Полуэмпирическая формула массы

В ядерной физике полуэмпирическая формула массы SEMF ) (иногда также называемая формулой Вейцзеккера , формулой Бете-Вайцзеккера или формулой массы Бете-Вейцзеккера , чтобы отличить ее от процесса Бете-Вайцзеккера ) используется для аппроксимации массы ( атомное ядро от количества протонов и нейтронов . Как следует из названия, он основан частично на теории , а частично на эмпирических измерениях . Формула представляет собой жидкокапельную модель, предложенную Георгием Гамовым . ^[1] который может учитывать большую часть членов формулы и дает приблизительные оценки значений коэффициентов. Впервые он был сформулирован в 1935 году немецким физиком Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером . ^[2] и хотя с течением времени в коэффициенты вносились уточнения, структура формулы остается прежней и сегодня.

Формула дает хорошее приближение атомных масс и, следовательно, других эффектов. Однако он не может объяснить существование линий с большей энергией связи при определенном числе протонов и нейтронов. Эти числа, известные как магические числа , являются основой модели ядерной оболочки .

Жидко-капельная модель

Модель жидкой капли была впервые предложена Георгием Гамовым и далее развита Нильсом Бором , Джоном Арчибальдом Уилером и Лизой Мейтнер . ^[3] рассматривается В ней ядро как капля несжимаемой жидкости очень высокой плотности, удерживаемая ядерной силой (остаточное действие сильной силы ), имеется сходство со структурой сферической капли жидкости. Несмотря на то, что модель жидкой капли является грубой, она учитывает сферическую форму большинства ядер и позволяет приблизительно предсказать энергию связи.

Соответствующая формула массы определяется исключительно количеством содержащихся в ней протонов и нейтронов. Исходная формула Вайцзеккера определяет пять терминов:

Объемная энергия : когда совокупность нуклонов одинакового размера упакована в наименьший объем, каждый внутренний нуклон имеет определенное количество других нуклонов, контактирующих с ним. Итак, эта ядерная энергия пропорциональна объёму.
Поверхностная энергия корректирует предыдущее предположение, согласно которому каждый нуклон взаимодействует с таким же количеством других нуклонов. Этот член отрицательен и пропорционален площади поверхности и поэтому примерно эквивалентен поверхностному натяжению жидкости .
Кулоновская энергия — потенциальная энергия каждой пары протонов. Поскольку это сила отталкивания, энергия связи уменьшается.
Энергия асимметрии (также называемая энергией Паули ), которая объясняет принцип исключения Паули . Неодинаковое количество нейтронов и протонов предполагает заполнение более высоких энергетических уровней для одного типа частиц, в то время как более низкие энергетические уровни остаются вакантными для другого типа.
Энергия спаривания , которая объясняет тенденцию пар протонов и пар нейтронов возникновения . Четное число частиц более стабильно, чем нечетное, из-за спиновой связи .

Формула

Масса атомного ядра, т. $N$ нейтроны , $Z$ протоны и, следовательно, $A=N+Z$ нуклонов , определяется выражением

m=Zm_{\text{p}}+Nm_{\text{n}}-{\frac {E_{\text{B}}(N,Z)}{c^{2}}},

где $m_{\text{p}}$ и $m_{\text{n}}$ - масса покоя протона и нейтрона соответственно, и $E_{\text{B}}$ – энергия связи ядра. Полуэмпирическая формула массы гласит, что энергия связи равна ^[4]

E_{\text{B}}=a_{\text{V}}A-a_{\text{S}}A^{2/3}-a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}\pm \delta (N,Z).

The $\delta (N,Z)$ член либо равен нулю, либо $\pm \delta _{0}$ , в зависимости паритета от $N$ и $Z$ , где $\delta _{0}={a_{\text{P}}}{A^{k_{\text{P}}}}$ для некоторого показателя $k_{\text{P}}$ . Обратите внимание, что как $A=N+Z$ , числитель $a_{\text{A}}$ термин можно переписать как $(A-2Z)^{2}$ .

