существуют различные другие способы определения длин или площадей определенных кривых линий или плоскостей , которые могут очень облегчить практику; как, например, в Круге Диаметр равен Окружности как от 1 до
${\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=$
$3.14159 и т. д. = π$ . Эту серию (среди других, предназначенную для той же цели и основанную на том же принципе) я получил от превосходного аналитика и моего очень уважаемого друга мистера Джона Мэчина ; и посредством него Ван Сеулена или число число, указанное в ст. 64.38. может быть проверено со всей желаемой легкостью и быстротой.
Перепечатано в Смит, Дэвид Юджин (1929). «Уильям Джонс: первое использование числа $π$ для обозначения соотношения кругов» . Справочник по математике . МакГроу-Хилл. стр. 346–347.
^ Велинг, Энн (2001). «Пи сквозь века» . veling.nl . Архивировано из оригинала 02 июля 2009 г.
^ «Пи» . Энциклопедия Бриттаника . 14 марта 2024 г. Проверено 26 марта 2024 г.
^ Эйлер, Леонард (1746). Новая теория света и цвета. Брошюры различной тематики (на латыни). с Амбр. Хауде и Джо. Чарльз Спенери, библиоп. п. 200. откуда установлено, что точка В будет отведена на данное расстояние от своего естественного положения, до которого она достигнет наибольшего расстояния, по истечении прошедшего времени t=π/м, обозначающего угол π, равный 180°, который становится cos(mt)=- 1 & B b=2α. [из чего видно, что точка B отодвинута на заданное расстояние от своего естественного положения, и максимального расстояния она достигнет по истечении прошедшего времени t=π/m, π обозначает угол 180°, который становится cos( mt)=- 1 & B b=2α.]
^ судгилакмоэ; Хартл, Майкл (28 июня 2023 г.). Манифест Тау - С Майклом Хартлом (видео на YouTube). Информация показана в 18:35 . Проверено 24 июля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б Пале, Робер (2001). «Пи ошибается» (PDF) . Математический интеллект . 23 (3). Нью-Йорк, США: Springer-Verlag : 7–8. дои : 10.1007/bf03026846 . S2CID 120965049 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Криз, Роберт (1 февраля 2008 г.). «Постоянные неудачи» . Мир физики . Институт физики . Проверено 3 августа 2024 г.
^ Круто, Томас «Колиньятус» (18 июля 2008 г.) [08 апреля 2008 г., 06 мая 2008 г.]. «Перенастройка тригонометрии. Новый взгляд на тригонометрию. Измерение углов в единицах измерения «метр вокруг» и использование функций единичного радиуса Xur и Yur» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 июля 2023 г. Проверено 18 июля 2023 г. (18 страниц)
^ Манн, Стив ; Янзен, Райан Э.; Али, Мир Аднан; Скурбутакос, Пит; Гулерия, Нитин (22–24 октября 2014 г.). «Интегральная кинематика (интегралы времени от расстояния, энергии и т. д.) и интегральная кинезиология» . Материалы IEEE GEM 2014 года . Торонто, Онтарио, Канада: 627–629. S2CID 6462220 . Проверено 18 июля 2023 г.
^ Манн, Стив ; Чен, Хунъюй; Эйлуорд, Грэм; Йорритсма, Меган; Манн, Кристина; Дефаз Поведа, Диего Давид; Пирс, Кайден; Лам, Дерек; Лестница, Джереми; Эрмандес, Джесси; Ли, Цюши; Сян, И Синь; Канаан, Жорж (июнь 2019 г.). «Глаз как камера: датчики, целостность и доверие» . 5-й семинар ACM по портативным системам и приложениям (основной доклад): 1–2. дои : 10.1145/3325424.3330210 . S2CID 189926593 . Проверено 18 июля 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б Хартл, Майкл (14 марта 2010 г.). «Манифест Тау» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Арон, Джейкоб (08 января 2011 г.). «Майкл Хартл: Пришло время убить число пи». Новый учёный . Интервью. 209 (2794): 23. Бибкод : 2011NewSc.209...23A . дои : 10.1016/S0262-4079(11)60036-5 .
^ Ландау, Элизабет (14 марта 2011 г.). «В День Пи «пи» подвергается нападкам?» . cnn.com . CNN . Архивировано из оригинала 19 декабря 2018 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ Варфоломей, Рэндин Чарльз (25 июня 2014 г.). «Давайте использовать Тау – это проще, чем число Пи. Растущее движение утверждает, что уничтожение числа Пи сделает математику проще, легче и даже красивее» . Научный американец . Архивировано из оригинала 18 июня 2019 г. Проверено 20 марта 2015 г.
^ «С Днем Тау!» . blog.khanacademy.org . 28 июня 2012 г. Архивировано из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 19 декабря 2020 г.
^ «Поддерживаемые функции» . help.desmos.com . Архивировано из оригинала 26 марта 2023 г. Проверено 21 марта 2023 г.
^ Коглан, Ник (25 февраля 2017 г.). «PEP 628 — Добавить math.tau» . Python.org . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ «математика — Математические функции» . Документация Python 3.7.0 . Архивировано из оригинала 29 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ «Термины Perl 6» . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ «ТАУ» . Обработка . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ «математика» . Ним . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
^ "std::f64::consts::TAU — Rust" . doc.rust-lang.org . Архивировано из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 9 октября 2020 г.
^ «Константы @GDScript — документация Godot Engine (стабильная) на английском языке» . Документы Годо .
^ «Получить TAU — документацию Unreal Engine 5.2» . Документация по Unreal Engine .
^ Дарси, Джо. «JDK-8283136: Добавьте константу для тау в Math и StrictMath» . bugs.openjdk.org .
^ «Урок математики» . Документация Java 19 .
^ Джон-Гонконг. «Добавить запрос на извлечение Math.Tau № 37517 · dotnet/Runtime» . Гитхаб .
^ «Математика.Поле Тау» . Справочная документация по .NET .
^ «Математика пакета — pkg.odin-lang.org» . Документация Одина .
^ Харремоэс, Питер (2017). «Оценки хвостовых вероятностей для отрицательных биномиальных распределений». Кибернетика . 52 (6): 943–966. arXiv : 1601.05179 . дои : 10.14736/kyb-2016-6-0943 . S2CID 119126029 .
^ Харремоэс, Питер (17 ноября 2018 г.). «Постоянная Аль-Каши τ» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 20 сентября 2018 г.
^ Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Математические горизонты . 19 (4): 34. doi : 10.4169/mathhorizons.19.4.34 . S2CID 126179022 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 г.
^ Последовательность OEIS : A019692

