Ортогональный массив
В математике ортогональный массив (точнее, ортогональный массив фиксированного уровня ) — это «таблица» (массив), элементы которой поступают из фиксированного конечного набора символов (например, {1,2,..., v } ), организованный таким образом, что существует целое число t, так что для каждого выбора из t столбцов таблицы все упорядоченные t - кортежи символов, образованные путем взятия записей в каждой строке, ограниченной этими столбцами, кажутся одинаковыми количество раз. Число t называется силой ортогонального массива. Вот два примера:
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Пример слева представляет собой ортогональный массив с набором символов {1,2} и силой 2. Обратите внимание, что четыре упорядоченные пары (2-кортежи), образованные строками, ограниченными первым и третьим столбцами, а именно (1,1 ), (2,1), (1,2) и (2,2) — все возможные упорядоченные пары из двух элементов, каждая из которых появляется ровно один раз. Во втором и третьем столбцах будут указаны (1,1), (2,1), (2,2) и (1,2); снова все возможные упорядоченные пары, каждая из которых появляется один раз. То же самое утверждение было бы справедливым, если бы использовались первый и второй столбцы. Таким образом, это ортогональный массив силы два.
В примере справа [1] строки, ограниченные первыми тремя столбцами, содержат 8 возможных упорядоченных троек, состоящих из 0 и 1, каждая из которых появляется один раз. То же самое справедливо и для любого другого выбора трех столбцов. Таким образом, это ортогональный массив силы 3.
Ортогональный массив смешанного уровня — это массив, в котором каждый столбец может иметь разное количество символов. Пример приведен ниже.
Ортогональные массивы в табличной форме обобщают идею взаимно ортогональных латинских квадратов . Эти массивы имеют множество связей с другими комбинаторными конструкциями и находят применение в статистическом планировании экспериментов , теории кодирования , криптографии и различных типах тестирования программного обеспечения .
Определение
[ редактировать ]
Для t ≤ k ортогональный массив типа ( N, k, v, t ) – для краткости OA ( N, k, v, t ) – представляет собой массив N × k, элементы которого выбираются из множества X с v точек ( v -множество ) таких, что в каждом подмножестве из t столбцов массива каждый t -кортеж точек X повторяется одинаковое количество раз. Количество повторов обычно обозначают λ.
Во многих приложениях этим параметрам присваиваются следующие имена:
- N — количество экспериментальных запусков ,
- k — количество факторов ,
- v — количество уровней ,
- t — сила , а
- λ — индекс .
Определение прочности приводит к соотношению параметров
- N = λ v т .
Ортогональный массив является простым , если он не содержит повторяющихся строк. ( Подмассивы из t столбцов могут иметь повторяющиеся строки, как в примере OA(18, 7, 3, 2), изображенном в этом разделе.)
Ортогональный массив является линейным, если X — конечное поле F q порядка q ( q — простая степень), а строки массива образуют подпространство векторного пространства ( F q ). к . [2] Правый пример во введении линеен над полем F 2 . Любой линейный ортогональный массив прост.
В ортогональном массиве смешанного уровня символы в столбцах могут выбираться из разных наборов, имеющих разное количество точек, как в следующем примере: [3]
0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 1 0 0 1 3
Этот массив имеет силу 2:
- Любая пара первых четырех столбцов содержит каждую из упорядоченных пар (0, 0), (0, 1), (1, 0) и (1, 1) два раза.
- Столбцы 4 и 5 – или столбец 5 с любым другим столбцом – содержат каждую упорядоченную пару ( i , j ) один раз, где i = 0 или 1 и j = 0, 1, 2 или 3.
Таким образом, его можно обозначить как OA(8, 5, 2 4 4 1 , 2), как обсуждается ниже. Выражение 2 4 4 1 указывает на то, что четыре фактора имеют 2 уровня, а один — 4 уровня.
не существует единого «индекса» или числа повторений λ Как и в этом примере, в ортогональном массиве смешанного уровня мощности t : каждый подмассив из t столбцов может иметь разные значения λ.
