Рациональная функция

Для использования в теории автоматов см. Преобразователь конечного состояния . Чтобы узнать об использовании в теории моноида, см. Рациональную функцию (моноид) .

В математике рациональная функция — это любая функция , которая может быть определена рациональной дробью , которая представляет собой алгебраическую дробь , у которой и числитель , и знаменатель являются полиномами . Коэффициенты рациональными полиномов не обязательно должны быть числами ; можно взять в любом поле K. их В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной над K. дроби Значения переменных могут быть взяты из любого поля L содержащего K. , Тогда областью определения функции является множество значений переменных, у которых знаменатель не равен нулю, а кодоменом является L .

Множество рациональных функций над полем — поле, поле частных кольца над полиномиальных функций К К. это

Определения

Функция $f$ называется рациональной функцией, если ее можно записать в виде

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

где $P$ и $Q$ являются полиномиальными функциями $x$ и $Q$ не является нулевой функцией . Домен ​ ​ $f$ представляет собой совокупность всех значений $x$ для которого знаменатель $Q(x)$ не равен нулю.

Однако, если $\textstyle P$ и $\textstyle Q$ имеют непостоянный полиномиальный наибольший общий делитель $\textstyle R$, затем установка $\textstyle P=P_{1}R$ и $\textstyle Q=Q_{1}R$ производит рациональную функцию

$f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},$

который может иметь больший домен, чем $f$, и равен $f$ на территории $f.$ Это обычное использование для идентификации $f$ и $f_{1}$, то есть расширить «по непрерывности» область $f$ к тому из $f_{1}.$ Действительно, можно определить рациональную дробь как класс эквивалентности дробей многочленов, где две дроби $\textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}$ и $\textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}$ считаются эквивалентными, если $A(x)D(x)=B(x)C(x)$. В этом случае $\textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}$ эквивалентно $\textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.$

– Собственно рациональная функция это рациональная функция, у степень которой $P(x)$ меньше, чем степень $Q(x)$ и оба являются действительными многочленами , названными по аналогии с правильной дробью в $\mathbb {Q} .$

Степень

Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции.

Чаще всего степень рациональной функции является максимальной из степеней составляющих ее многочленов P и Q , когда дробь сводится к наименьшим членам . Если степень f равна d , то уравнение

$f(z)=w\,$

имеет d различных решений по z, за исключением определенных значений w , называемых критическими значениями , когда два или более решений совпадают или где какое-то решение отклоняется на бесконечности (то есть, когда степень уравнения уменьшается после очистки знаменателя ).

В случае комплексных коэффициентов рациональная функция первой степени является преобразованием Мёбиуса .

Степень рациональной функции не является степенью , графика . определенной выше: это максимум степени числителя и единицы плюс степень знаменателя

В некоторых контекстах, например, в асимптотическом анализе , степень рациональной функции представляет собой разницу между степенями числителя и знаменателя.

В сетевом синтезе и сетевом анализе рациональную функцию второй степени (то есть отношение двух многочленов степени не выше двух) часто называют биквадратичная функция .

Примеры

Примеры рациональных функций

Рациональная функция степени 3, имеющая график степени 3: $y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

Рациональная функция степени 2, имеющая график степени 3: $y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

Рациональная функция

$f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

не определяется в

$x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.$

Это асимптотически ${\tfrac {x}{2}}$ как $x\to \infty .$

Рациональная функция

$f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$

определяется для всех действительных чисел , но не для всех комплексных чисел , поскольку если бы x был квадратным корнем из $-1$ (т.е. мнимая единица или ее отрицательная), то формальная оценка приведет к делению на ноль:

$f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},$

который не определен.

, Постоянная функция такая как f ( x ) = π, является рациональной функцией, поскольку константы являются полиномами. Сама функция рациональна, хотя f ( x x ) иррационально для всех . значение

Любая полиномиальная функция $f(x)=P(x)$ является рациональной функцией с $Q(x)=1.$ Функция, которую нельзя записать в такой форме, например $f(x)=\sin(x),$ не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональный» обычно не используется для обозначения функций.

Каждый полином Лорана можно записать как рациональную функцию, тогда как обратное не обязательно верно, т. е. кольцо полиномов Лорана является подкольцом рациональных функций.

Рациональная функция $f(x)={\tfrac {x}{x}}$ равен 1 для всех x, кроме 0, где имеется устранимая особенность . Сумма, произведение или частное (за исключением деления на нулевой полином) двух рациональных функций само по себе является рациональной функцией. Однако процесс приведения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если не принять меры. Использование определения рациональных функций как классов эквивалентности позволяет обойти эту проблему, поскольку x / x эквивалентно 1/1.

Серия Тейлора

Коэффициенты ряда Тейлора любой рациональной функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению , которое можно найти, приравнивая рациональную функцию к ряду Тейлора с неопределенными коэффициентами и собирая подобные члены после очистки знаменателя.