Внешние ссылки

Манифест Тау

[3] Термины угловых единиц «циклы» и «обороты» также используются неоднозначно как более короткие версии соответствующих единиц частоты. ^{[ нужна ссылка ]}

[11] «Специальное название «революция», символ r, для этого устройства [имя «один», символ «1»] широко используется в спецификациях вращающихся машин». ^[9]

[12] «Единицами измерения величин первого измерения являются числа. В некоторых случаях этим единицам измерения даются специальные названия, например радиан...» ^[9]

[14] «3-14) продолжительность периода, период: продолжительность (пункт 3‑9) одного цикла периодического события» ^[6]

[Fitzpatrick_2021-1] Фитцпатрик, Ричард (2021). Ньютоновская динамика: Введение . ЦРК Пресс . п. 116. ИСБН 978-1-000-50953-3 . Проверено 25 апреля 2023 г.

[IET_2016-2] Единицы измерения и символы для инженеров по электротехнике и электронике (PDF) . Лондон, Великобритания: Институт инженерии и технологий . 2016. Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 18 июля 2023 г. (1+iii+32+1 стр.)

[Hartl_2019-4] Jump up to: ^а ^б Хартл, Майкл (14 марта 2019 г.) [14 марта 2010 г.]. «Манифест Тау» . Архивировано из оригинала 28 июня 2019 г. Проверено 14 сентября 2013 г.