Терминология и обозначения
[ редактировать ]Термины симметричный и асимметричный иногда используются для фиксированного уровня и смешанного уровня . Здесь симметрия относится к тому свойству, что все факторы имеют одинаковое количество уровней, а не к «форме» массива: симметричный ортогональный массив почти никогда не является симметричной матрицей .
Обозначение OA( N, k, v, t ) иногда сокращается так, что можно, например, написать просто OA( k, v ), [4] при условии, что в тексте ясно указаны неуказанные значения параметров. В другом направлении его можно расширить для массивов смешанного уровня. Здесь можно было бы написать OA( N, k, v 1 ···v k , t ), где столбец i имеет vi уровни . Это обозначение обычно сокращается, когда значения v повторяются, так что пишут OA(8, 5, 2 4 4 1 , 2) для примера в конце последнего раздела, а не OA(8, 5, 2·2·2·2·4, 2). Аналогичным образом можно сократить OA( N, k, v, t ) до OA( N, v к , t ) для массивов фиксированного уровня.
Это обозначение ОА не включает явно индекс λ, но λ можно восстановить из других параметров с помощью соотношения N = λ v т . Это эффективно, когда все параметры имеют определенные числовые значения, но менее эффективно, когда класс предполагается ортогональных массивов. Например, при указании класса массивов, имеющих мощность t = 2 и индекс λ=1, обозначения OA( N, k, v, 2 ) недостаточно для определения λ само по себе. Обычно это можно исправить, написав OA( v 2 , k, v, 2) вместо этого. Хотя нотации, которые явно включают параметр λ, не имеют этой проблемы, их нельзя легко расширить для обозначения массивов смешанного уровня.
Некоторые авторы определяют OA( N, k, v, t ) как k × N, а не как N × k . В таких случаях мощность массива определяется подмножеством из t строк, а не столбцов.
За исключением префикса OA, обозначение OA( N, k, v, t ) такое же, как введенное Рао. [5] Хотя это обозначение очень распространено, оно не универсально. Хедаят, Слоан и Стафкен [6] рекомендуйте его как стандарт, но перечислите восемь альтернатив, найденных в литературе, и есть и другие. [8]
Примеры
[ редактировать ]Пример ОА(16, 5, 4, 2); сила 2, 4-уровневая конструкция индекса 1 с 16 пробегами:
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 1 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 1 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 2 | 1 | 4 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 3 | 1 | 4 |
| 2 | 3 | 2 | 4 | 1 |
| 2 | 4 | 1 | 3 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 2 | 1 | 4 | 3 |
| 3 | 3 | 4 | 1 | 2 |
| 3 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 4 | 1 | 3 | 4 | 2 |
| 4 | 2 | 4 | 3 | 1 |
| 4 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 4 | 4 | 2 | 1 | 3 |
Пример OA(27, 5, 3, 2) ( записан как транспонирование ): для удобства просмотра [9]
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 1 |
В этом примере индекс λ = 3.
Тривиальные примеры
[ редактировать ]Массив, состоящий из всех k -кортежей v -множества, упорядоченный так, что k -кортежи являются строками, автоматически ( «тривиально» ) имеет силу k , как и OA( v к , к, v, к ).Любой OA( N, k, v, k ) будет считаться тривиальным , поскольку такие массивы легко построить, просто перечислив все k -кортежи v -множества λ раз.
Взаимно ортогональные латинские квадраты
[ редактировать ]ОА( н 2 , 3, n , 2) эквивалентен латинскому квадрату порядка n . При k ≤ n +1 OA( n 2 , k, n , 2) эквивалентен набору из k − 2 взаимно ортогональных латинских квадратов порядка n . Такие ортогональные массивы с индексом один и силой 2 также известны как гипергреко-латинские квадратные конструкции в статистической литературе .