Каждое из слагаемых в этой формуле имеет теоретическую основу. Коэффициенты $a_{\text{V}}$ , $a_{\text{S}}$ , $a_{\text{C}}$ , $a_{\text{A}}$ , и $a_{\text{P}}$ определяются эмпирически; хотя они могут быть получены в результате эксперимента, обычно они получаются на основе метода наименьших квадратов, соответствующего современным данным. Хотя обычно это выражается пятью основными терминами, существуют дополнительные термины для объяснения дополнительных явлений. Подобно тому, как изменение аппроксимации полинома приводит к изменению его коэффициентов, взаимодействие между этими коэффициентами по мере появления новых явлений является сложным; некоторые термины влияют друг на друга, тогда как $a_{\text{P}}$ термин во многом независим. ^[5]

Объем термина

Термин $a_{\text{V}}A$ известен как термин объема . Объем ядра пропорционален A , поэтому этот член пропорционален объему, отсюда и название.

Основой этого термина является сильное ядерное взаимодействие . Сильная сила действует как на протоны, так и на нейтроны, и, как и ожидалось, этот член не зависит Z. от Поскольку число пар, которые можно взять из A- частиц, равно $A(A-1)/2$ , можно было бы ожидать, что член будет пропорционален $A^{2}$ . Однако сильное взаимодействие имеет очень ограниченный радиус действия, и данный нуклон может сильно взаимодействовать только со своими ближайшими соседями и следующими ближайшими соседями. Следовательно, количество пар частиц, которые фактически взаимодействуют, примерно пропорционально A , что придает объемному члену его форму.

Коэффициент $a_{\text{V}}$ меньше энергии связи, которой обладают нуклоны по отношению к своим соседям ( $E_{\text{b}}$ ), что составляет порядка 40 МэВ . Это связано с тем, что чем больше число нуклонов в ядре, тем больше их кинетическая энергия, что обусловлено принципом Паули . Если рассматривать ядро как -шар ферми $A$ нуклонов , с равным числом протонов и нейтронов, то полная кинетическая энергия равна ${\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}$ , с $\varepsilon _{\text{F}}$ энергия Ферми , которая оценивается в 38 МэВ . Таким образом, ожидаемое значение $a_{\text{V}}$ в этой модели есть $E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,$ недалеко от измеренного значения.

Поверхностный термин

Термин $a_{\text{S}}A^{2/3}$ известен как поверхностный член . Этот член, также основанный на сильной силе, является поправкой к члену объема.

Член объема предполагает, что каждый нуклон взаимодействует с постоянным числом нуклонов, независимым от A . Хотя это почти справедливо для нуклонов глубоко внутри ядра, у нуклонов на поверхности ядра меньше ближайших соседей, что оправдывает эту поправку. Это также можно рассматривать как термин поверхностного натяжения, и действительно, аналогичный механизм создает поверхностное натяжение в жидкостях.

Если объем ядра пропорционален А , то радиус должен быть пропорционален $A^{1/3}$ и площадь поверхности для $A^{2/3}$ . Это объясняет, почему поверхностный член пропорционален $A^{2/3}$ . Также можно сделать вывод, что $a_{\text{S}}$ должен иметь порядок величины, аналогичный $a_{\text{V}}$ .

Кулоновский член

Термин $a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}$ или $a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}$ известен как кулоновский или электростатический член .

В основе этого термина лежит электростатическое отталкивание между протонами. В очень грубом приближении ядро можно рассматривать как сферу с однородной плотностью заряда . Можно показать, что потенциальная энергия такого распределения заряда равна

E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},

где Q — полный заряд, а R — радиус сферы. Стоимость $a_{\text{C}}$ можно приблизительно рассчитать, используя это уравнение для расчета потенциальной энергии, используя эмпирический ядерный радиус $R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}$ и Q = Зе . Однако, поскольку электростатическое отталкивание будет существовать только для более чем одного протона, $Z^{2}$ становится $Z(Z-1)$ :

E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},

где теперь электростатическая постоянная Кулона $a_{\text{C}}$ является

a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.

Используя константу тонкой структуры , мы можем переписать значение $a_{\text{C}}$ как

a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},

где $\alpha$ – константа тонкой структуры, а $r_{0}A^{1/3}$ - радиус ядра , дающий $r_{0}$ быть примерно 1,25 фемтометра . $R_{\text{P}}$ – протонная приведенная комптоновская длина волны , и $m_{\text{p}}$ это масса протона. Это дает $a_{\text{C}}$ приблизительное теоретическое значение 0,691 МэВ , недалеко от измеренного значения.

Термин асимметрии

Термин $a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}$ известен как член асимметрии (или член Паули ).