[Telegraph_2011-5] Jump up to: ^а ^б «Жизни Пи ничего не угрожает – эксперты проводят холодную кампанию по замене на тау» . Телеграф Индии . 30 июня 2011 г. Архивировано из оригинала 13 июля 2013 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[McMillan_2020-6] Jump up to: ^а ^б Макмиллан, Роберт (13 марта 2020 г.). «Для любителей математики ничто не может испортить День числа Пи, кроме, может быть, дня Тау» . Уолл Стрит Джорнал . ISSN 0099-9660 . Проверено 21 мая 2020 г.

[ISO80000-3_2019-7] Jump up to: ^а ^б ^с «ISO 80000-3:2019 Величины и единицы. Часть 3. Пространство и время» (2-е изд.). Международная организация по стандартизации . 2019 . Проверено 23 октября 2019 г. [1] (11 страниц)

[SIBrochure_9-8] Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0

[NISTGuide_2009-9] Томпсон, Эмблер; Тейлор, Барри Н. (04 марта 2020 г.) [02 июля 2009 г.]. «Руководство NIST по использованию международной системы единиц, специальная публикация 811» (изд. 2008 г.). Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 17 июля 2023 г. [2]

[ISO_80000-3:2006-10] Jump up to: ^а ^б «ИСО 80000-3:2006» . ИСО . 2001-08-31 . Проверено 25 апреля 2023 г.

[ISO_80000-1-13] «ISO 80000-1:2009(ru) Величины и единицы. Часть 1: Общие положения» . iso.org . Проверено 12 мая 2023 г.

[German_2013-15] Герман, Зигмар; Драт, Питер (13 марта 2013 г.) [1979]. Справочник единиц СИ: Определение, внедрение, сохранение и распространение единиц СИ, основы точной измерительной техники (на немецком языке) (1-е изд.). Фридрих Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH , перепечатка: Springer-Verlag . п. 421. ИСБН 978-3-32283606-9 . 978-3-528-08441-7, 978-3-32283606-9 . Проверено 14 августа 2015 г.

[Kurzweil_1999-16] Курцвейл, Питер (09 марта 2013 г.) [1999]. Лексикон Vieweg Unit: формулы и термины из физики, химии и технологии (на немецком языке) (1-е изд.). Vieweg, перепечатка: Springer-Verlag . п. 403. дои : 10.1007/978-3-322-92920-4 . ISBN 978-3-32292920-4 . 978-3-322-92921-1 . Проверено 14 августа 2015 г.

[EWG_1980-17] «Директива 80/181/EEC - Директива Совета от 20 декабря 1979 г. о сближении законов государств-членов, касающихся единиц измерения, и отмене Директивы 71/354/EEC» (на немецком языке). 15 февраля 1980 г. Архивировано из оригинала 22 июня 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.

[EG_2009-18] «Директива 2009/3/EC Европейского парламента и Совета от 11 марта 2009 г., вносящая поправки в Директиву Совета 80/181/EEC о сближении законов государств-членов, касающихся единиц измерения (Текст имеет отношение к ЕЭЗ)» ( на немецком языке). 11 марта 2009 г. Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.

[Einheitenverordnung_1994-19] «Статья 15 Единицы в виде недесятичных кратных или частей единиц СИ» . Постановление о подразделении (на швейцарском верхненемецком языке). Федеральный совет Швейцарии . 23 ноября 1994 г. 941 202. Архивировано из оригинала 10 мая 2019 г. Проверено 1 января 2013 г.

[Lapilli_2016-20] Лапилли, Клаудио Даниэль (11 мая 2016 г.). «RE: newRPL: Обработка юнитов» . Музей HP . Архивировано из оригинала 10 августа 2017 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Lapilli_2018-21] Лапилли, Клаудио Даниэль (25 октября 2018 г.). «Глава 3: Единицы измерения – Доступные единицы измерения – Углы» . новоеРПЛ Руководство пользователя . Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 7 августа 2019 г.