Пусть A — ортогональный массив степени 2 и индекса 1 на n -множестве элементов, отождествляемый с набором натуральных чисел {1,..., n }. Выберите и зафиксируйте по порядку два столбца A , называемые столбцами индексирования . Поскольку сила равна 2, а индекс равен 1, все упорядоченные пары ( i , j ) с 1 ≤ i , j ≤ n появляются ровно один раз в строках индексирующих столбцов. Здесь i и j по очереди будут индексировать строки и столбцы квадрата размера n × n . Возьмите любой другой столбец A и заполните ячейку ( i , j ) этого квадрата записью, которая находится в этом столбце A и в строке A, столбцы индексации которой содержат ( i , j ). Полученный квадрат является латинским квадратом порядка n . Например, рассмотрим этот OA(9, 4, 3, 2):
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 2 | 2 |
| 1 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 1 | 2 | 3 |
| 2 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 3 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 3 | 2 |
| 3 | 2 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 2 | 1 |
Выбрав столбцы 3 и 4 (именно в этом порядке) в качестве столбцов индексации, первый столбец создает латинский квадрат.
| 1 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 1 |
а второй столбец дает латинский квадрат
| 1 | 3 | 2 |
| 3 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 3 |
Более того, эти два квадрата взаимно ортогональны. В общем, латинские квадраты, полученные таким образом из ортогонального массива, будут ортогональными латинскими квадратами, поэтому k - 2 столбца, кроме индексирующих столбцов, будут создавать набор из k - 2 взаимно ортогональных латинских квадратов .
Эта конструкция полностью обратима, поэтому ортогональные массивы степени 2 и индекса 1 могут быть построены из наборов взаимно ортогональных латинских квадратов. [10]
Латинские квадраты, латинские кубы и латинские гиперкубы.
[ редактировать ]Ортогональные массивы обеспечивают единый способ описания разнообразных объектов, представляющих интерес для статистического планирования экспериментов .
Латинские квадраты
[ редактировать ]Как упоминалось в предыдущем разделе, латинский квадрат порядка n можно рассматривать как OA( n 2 , 3, н , 2). На самом деле ортогональный массив может привести к шести латинским квадратам, поскольку в качестве индексирующих столбцов можно использовать любую упорядоченную пару различных столбцов. Однако все они изотопны и считаются эквивалентными. Для конкретности мы всегда будем предполагать, что первые два столбца в их естественном порядке используются в качестве столбцов индексации.
Латинские кубики
[ редактировать ]В статистической литературе латинский куб представляет собой трехмерную матрицу размера n × n × n , состоящую из n слоев, каждый из которых имеет n строк и n столбцов, так что n появляющихся различных элементов повторяются n 2 раз и расположены так, что в каждом слое, параллельном каждой из трех пар противоположных граней куба, появляются все n различных элементов, и каждый из них повторяется ровно n раз в этом слое. [11]
Обратите внимание, что согласно этому определению слой латинского куба не обязательно должен быть латинским квадратом. ячейки определенной позиции в разных слоях) не должны быть перестановкой n Фактически, ни одна строка, столбец или файл ( символов. [12]
Латинский куб порядка n эквивалентен OA( n 3 , 4 ,н , 2). [9]
латинских куба порядка n ортогональны Два , если среди n 3 пары элементов выбираются из соответствующих ячеек двух кубов, каждая отдельная упорядоченная пара элементов встречается ровно n раз. Набор из k − 3 взаимно ортогональных латинских кубов порядка n эквивалентен OA( n 3 , k, n , 2). [9] Пример пары взаимно ортогональных латинских кубов третьего порядка был дан как OA(27, 5, 3, 2) в разделе «Примеры» выше.
В отличие от случая с латинскими квадратами, в котором ограничений нет, индексирующие столбцы представления ортогонального массива латинского куба необходимо выбирать так, чтобы образовался ОА( n 3 , 3, н , 3).
