Промежуточная логика

В математической логике суперинтуиционистская логика — это логика высказываний, расширяющая интуиционистскую логику . Классическая логика — это сильнейшая непротиворечивая суперинтуиционистская логика; таким образом, непротиворечивые суперинтуиционистские логики называются промежуточными логиками (логики занимают промежуточное положение между интуиционистской логикой и классической логикой).

Определение

Суперинтуиционистская логика — это множество L пропозициональных формул в счетном множествепеременные p _i, удовлетворяющие следующим свойствам:

1. все аксиомы интуиционистской логики принадлежат L ;

2. если F и G — формулы такие, что F и F → ​​G обе принадлежат L , то G также принадлежит L (замыкание относительно modus ponens );

если F ( p1 _{произвольные} , p2 _, ..., pn ₎ формула L а G1 _3. , G2 ₍ ,..., — _Gn формулы, F то G1 _, , G2 _, — ..., G _n ) принадлежит L (замыкание при замене).

Такая логика является промежуточной, если, кроме того,

4. L не является множеством всех формул.

Свойства и примеры

Существует континуум различных промежуточных логик, и столько же таких логик обладают свойством дизъюнкции (DP). Суперинтуиционистские или промежуточные логики образуют полную решетку, в которой интуиционистская логика находится внизу , а противоречивая логика (в случае суперинтуиционистских логик) или классическая логика (в случае промежуточных логик) — наверху. Классическая логика — единственный слой в решетке суперинтуиционистских логик; решетка промежуточных логик также имеет уникальный коатом, а именно SmL .

Инструменты для изучения промежуточной логики аналогичны тем, которые используются для интуиционистской логики, например семантики Крипке . Например, логика Гёделя-Даммета имеет простую семантическую характеристику в терминах общего количества порядков . Конкретная промежуточная логика может быть задана посредством семантического описания.

Другие часто задаются путем добавления одной или нескольких аксиом к

• Интуиционистская логика (обычно обозначается как интуиционистское исчисление высказываний IPC , но также Int , IL или H )

Примеры включают в себя:

• Классическая логика ( CPC , Cl , CL ):

= IPC + ¬¬ p → p (исключение двойного отрицания, DNE)

= IPC + (¬ p → p ) → p ( Чудесное последствие )

= IPC + p ∨ ¬ p ( Принцип исключенного третьего , PEM)

Обобщенные варианты вышесказанного (но фактически эквивалентные принципы по сравнению с интуиционистской логикой) таковы, соответственно:

= IPC + (¬ p → ¬ q ) → ( q → p ) обратного противопоставления ) ( принцип

= IPC + (( p → q ) → p ) → p ( принцип Пирса PP, сравните с Consequencia mirabilis)

= IPC + ( q → p ) → ((¬ q → p ) → p ) (еще одна схема, обобщающая чудесное следствие)

= IPC + p ∨ ( p → q ) (следуя ПЭМ по принципу взрыва )

• Логика Сметанича ( SmL ):

= IPC + (¬ q → p ) → ((( p → q ) → p ) → p ) (условное ПП)

• Логика Гёделя-Даммета ( Dummett 1959) ( LC или G , см. расширения ниже):

= IPC + ( p → q ) ∨ ( q → p ) (принцип Дирка Джентли, DGP)

= IPC + ( p → ( q ∨ r )) → (( p → q ) ∨ ( p → r )) (форма независимости посылки IP)

= IPC + (( p ∧ q ) → r ) → (( p → r ) ∨ ( q → r )) (Обобщенный 4-й закон Де Моргана )

• Ограниченная глубина 2 ( BD ₂ , см. обобщения ниже. Сравните с p ∨ ( p → q )):

= МПК + п ∨ ( п → ( q ∨ ¬ q ))

• Янкова (1968) Логика или Де Моргана логика ( KC ):

= IPC + ¬¬ p ∨ ¬ p (слабый PEM, он же WPEM)

= IPC + ( p → q ) ∨ (¬ p → ¬ q ) (слабый DGP)

= IPC + ( p → ( q ∨ ¬ r )) → (( p → q ) ∨ ( p → ¬ r )) (вариант с отрицанием формы IP)

= IPC + ¬( p ∧ q ) → (¬ q ∨ ¬ p ) (4-й закон Де Моргана )

• Скотта Логика ( SL ):

= IPC + ((¬¬ p → p ) → ( p ∨ ¬ p )) → (¬¬ p ∨ ¬ p ) (условный WPEM)

• Волчок – Патнэма логика ( КП ):

= IPC + (¬ p → ( q ∨ r )) → ((¬ p → q ) ∨ (¬ p → r )) (другой вариант, с отрицанием, формы IP)

Этот список по большей части не является каким-либо упорядочением. Например, известно, что LC не доказывает все теоремы SmL , но по силе он не может напрямую сравниться с BD ₂ . Аналогично, например, KP не сравнивается с SL . Список равенств для каждой логики также далеко не исчерпывающий. Например, как и в случае с WPEM и законом Де Моргана, могут быть выражены несколько форм DGP, использующих соединение.

Даже (¬¬ p ∨ ¬ p ) ∨ (¬¬ p → p ), дальнейшее ослабление WPEM, не является теоремой IPC .

Возможно, стоит также отметить, что, если принять всю интуиционистскую логику как должное, равенства в значительной степени основаны на взрыве. Например, в рамках простой минимальной логики принцип PEM уже эквивалентен Consequentia mirabilis, но он не подразумевает более сильного DNE или PP и не сравним с DGP.