[Paul_2016-22] Пол, Матиас Р. (12 января 2016 г.) [11 января 2016 г.]. «RE: WP-32S в 2016 году?» . Музей HP . Архивировано из оригинала 5 августа 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г. […] Я бы также хотел, чтобы был реализован режим ПОВОРОТ. Режим ПОВОРОТ работает точно так же, как DEG, RAD и GRAD (включая полный набор функций преобразования угловых единиц, как в WP 34S ), за исключением того, что полный круг не равен 360 градусам, 6,2831... рад или 400 гонам. но 1 ход. (Я […] обнаружил, что это действительно удобно в инженерии/программировании, где вам часто приходится конвертировать в другие представления единиц измерения или обратно […] Но я думаю, что это также может быть полезно в образовательных целях. […]) Наличие угла полного круга, нормализованного до 1, позволяет упростить преобразование в/из множества других угловых единиц […]

[Bonin_2019_OG-23] Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. 72, 118–119, 311. ISBN. 978-1-72950098-9 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2019 г. [3] [4] (314 страниц)

[Bonin_2019_RG-24] Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. III, 54, 97, 128, 144, 193, 195. ISBN. 978-1-72950106-1 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 5 августа 2019 г. [5] [6] (271 страница)

[Hoyle_1962-25] Jump up to: ^а ^б Хойл, Фред (1962). Чендлер, Миннесота (ред.). Астрономия (1-е изд.). Лондон, Великобритания: Macdonald & Co. (Publishers) Ltd. / Rathbone Books Limited. LCCN 62065943 . OCLC 7419446 . (320 страниц)

[Klein_2012-26] Jump up to: ^а ^б Кляйн, Герберт Артур (2012) [1988, 1974]. «Глава 8: Следя за временем» . Наука измерения: исторический обзор (Мир измерений: шедевры, загадки и путаницы метрологии) . Dover Books on Mathematics (исправленное переиздание оригинального издания). Dover Publications, Inc. / Courier Corporation (первоначально компания Simon & Schuster, Inc. ). п. 102. ИСБН 978-0-48614497-9 . LCCN 88-25858 . Проверено 6 августа 2019 г. (736 страниц)

[Croxton_1992-27] Крокстон, Фредерик Э. (1922). «Процентный транспортир — предназначен для использования при построении круговых диаграмм или круговых диаграмм» . Журнал Американской статистической ассоциации . Короткая заметка. 18 (137): 108–109. дои : 10.1080/01621459.1922.10502455 .

[Schiffner_1965-28] Шиффнер, Фридрих (1965). Венль, Мария Эмма [на немецком языке] (ред.). «Определение орбит спутников». Астрономические сообщения обсерватории Урания в Вене (на немецком языке). 8 . Вена, Австрия: Volksbildungshaus Wiener Urania .

[Hayes_1975-29] Хейс, Юджин Нельсон (1975) [1968]. Следопыты небес . История Смитсоновской программы спутникового слежения. Кембридж, Массачусетс, США: Academic Press / Издательство Говарда А. Дойла.

[Savage_2007-30] «Руководство программиста ooPIC — Глава 15: URCP» . Руководство и технические характеристики ooPIC — компилятор ooPIC, версия 6.0 . Саваж Инновации, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Hargreaves_2010-31] Харгривз, Шон [на польском языке] . «Углы, целые числа и арифметика по модулю» . blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Beckmann_1989-32] Бекманн, Петр (1989) [1970]. История Пи . Издательство Barnes & Noble .

[Schwartzman_1994-33] Шварцман, Стивен (1994). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Математическая ассоциация Америки . п. 165 . ISBN 978-0-88385511-9 .

