Метризируемое пространство

В топологии и смежных областях математики метризуемым пространством называется топологическое пространство гомеоморфное , метрическому пространству . То есть топологическое пространство $(X,\tau )$ называется метризуемым, если существует метрика $d:X\times X\to [0,\infty )$ такая, что топология, индуцированная $d$ является $\tau .$ ^[1]^[2] Теоремы о метризации — это теоремы , которые дают достаточные условия метризуемости топологического пространства.

Характеристики

Метризуемые пространства наследуют все топологические свойства метрических пространств. Например, они являются хаусдорфовыми паракомпактными пространствами (а значит, нормальными и тихоновскими ) и первыми счетными . Однако нельзя сказать, что некоторые свойства метрики, такие как полнота , наследуются. Это также верно и для других структур, связанных с метрикой. метризуемое однородное пространство Например, может иметь другой набор сжимающих отображений, чем метрическое пространство, которому оно гомеоморфно.

Теоремы о метризации

Одной из первых широко признанных теорем метризации была Теорема о метризации Урысона . Это утверждает, что каждое со счетом по регулярное пространство Хаусдорфу метризуемо. Так, например, всякое многообразие , счетное по секундам, метризуемо. (Историческая справка: показанная здесь форма теоремы фактически была доказана Тихоновым в 1926 году. В статье, опубликованной посмертно в 1925 году, Урысон показал, что каждое нормальное хаусдорфово пространство, счетное по секундам, метризуемо.) Обратное утверждение не так. Верно: существуют метрические пространства, не являющиеся секундно-счетными, например несчетное множество, наделенное дискретной метрикой. ^[3] Теорема о метризации Нагаты-Смирнова , описанная ниже, представляет собой более конкретную теорему, в которой действительно справедливо обратное.

Несколько других теорем о метризации следуют как простые следствия из теоремы Урысона. Например, хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счетно по секундам.

Теорему Урысона можно переформулировать следующим образом: топологическое пространство сепарабельно и метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и счетно по секундам. Теорема о метризации Нагаты–Смирнова распространяет это на несепарабельный случай. Он утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу. σ-локально конечная база — это база, представляющая собой объединение счетного числа локально конечных наборов открытых множеств. Для получения информации о близкой теореме см. теорему о метризации Бинга .

Сепарабельные метризуемые пространства также можно охарактеризовать как пространства, гомеоморфные подпространству гильбертова куба. $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },$ то есть счетное бесконечное произведение единичного интервала (с его естественной топологией подпространства из вещественных чисел) на самого себя, наделенное топологией произведения .

Пространство называется локально метризуемым , если каждая точка имеет метризуемую окрестность . Смирнов доказал, что локально метризуемое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и паракомпактно . В частности, многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно.

Примеры

Группа унитарных операторов $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ в сепарабельном гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ наделенныйс сильной операторной топологией метризуема (см. предложение II.1 в ^[4]).

Примеры неметризуемых пространств

Ненормальные пространства не могут быть метризуемыми; важные примеры включают

топология Зарисского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца , используемая в алгебраической геометрии ,
топологическое векторное пространство всех функций вещественной прямой $\mathbb {R}$ самому себе, с топологией поточечной сходимости .

Действительная линия с топологией нижнего предела не метризуема. Обычная функция расстояния не является метрикой в этом пространстве, поскольку определяемая ею топология является обычной топологией, а не топологией нижнего предела. Это пространство хаусдорфово, паракомпактно и впервые счетно.

Локально метризуемо, но не метризуемо

Линия с двумя началами , также называемая линией с жуками, является нехаусдорфовым многообразием (и, следовательно, не может быть метризуемо). Как и все многообразия, оно локально гомеоморфно евклидову пространству и, следовательно, локально метризуемо (но не метризуемо) и локально хаусдорфово (но не хаусдорфово ). Это также T1 _, локально регулярное пространство но не полурегулярное .

локально Длинная линия метризуема, но не метризуема; в каком-то смысле это «слишком долго».

См. также

Аполлоническая метрика - румынский математик и поэт.
Теорема Бинга о метризации - характеризует метризуемость топологического пространства.
Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
Пространство Мура (топология) – развиваемое регулярное пространство Хаусдорфа.
Теорема о метризации Нагаты – Смирнова - характеризует метризуемость топологического пространства.
Униформизируемость - топологическое пространство, топология которого генерируется однородной структурой. , свойство топологического пространства быть гомеоморфным однородному пространству или, что то же самое, топология, определяемая семейством псевдометрик.

Ссылки

^ Саймон, Джонатан. «Теоремы о метризации» (PDF) . Проверено 16 июня 2016 г.
^ Манкрес, Джеймс (1999). Топология (второе изд.). Пирсон . п. 119.
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 сентября 2011 г. Проверено 8 августа 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ Нееб, Карл-Герман, К теореме С. Банаха. Дж. Теория лжи 7 (1997), вып. 2, 293–300.

В эту статью включены материалы из Metrizable на PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Саймон, Джонатан. «Теоремы о метризации» (PDF) . Проверено 16 июня 2016 г.

[2] Манкрес, Джеймс (1999). Топология (второе изд.). Пирсон . п. 119.

[3] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 сентября 2011 г. Проверено 8 августа 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[4] Нееб, Карл-Герман, К теореме С. Банаха. Дж. Теория лжи 7 (1997), вып. 2, 293–300.

[1]

[2]

[3]

[4]