Продолжается:

• логика ограниченной глубины ( BD _n ):

IPC + p _n ∨ ( p _n → ( p _{n −1} ∨ ( p _{n −1} → ... → ( p ₂ ∨ ( p ₂ → ( p ₁ ∨ ¬ p ₁ )))...))

• Гёдель n -значные логики ( G _n ):

ЛК + БД _{n −1}

= LC + BC _{n −1}

• логики ограниченной мощности ( BC _n ):

$\textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j<i}p_{j}\to p_{i}{\bigr )}$

• логика ограниченной ширины вершины ( кстати _n ):

$\textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j<i}p_{j}\to \neg \neg p_{i}{\bigr )}$

• логики ограниченной ширины, также известные как логика ограниченных антицепей, Оно (1972) ( BW _n , BA _n ):

$\textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j\neq i}p_{j}\to p_{i}{\bigr )}$

• логика ограниченного ветвления, Габбай и де Йонг (1969, 1974) ( T _n , BB _n ):

$\textstyle \mathbf {IPC} +\bigwedge _{i=0}^{n}{\bigl (}{\bigl (}p_{i}\to \bigvee _{j\neq i}p_{j}{\bigr )}\to \bigvee _{j\neq i}p_{j}{\bigr )}\to \bigvee _{i=0}^{n}p_{i}$

Более того:

• реализуемости Логика
• ЛМ Логика конечных задач Медведева ( , МЛ ) : семантически определяется как логика всех фреймов формы $\langle {\mathcal {P}}(X)\setminus \{X\},\subseteq \rangle$ для конечных множеств X («булевых гиперкубов без вершины»), которые, как известно, не являются рекурсивно аксиоматизируемыми
• ...

Пропозициональные логики SL и KP обладают свойством дизъюнкции DP. Логика реализуемости Клини и сильная логика Медведева тоже есть. Единственной максимальной логики с DP на решетке не существует.Обратите внимание: если непротиворечивая теория подтверждает WPEM, но при допущении PEM все еще имеет независимые утверждения, то она не может иметь DP.

Семантика

Учитывая алгебру Гейтинга H , набор пропозициональных формул , действительных в H, является промежуточной логикой. И наоборот, по промежуточной логике можно построить ее алгебру Линденбаума – Тарского , которая тогда будет алгеброй Гейтинга.

Интуиционистский фрейм Крипке F является частично упорядоченным множеством , а модель Крипке M — фрейм Крипке с нормированием таким, что $\{x\mid M,x\Vdash p\}$ является верхним F . подмножеством Множество пропозициональных формул, действительных в F, представляет собой промежуточную логику. Учитывая промежуточную логику L, можно построить модель Крипке M такую, что логикой M является L (эта конструкция называется канонической моделью ). Фрейм Крипке с этим свойством может не существовать, но общий фрейм существует всегда.

Связь с модальной логикой

Основная статья: Модальный компаньон

Пусть A — пропозициональная формула. Перевод Гёделя– A Тарского определяется : рекурсивно следующим образом

• $T(p_{n})=\Box p_{n}$
• $T(\neg A)=\Box \neg T(A)$
• $T(A\land B)=T(A)\land T(B)$
• $T(A\vee B)=T(A)\vee T(B)$
• $T(A\to B)=\Box (T(A)\to T(B))$

Если M — модальная логика, расширяющая S4 , то ρ M = { A | T ( A ) ∈ M } — суперинтуиционистская логика, и M называется модальным спутником ρ M . В частности:

• МПК = ρ S4
• КС = ρ S4.2
• LC = ρ S4.3
• КПК = ρ S5

Для каждой промежуточной логики L существует множество модальных логик M таких, что L = ρ M .

См. также

• Список логических систем

Ссылки

• Чагров, Александр; Захарьящев, Михаил (1997). Модальная логика . Оксфорд: Кларендон Пресс . п. 605. ИСБН  9780198537793 .

• Медведев Ю Т. (1962). «[Конечные задачи]» (PDF) . Советская математика (на русском языке). 3 (1): 227–230. дои : 10.2307/2272084 . JSTOR   2272084 . Английский перевод XXXVIII 356 (20) Эллиота Мендельсона.
• Медведев Ю Т. (1963). «[Интерпретация логических формул посредством конечных задач и ее связь с теорией читаемости]» (PDF) . Советская математика (на русском языке). 4 (1): 180–183. дои : 10.2307/2272084 . JSTOR   2272084 . Английский перевод XXXVIII 356 (21), сделанный Сью Энн Уокер.
• Медведев Ю Т. (1966). «[Интерпретация логических формул посредством конечных задач]» (PDF) . Советская математика (на русском языке). 7 (4): 857–860. дои : 10.2307/2272084 . JSTOR   2272084 . Английский перевод XXXVIII 356 (22) Сью Энн Уокер

• Тервейн, Себастьян А. (2006). «Конструктивная логика и решетка Медведева» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 47 (1): 73–82. дои : 10.1305/ndjfl/1143468312 .

• Умедзава, Тосио (июнь 1959 г.). «О логике, промежуточной между интуиционистской и классической логикой предикатов». Журнал символической логики . 24 (2): 141–153. дои : 10.2307/2964756 . JSTOR   2964756 . S2CID   13357205 .

Внешние ссылки

• «Промежуточная логика» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]