[jones-34] Джонс, Уильям (1706). Краткое содержание Palmariorum Matheseos . Лондон: Дж. Уэйл. стр. 243 , 263 . п. 263: Существуют различные другие способы определения длин или площадей определенных кривых линий или плоскостей , которые могут очень облегчить практику; как, например, в Круге Диаметр равен Окружности как от 1 до
${\overline {{\tfrac {16}{5}}-{\tfrac {4}{239}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{3}}}-{\tfrac {4}{239^{3}}}}}+{\tfrac {1}{5}}{\overline {{\tfrac {16}{5^{5}}}-{\tfrac {4}{239^{5}}}}}-,\,\&c.=$
$3.14159 и т. д. = π$ . Эту серию (среди других, предназначенную для той же цели и основанную на том же принципе) я получил от превосходного аналитика и моего очень уважаемого друга мистера Джона Мэчина ; и посредством него Ван Сеулена или число число, указанное в ст. 64.38. может быть проверено со всей желаемой легкостью и быстротой.
Перепечатано в Смит, Дэвид Юджин (1929). «Уильям Джонс: первое использование числа $π$ для обозначения соотношения кругов» . Справочник по математике . МакГроу-Хилл. стр. 346–347.

[Veling_2001-35] Велинг, Энн (2001). «Пи сквозь века» . veling.nl . Архивировано из оригинала 02 июля 2009 г.

[:0-36] «Пи» . Энциклопедия Бриттаника . 14 марта 2024 г. Проверено 26 марта 2024 г.

[Euler_1746-37] Эйлер, Леонард (1746). Новая теория света и цвета. Брошюры различной тематики (на латыни). с Амбр. Хауде и Джо. Чарльз Спенери, библиоп. п. 200. откуда установлено, что точка В будет отведена на данное расстояние от своего естественного положения, до которого она достигнет наибольшего расстояния, по истечении прошедшего времени t=π/м, обозначающего угол π, равный 180°, который становится cos(mt)=- 1 & B b=2α. [из чего видно, что точка B отодвинута на заданное расстояние от своего естественного положения, и максимального расстояния она достигнет по истечении прошедшего времени t=π/m, π обозначает угол 180°, который становится cos( mt)=- 1 & B b=2α.]

[38] судгилакмоэ; Хартл, Майкл (28 июня 2023 г.). Манифест Тау - С Майклом Хартлом (видео на YouTube). Информация показана в 18:35 . Проверено 24 июля 2024 г.

[Palais_2001-39] Jump up to: ^а ^б Пале, Робер (2001). «Пи ошибается» (PDF) . Математический интеллект . 23 (3). Нью-Йорк, США: Springer-Verlag : 7–8. дои : 10.1007/bf03026846 . S2CID 120965049 . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[40] Криз, Роберт (1 февраля 2008 г.). «Постоянные неудачи» . Мир физики . Институт физики . Проверено 3 августа 2024 г.

[Cool_2008-41] Круто, Томас «Колиньятус» (18 июля 2008 г.) [08 апреля 2008 г., 06 мая 2008 г.]. «Перенастройка тригонометрии. Новый взгляд на тригонометрию. Измерение углов в единицах измерения «метр вокруг» и использование функций единичного радиуса Xur и Yur» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 июля 2023 г. Проверено 18 июля 2023 г. (18 страниц)

[Mann-Janzen-Ali-Scourboutakos-Guleria_2015-42] Манн, Стив ; Янзен, Райан Э.; Али, Мир Аднан; Скурбутакос, Пит; Гулерия, Нитин (22–24 октября 2014 г.). «Интегральная кинематика (интегралы времени от расстояния, энергии и т. д.) и интегральная кинезиология» . Материалы IEEE GEM 2014 года . Торонто, Онтарио, Канада: 627–629. S2CID 6462220 . Проверено 18 июля 2023 г.

[Mann-Chen-Aylward-Jorritsma-Mann-Defaz-Pierce-Lam-Stairs-Hermandez-Li-Xiang-Kanaan_2019-43] Манн, Стив ; Чен, Хунъюй; Эйлуорд, Грэм; Йорритсма, Меган; Манн, Кристина; Дефаз Поведа, Диего Давид; Пирс, Кайден; Лам, Дерек; Лестница, Джереми; Эрмандес, Джесси; Ли, Цюши; Сян, И Синь; Канаан, Жорж (июнь 2019 г.). «Глаз как камера: датчики, целостность и доверие» . 5-й семинар ACM по портативным системам и приложениям (основной доклад): 1–2. дои : 10.1145/3325424.3330210 . S2CID 189926593 . Проверено 18 июля 2023 г.

