Перемежающиеся шестиугольные соты для плитки

Перемежающиеся шестиугольные соты для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый Полурегулярные соты
Символы Шлефли	ч{6,3,3} с{3,6,3} 2с{6,3,6} 2с{6,3 [3] } с{3 [3,3] }
Диаграммы Кокстера	↔ ↔ ↔ ↔
Клетки	{3,3} {3 [3] }
Лица	треугольник {3}
Вершинная фигура	усеченный тетраэдр
Группы Кокстера	${\overline {P}}_{3}$, [3,3 [3] ] 1/2 ${\overline {V}}_{3}$, [6,3,3] 1/2 ${\overline {Y}}_{3}$, [3,6,3] 1/2 ${\overline {Z}}_{3}$, [6,3,6] 1/2 ${\overline {VP}}_{3}$, [6,3 [3] ] 1/2 ${\overline {PP}}_{3}$, [3 [3,3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный

В трехмерной гиперболической геометрии чередующиеся шестиугольные соты , h{6,3,3}, или , представляет собой полуправильную мозаику с тетраэдрами и треугольными ячейками мозаики, расположенными в виде октаэдра вершинной фигуры . Он назван в честь своей конструкции, представляющей собой разновидность шестиугольной черепичной соты .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Симметричные конструкции

Отношения подгрупп

Он имеет пять чередующихся конструкций из отражающих групп Кокстера, все с четырьмя зеркалами, и только первое из них является правильным: [6,3,3], [3,6,3], [6,3,6], [6,3 ^[3] ] и [3 ^[3,3] ] , имеющие в 1, 4, 6, 12 и 24 раза большие фундаментальные домены соответственно . В разметках подгрупп нотации Коксетера они связаны следующим образом: [6,(3,3) ^* ] (удалить 3 зеркала, индекс 24 подгруппы); [3,6,3 ^* ] или [3 ^* ,6,3] (удалить 2 зеркала, индекс 6 подгруппы); [1 ⁺ ,6,3,6,1 ⁺ ] (удалить два ортогональных зеркала, подгруппа индекса 4); все они изоморфны [3 ^[3,3] ]. Кольцевые диаграммы Кокстера: , , , и , представляющие разные типы (цвета) шестиугольных мозаик в конструкции Витгофа .

Связанные соты

Перемежающиеся соты шестиугольной черепицы имеют три родственные формы: соты кантической шестиугольной черепицы , ; рунические шестиугольные соты для плитки , ; и рунические шестиугольные соты черепицы , .

Cantic шестиугольная плитка в виде сот

Cantic шестиугольная плитка в виде сот
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	ч 2 {6,3,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	г{3,3} т{3,3} ч 2 {6,3}
Лица	треугольник {3} шестигранник {6}
Вершинная фигура	клин
Группы Кокстера	${\overline {P}}_{3}$, [3,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантическая шестиугольная черепица-соты , h ₂ {6,3,3}, или , состоит из октаэдра , усеченного тетраэдра и тригексагональных граней мозаики с клина фигурой вершины .

Шестиугольные соты Runcic для плитки

Шестиугольные соты Runcic для плитки
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	ч 3 {6,3,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	{3,3} {}х{3} рр{3,3} {3 [3] }
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	треугольный купол
Группы Кокстера	${\overline {P}}_{3}$, [3,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Руничная шестиугольная черепица-соты , h ₃ {6,3,3}, или , имеет тетраэдр , треугольную призму , кубооктаэдр и треугольные грани мозаики с купола треугольной фигурой вершины .

Рунчикантическая шестиугольная плитка в виде сот

Рунчикантическая шестиугольная плитка в виде сот
Тип	Паракомпактный однородный сотовый
Символы Шлефли	ч 2,3 {6,3,3}
Диаграммы Кокстера	↔
Клетки	т{3,3} {}х{3} тр{3,3} ч 2 {6,3}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6}
Вершинная фигура	прямоугольная пирамида
Группы Кокстера	${\overline {P}}_{3}$, [3,3 [3] ]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Соты шестиугольной черепицы рунические , h _2,3 {6,3,3}, или , имеет усеченный тетраэдр , треугольную призму , усеченный октаэдр и тригексагональные грани мозаики с прямоугольной пирамиды фигурой вершины .

См. также

• Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
• Регулярные мозаики гиперболического трехмерного пространства
• Паракомпактные однородные соты
• Полурегулярные соты
• Шестиугольная сотовая плитка

Ссылки

• Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN   0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
• Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN   99-35678 , ISBN   0-486-40919-8 (Глава 10, Обычные соты в гиперболическом пространстве , архивировано 10 июня 2016 г. в Wayback Machine ) Таблица III
• Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN   0-8247-0709-5 (главы 16–17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
• Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Размер гиперболического симплекса Кокстера , Группы преобразований (1999), Том 4, Выпуск 4, стр. 329–353 [1] [2]
• Н. В. Джонсон, Р. Келлерхалс , Дж. Г. Рэтклифф, С. Т. Чанц, Классы соизмеримости гиперболических групп Кокстера , (2002) H ³ : стр130. [3]