Латинские гиперкубы
[ редактировать ]m -мерный го класса — латинский гиперкуб порядка n - r это n × n × ... × n m -мерная матрица, имеющая n р отдельные элементы, каждый из которых повторяется n м - р раз и так, что каждый элемент встречается ровно n м - р - 1 раз в каждом из m наборов n параллельных ( m − 1)-мерных линейных подпространств (или «слоев»). Два таких латинских гиперкуба одного порядка n и класса r со свойством, что при наложении одного на другой каждый элемент одного встречается ровно n м − 2 р времена с каждым элементом другого называются ортогональными . [13]
Набор k − m взаимно ортогональных m -мерных латинских гиперкубов порядка n эквивалентен OA( n м , k, n, 2), где индексирующие столбцы образуют OA( n м , м, н, м ).
История
[ редактировать ]Понятия латинских квадратов и взаимно ортогональных латинских квадратов на латинские кубы и гиперкубы, а также на ортогональные латинские кубы и гиперкубы были обобщены Кишеном (1942) . [14] Рао (1946) обобщил эти результаты на массивы силы t . Современное понятие ортогонального массива как обобщение этих идей, принадлежащее легендарному ученому Ч.Р. Рао , появляется у Рао (1947) . [15] с его обобщением на массивы смешанного уровня, появившимся в 1973 году. [16]
Первоначально Рао использовал термин «массив» без модификатора и определил его как просто подмножество всех комбинаций лечения – простой массив. Возможность создания непростых массивов естественным образом возникла при составлении комбинаций обработки строк матрицы. Хедаят, Слоан и Стафкен [17] кредит К. Буша [18] с термином «ортогональный массив».
Другие конструкции
[ редактировать ]Матрицы Адамара
[ редактировать ]− 1, 2, 2) существует ОА( 4λ, 4λ тогда и только тогда, когда существует матрица Адамара порядка 4 λ . [19] Чтобы двигаться в одном направлении, пусть H — матрица Адамара порядка 4 m в стандартизированной форме (все элементы первой строки и столбца равны +1). Удалите первую строку и выполните транспонирование , чтобы получить желаемый ортогональный массив. [20] Следующий пример иллюстрирует это. (Обратная конструкция аналогична.)
Ниже приведена стандартизованная матрица Адамара 8-го порядка (±1 запись обозначена только знаком),
| + | + | + | + | + | + | + | + |
| + | + | + | + | − | − | − | − |
| + | + | − | − | + | + | − | − |
| + | + | − | − | − | − | + | + |
| + | − | + | − | + | − | + | − |
| + | − | + | − | − | + | − | + |
| + | − | − | + | + | − | − | + |
| + | − | − | + | − | + | + | − |
производит OA(8, 7, 2, 2): [21]
| + | + | + | + | + | + | + |
| + | + | + | − | − | − | − |
| + | − | − | + | + | − | − |
| + | − | − | − | − | + | + |
| − | + | − | + | − | + | − |
| − | + | − | − | + | − | + |
| − | − | + | + | − | − | + |
| − | − | + | − | + | + | − |
Используя столбцы 1, 2 и 4 в качестве индексирующих столбцов, оставшиеся столбцы создают четыре взаимно ортогональных латинских куба второго порядка.
Коды
[ редактировать ]Пусть C ⊆ ( F q ) н , будет линейным кодом размерности m с минимальным расстоянием d . Тогда С ⊥ (ортогональное дополнение векторного подпространства C ) есть (линейный) OA( q нм , n, q, d − 1)где
λ = q п - м - д + 1 . [22]
Приложения
[ редактировать ]Пороговые схемы
[ редактировать ]Совместное использование секрета (также называемое разделением секрета ) состоит из методов распределения секрета среди группы участников, каждому из которых выделяется доля секрета. Тайну можно восстановить только тогда, когда будет объединено достаточное количество долей, возможно, разных типов; отдельные акции сами по себе бесполезны. Схема обмена секретом идеальна , если каждая группа участников, не отвечающая критериям получения секрета, не имеет дополнительных знаний о том, что такое секрет, чем человек, не имеющий доли.
В одном типе схемы обмена секретами есть один дилер и n игроков . Дилер раздает игрокам доли секрета, но только при выполнении определенных условий игроки смогут восстановить секрет. Дилер достигает этого, давая каждому игроку долю таким образом, что любая группа из t (для порога ) или более игроков может вместе восстановить секрет, но ни одна группа из менее чем t игроков не может. Такая система называется ( t , n )-пороговой схемой.