[Hartl_2010-44] Jump up to: ^а ^б Хартл, Майкл (14 марта 2010 г.). «Манифест Тау» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Aron_2011-45] Арон, Джейкоб (08 января 2011 г.). «Майкл Хартл: Пришло время убить число пи». Новый учёный . Интервью. 209 (2794): 23. Бибкод : 2011NewSc.209...23A . дои : 10.1016/S0262-4079(11)60036-5 .

[Landau_2011-46] Ландау, Элизабет (14 марта 2011 г.). «В День Пи «пи» подвергается нападкам?» . cnn.com . CNN . Архивировано из оригинала 19 декабря 2018 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Bartholomew_2014-47] Варфоломей, Рэндин Чарльз (25 июня 2014 г.). «Давайте использовать Тау – это проще, чем число Пи. Растущее движение утверждает, что уничтожение числа Пи сделает математику проще, легче и даже красивее» . Научный американец . Архивировано из оригинала 18 июня 2019 г. Проверено 20 марта 2015 г.

[khanacademy-48] «С Днем Тау!» . blog.khanacademy.org . 28 июня 2012 г. Архивировано из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 19 декабря 2020 г.

[Desmos-49] «Поддерживаемые функции» . help.desmos.com . Архивировано из оригинала 26 марта 2023 г. Проверено 21 марта 2023 г.

[Python_2017-50] Коглан, Ник (25 февраля 2017 г.). «PEP 628 — Добавить math.tau» . Python.org . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Python_370-51] «математика — Математические функции» . Документация Python 3.7.0 . Архивировано из оригинала 29 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Perl6-52] «Термины Perl 6» . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Processing-53] «ТАУ» . Обработка . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Nim-54] «математика» . Ним . Архивировано из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.

[Rust-55] "std::f64::consts::TAU — Rust" . doc.rust-lang.org . Архивировано из оригинала 18 июля 2023 г. Проверено 9 октября 2020 г.

[GDScript-56] «Константы @GDScript — документация Godot Engine (стабильная) на английском языке» . Документы Годо .

[UnrealBlueprintTAU-57] «Получить TAU — документацию Unreal Engine 5.2» . Документация по Unreal Engine .

[Java-58] Дарси, Джо. «JDK-8283136: Добавьте константу для тау в Math и StrictMath» . bugs.openjdk.org .

[Java-docs-59] «Урок математики» . Документация Java 19 .

[dotnet-60] Джон-Гонконг. «Добавить запрос на извлечение Math.Tau № 37517 · dotnet/Runtime» . Гитхаб .

[dotnet-docs-61] «Математика.Поле Тау» . Справочная документация по .NET .

[Odin-docs-62] «Математика пакета — pkg.odin-lang.org» . Документация Одина .

[Harremoes_2017-63] Харремоэс, Питер (2017). «Оценки хвостовых вероятностей для отрицательных биномиальных распределений». Кибернетика . 52 (6): 943–966. arXiv : 1601.05179 . дои : 10.14736/kyb-2016-6-0943 . S2CID 119126029 .

[Harremoes_2018-64] Харремоэс, Питер (17 ноября 2018 г.). «Постоянная Аль-Каши τ» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июля 2019 г. Проверено 20 сентября 2018 г.

[Abbott_2012-65] Эбботт, Стивен (апрель 2012 г.). «Мое обращение в тауизм» (PDF) . Математические горизонты . 19 (4): 34. doi : 10.4169/mathhorizons.19.4.34 . S2CID 126179022 . Архивировано (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 г.

[OEIS2C_A019692-66] Последовательность OEIS : A019692

[1]

[2]

[а]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[б]

[с]

[10]

[д]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[9]