Например,

${\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

Умножив на знаменатель и распределив,

$1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$

$1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

После корректировки индексов сумм, чтобы получить одинаковые степени x , мы получаем

$1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.$

Объединение подобных членов дает

$1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.$

Поскольку это справедливо для всех x в радиусе сходимости исходного ряда Тейлора, мы можем выполнить вычисления следующим образом. Поскольку постоянный член слева должен равняться постоянному члену справа, отсюда следует, что

$a_{0}={\frac {1}{2}}.$

нет степеней x Тогда, поскольку слева , все коэффициенты справа должны быть равны нулю, откуда следует, что

$a_{1}={\frac {1}{4}}$

$a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.$

И наоборот, любая последовательность, удовлетворяющая линейной рекуррентности, определяет рациональную функцию, когда она используется в качестве коэффициентов ряда Тейлора. Это полезно при решении таких рекуррентных задач, поскольку, используя разложение в частные дроби , мы можем записать любую правильную рациональную функцию как сумму факторов вида 1 / ( ax + b ) и разложить их как геометрические ряды , давая явную формулу для Тейлора коэффициенты; это метод генерации функций .

алгебра и

В абстрактной алгебре понятие многочлена расширяется и включает формальные выражения, в которых коэффициенты многочлена могут быть взяты из любого поля . В этой ситуации, учитывая поле F и некоторое неопределенное X , рациональное выражение (также известное как рациональная дробь или, в алгебраической геометрии , рациональная функция ) является любым элементом поля частных F кольца полиномов [ X ] . Любое рациональное выражение можно записать как частное двух многочленов P / Q с Q ≠ 0, хотя это представление не уникально. P / Q эквивалентно R / S для полиномов P , Q , R и S , когда PS = QR . Однако, поскольку F [ X ] является уникальной областью факторизации , существует уникальное представление для любого рационального выражения P / Q с полиномами P и Q самой низкой степени и Q , выбранным как монический . Это похоже на то, как дробь целых чисел всегда можно записать однозначно, в самых простых терминах, путем исключения общих множителей.

Поле рациональных выражений обозначается F ( X ). Говорят, что это поле порождено (как поле) над ( трансцендентным элементом ) X , поскольку F ( X ) не содержит какого-либо собственного подполя, содержащего как F , так и элемент X. F

Сложные рациональные функции

• Наборы Джулии для рациональных карт
• 
  ${\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}$
• 
  ${\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}$
• 
  ${\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}$
• 
  ${\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}$

В комплексном анализе рациональная функция

$f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$

- это отношение двух многочленов с комплексными коэффициентами, где Q не является нулевым многочленом, а P и Q не имеют общего множителя (это позволяет избежать принятия f неопределенного значения 0/0).

Область определения f — это набор комплексных чисел таких, что $Q(z)\neq 0$.Любую рациональную функцию можно естественным образом расширить до функции, областью определения и диапазоном которой является вся сфера Римана ( комплексная проективная линия ).

Рациональные функции являются характерными примерами мероморфных функций .

Итерация рациональных функций (карт) на сфере Римана создает дискретные динамические системы .

Понятие рациональной функции на алгебраическом многообразии

Основная статья: Функциональное поле алгебраического многообразия

Как и многочлены , рациональные выражения также могут быть обобщены на n неопределенных величин X ₁ ,..., X _n , взяв поле частных F [ X ₁ ,..., X _n ], которое обозначается F ( X ₁ ,..., X _n ).

Расширенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Там алгебраического многообразия V формируется как поле частных координатного кольца V поле функций (точнее, Зарисскому по плотного аффинного открытого множества в V ). Его элементы f рассматриваются как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых множествах U , а также могут рассматриваться как морфизмы проективной прямой .

Приложения

Рациональные функции используются в численном анализе для интерполяции и аппроксимации функций, например аппроксимации Паде, введенные Анри Паде . Аппроксимации с помощью рациональных функций хорошо подходят для систем компьютерной алгебры и другого численного программного обеспечения . Как и полиномы, их можно оценивать напрямую, и в то же время они демонстрируют более разнообразное поведение, чем полиномы.

Рациональные функции используются для аппроксимации или моделирования более сложных уравнений в науке и технике, включая поля и силы в физике, спектроскопию в аналитической химии, кинетику ферментов в биохимии, электронные схемы, аэродинамику, концентрации лекарств in vivo, волновые функции для атомов и молекул, оптику. и фотография для улучшения разрешения изображения, а также акустики и звука.

В обработке сигналов ( преобразование Лапласа для непрерывных систем) или z-преобразование (для систем с дискретным временем) импульсной характеристики широко используемых линейных нестационарных систем (фильтров) с бесконечной импульсной характеристикой являются рациональными функциями над комплексными числами. .

См. также

• Поле дробей
• Частичное дробное разложение
• Частные дроби при интегрировании
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Алгебраические дроби – обобщение рациональных функций, позволяющее извлекать целые корни.

Ссылки

• «Рациональная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 3.4. Интерполяция и экстраполяция рациональных функций» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8

Внешние ссылки

• Динамическая визуализация рациональных функций с помощью JSXGraph