Уравнение Эйлера – Трикоми

В математике уравнение Эйлера-Трикоми представляет собой линейное уравнение в частных производных, полезное при изучении трансзвукового потока . Он назван в честь математиков Леонарда Эйлера и Франческо Джакомо Трикоми .

$u_{xx}+xu_{yy}=0.\,$

Он эллиптический в полуплоскости x > 0, параболический в x = 0 и гиперболический в полуплоскости x < 0.Его характеристики ​

$x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,$

которые имеют интеграл

$y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,$

где C — константа интегрирования . Таким образом, характеристики включают два семейства полукубических парабол с точками возврата на линии x = 0, кривые лежат на правой стороне оси y .

Частные решения

Общее выражение для частных решений уравнений Эйлера – Трикоми:

$u_{k,p,q}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\frac {x^{m_{i}}y^{n_{i}}}{c_{i}}}\,$

где

$k\in \mathbb {N}$

$p,q\in \{0,1\}$

$m_{i}=3i+p$

$n_{i}=2(k-i)+q$

$c_{i}=m_{i}!!!\cdot (m_{i}-1)!!!\cdot n_{i}!!\cdot (n_{i}-1)!!$

Их можно линейно комбинировать для формирования дополнительных решений, таких как:

для к = 0 :

$u=A+Bx+Cy+Dxy\,$

для к = 1 :

$u=A({\tfrac {1}{2}}y^{2}-{\tfrac {1}{6}}x^{3})+B({\tfrac {1}{2}}xy^{2}-{\tfrac {1}{12}}x^{4})+C({\tfrac {1}{6}}y^{3}-{\tfrac {1}{6}}x^{3}y)+D({\tfrac {1}{6}}xy^{3}-{\tfrac {1}{12}}x^{4}y)\,$

и т. д.

Уравнение Эйлера–Трикоми является предельной формой уравнения Чаплыгина .

См. также

• Уравнение Бюргерса
• Уравнение Чаплыгина

Библиография

• А. Д. Полянин, Справочник по линейным дифференциальным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Chapman & Hall/CRC Press, 2002.

Внешние ссылки

• Трикоми и обобщенные уравнения Трикоми в EqWorld: мир математических уравнений.