ОА( v т , n+1, v, t ) можно использовать для построения идеальной ( t , n )-пороговой схемы. [23]
- Пусть A — ортогональный массив. Первые n столбцов будут использоваться для предоставления акций игрокам, а последний столбец представляет секрет, который будет передан. Если дилер желает поделиться секретом S только те строки A , последняя запись которых — S. , в схеме используются Дилер случайным образом выбирает одну из этих строк и раздает игроку i запись в этой строке в столбце i в качестве акций.
Факторные планы
[ редактировать ]Факторный эксперимент — это статистически структурированный эксперимент, в котором несколько факторов (уровни полива, антибиотики, удобрения и т. д.) применяются к каждой экспериментальной единице на конечном числе уровней , которые могут быть количественными или качественными. [24] В полном факторном эксперименте необходимо проверить все комбинации уровней факторов. В дробном факторном дизайне используется только часть комбинаций лечения.
Ортогональный массив можно использовать для разработки дробного факторного эксперимента. Столбцы представляют различные факторы, а записи — уровни, на которых наблюдаются факторы. Экспериментальная серия представляет собой строку ортогонального массива, то есть определенную комбинацию уровней факторов. Сила массива определяет разрешающую способность дробного плана. При использовании одного из этих дизайнов лечебные отделения и порядок исследований должны быть рандомизированы, насколько это позволяет дизайн. Например, одна из рекомендаций состоит в том, чтобы ортогональный массив соответствующего размера выбирался случайным образом из доступных, а затем был рандомизирован порядок выполнения.
Смешанные планы естественно возникают в статистических условиях.
Контроль качества
[ редактировать ]Ортогональные массивы сыграли центральную роль в разработке методов Тагучи Геничи Тагучи , которая состоялась во время его визита в Индийский статистический институт в начале 1950-х годов. Его методы были успешно применены и приняты японской и индийской промышленностью, а впоследствии были также приняты промышленностью США, хотя и с некоторыми оговорками. [ нужна ссылка ] . Каталог Тагучи [25] содержит массивы как фиксированного, так и смешанного уровня.
Тестирование
[ редактировать ]Тестирование ортогональных массивов — это метод тестирования «черного ящика» , который представляет собой систематический статистический способ тестирования программного обеспечения . [26] [27] Он используется, когда количество входных данных в систему относительно невелико, но слишком велико, чтобы обеспечить исчерпывающее тестирование всех возможных входных данных в систему . [26] Он особенно эффективен при поиске ошибок, связанных с неисправной логикой в компьютерных программных системах . [26] Ортогональные массивы можно применять при тестировании пользовательского интерфейса , системном тестировании , регрессионном тестировании и тестировании производительности .Перестановки уровней факторов , составляющие одно лечение, выбраны таким образом, что их ответы не коррелируют, и, следовательно, каждое лечение дает уникальную порцию информации . Конечным результатом организации эксперимента при таком лечении является то, что одна и та же информация собирается за минимальное количество экспериментов .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Hedayat, Sloane & Stufken 1999 , Таблица 1.3.
- ^ Стинсон 2003 , стр. 225
- ^ Hedayat, Sloane & Stufken 1999 , Таблица 9.10 (b)
- ^ Стинсон 2003 , с. 140
- ^ Рао 1947 , стр. 129.
- ^ Хедаят, Слоан и Штуфкен 1999 , стр. 2
- ^ Стинсон 2003 , с. 225
- ^ См., например, [7] .
- ^ Jump up to: а б с Денес и Кидуэлл, 1974 , стр. 191
- ^ Стинсон 2003 , стр. 140–141, раздел 6.5.1.
- ^ Денес и Кидуэлл 1974 , стр. 187 приписывают определение Кишену (1950 , стр. 21).
- ^ В предпочтительном определении комбинаториста каждая строка, столбец и файл будут содержать перестановку символов, но это всего лишь особый тип латинского куба, называемый кубом перестановки .
- ^ Денес и Кидуэлл 1974 , стр. 189
- ^ Рагхаварао 1988 , стр. 9
- ^ Рагхаварао 1988 , стр. 10
- ^ Рао 1973 , стр. 354.
- ^ Хедаят, Слоан и Штуфкен 1999 , стр. 4
- ^ Буш 1950 г.
- ^ Хедаят, Слоан и Штуфкен 1999 , Теорема 7.5.
- ^ Стинсон 2003 , стр. 225, Теорема 10.2.
- ^ Стинсон 2003 , стр. 226, пример 10.3
- ^ Стинсон 2003 , стр. 231, Теорема 10.17.
- ^ Стинсон 2003 , стр. 262, Теорема 11.5.
- ^ Улица и улица 1987 , стр. 194, раздел 9.2
- ^ Тагучи 1986
- ^ Jump up to: а б с Прессман, Роджер С. (2005). Программная инженерия: подход практикующего специалиста (6-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-285318-2 .
- ^ Фадке, Мадхав С. «Планирование эффективных тестов программного обеспечения» . Phadke Associates, Inc.
Многочисленные статьи об использовании ортогональных массивов для тестирования программного обеспечения и систем.
Ссылки
[ редактировать ]- Коробка, ГЭП; Хантер, В.Г.; Хантер, Дж. С. (1978). Статистика для экспериментаторов: введение в проектирование, анализ данных и построение моделей . Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471093152 .
- Буш, К.А. (1950). Ортогональные массивы (доктор философии). Университет Северной Каролины.
- Денес, Ж.; Кидуэлл, AD (1974), Латинские квадраты и их приложения , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-209350-Х , МР 0351850
- Хедаят, А.С.; Слоан, Нью-Джерси; Стафкен, Дж. (1999), Ортогональные массивы, теория и приложения , Нью-Йорк: Springer.
- Кишен, К. (1942), «О латинских и гипергреческих кубах и гиперкубах», Current Science , 11 : 98–99.
- Кишен, К. (1950), «О построении латинских и гипергреко-латинских кубов и гиперкубов», J. Indian Soc. Сельское хозяйство. Статистика , 2 : 20–48
- Рагхаварао, Дамараджу (1988). Конструкции и комбинаторные проблемы планирования экспериментов (исправленное переиздание издания Wiley 1971 года). Нью-Йорк: Дувр.
- Рагхаварао, Дамараджу и Пэджетт, Л.В. (2005). Блочные конструкции: анализ, комбинаторика и приложения . Всемирная научная.
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - Рао, CR (1946), «Гиперкубы силы ''d'', ведущие к запутанным планам в факторных экспериментах», Бюллетень Калькуттского математического общества , 38 : 67–78.
- Рао, CR (1947), «Факторные эксперименты, полученные из комбинаторного расположения массивов», Приложение к журналу Королевского статистического общества , 9 (1): 128–139, doi : 10.2307/2983576 , JSTOR 2983576
- Рао, ЧР (1973). «Некоторые комбинаторные задачи массивов и приложения к планированию экспериментов». В Шриваставе, Джагдиш Н. (ред.). Обзор комбинаторной теории . Северная Голландия. ISBN 0-7204-22620 .
- Стинсон, Дуглас Р. (2003), Комбинаторные планы: конструкции и анализ , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-95487-2
- Стрит, Энн Пенфолд и Стрит, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика планирования эксперимента . Оксфорд, UP [Кларендон]. ISBN 0-19-853256-3 .
- Тагучи, Геничи (1986). Ортогональные массивы и линейные графы . Дирборн, Мичиган: Американский институт поставщиков.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Гипергреко-латинские квадратные конструкции
- Пример SAS с использованием PROC FACTEX
- Куфельд, Уоррен Ф. «Ортогональные массивы». SAS Institute Inc. SAS предоставляет каталог из более чем 117 000 ортогональных массивов.
| Научный метод | |
|---|---|
| Уход и блокировка | |
| Модели и вывод | |
| Дизайны Полностью рандомизированный |
|
Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.