Теоретическое обоснование этого термина более сложное. Принцип исключения Паули гласит, что никакие два идентичных фермиона не могут занимать одно и то же квантовое состояние в атоме . На данном уровне энергии частицам доступно лишь конечное число квантовых состояний. В ядре это означает, что по мере «добавления» большего количества частиц эти частицы должны занимать более высокие энергетические уровни, увеличивая общую энергию ядра (и уменьшая энергию связи). Обратите внимание, что этот эффект не основан ни на одной из фундаментальных сил ( гравитационной , электромагнитной и т. д.), а только на принципе Паули.

Протоны и нейтроны, будучи разными типами частиц, занимают разные квантовые состояния. Можно представить два разных «бассейна» состояний – один для протонов, другой для нейтронов. Вот, например, если в ядре нейтронов значительно больше, чем протонов, энергия некоторых нейтронов будет выше, чем имеющиеся состояния в пуле протонов. Если бы мы могли переместить некоторые частицы из пула нейтронов в пул протонов, другими словами, превратить некоторые нейтроны в протоны, мы бы значительно уменьшили энергию. Дисбаланс между количеством протонов и нейтронов приводит к тому, что энергия оказывается выше, чем необходимо для данного числа нуклонов . На этом основан термин асимметрия.

Фактическую форму члена асимметрии можно снова получить, моделируя ядро как ферми-шар из протонов и нейтронов. Его полная кинетическая энергия равна

E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),

где $\varepsilon _{\text{F,p}}$ и $\varepsilon _{\text{F,n}}$ – энергии Ферми протонов и нейтронов. Поскольку они пропорциональны $Z^{2/3}$ и $N^{2/3}$ соответственно, получается

E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})

для некоторой постоянной C .

Ведущие члены разложения разности $N-Z$ тогда

E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.

В нулевом порядке разложения кинетическая энергия равна полной энергии Ферми. $\varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}$ умноженный на ${\tfrac {3}{5}}A$ . Таким образом мы получаем

E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.

Первый член вносит вклад в объемный член полуэмпирической формулы массы, а второй член минус член асимметрии (помните, что кинетическая энергия вносит вклад в общую энергию связи с отрицательным знаком).

$\varepsilon _{\text{F}}$ составляет 38 МэВ , поэтому расчет $a_{\text{A}}$ из приведенного выше уравнения мы получаем только половину измеренного значения. Расхождение объясняется неточностью нашей модели: нуклоны фактически взаимодействуют друг с другом и не распределены по ядру неравномерно. Например, в оболочечной модели протон и нейтрон с перекрывающимися волновыми функциями будут иметь между собой более сильное взаимодействие и более сильную энергию связи. Это делает энергетически выгодным (т.е. имеющим более низкую энергию) для протонов и нейтронов иметь одинаковые квантовые числа (кроме изоспина ) и, таким образом, увеличивать энергетические затраты на асимметрию между ними.

Термин асимметрия можно также понять интуитивно следующим образом. Это должно зависеть от абсолютной разницы $|N-Z|$ , и форма $(N-Z)^{2}$ является простым и дифференцируемым , что важно для некоторых применений формулы. Кроме того, небольшие различия между Z и N не требуют больших энергетических затрат. Буква А в знаменателе отражает тот факт, что данная разность $|N-Z|$ менее значимо для больших значений A .

Срок сопряжения

Термин $\delta (A,Z)$ известен как термин спаривания (возможно, также известный как парное взаимодействие). Этот термин отражает эффект спиновой связи. Это дано ^[7]

\delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}

где $\delta _{0}$ что оно имеет значение около 1000 кэВ, медленно уменьшающееся с массовым числом A. Эмпирически установлено , Энергию связи можно увеличить путем преобразования одного из нечетных протонов или нейтронов в нейтрон или протон, так что нечетный нуклон может образовать пару со своим нечетным соседом, образующим ^{[ нужны разъяснения ]} даже З , Н. и Пары имеют перекрывающиеся волновые функции и расположены очень близко друг к другу, а связь сильнее, чем в любой другой конфигурации. ^[7] Когда термин спаривания подставляется в уравнение энергии связи, для четных Z , N член спаривания добавляет энергию связи, а для нечетных Z , N член спаривания удаляет энергию связи.

Зависимость от массового числа обычно параметризуют как

\delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.

Значение показателя k _P определяется из экспериментальных данных по энергии связи. Раньше его значение часто принималось равным -3/4, но современные экспериментальные данные показывают, что значение -1/2 ближе к отметке:

\delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}

или

\delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.

Согласно принципу Паули, ядро имело бы меньшую энергию, если бы число протонов со спином вверх было равно числу протонов со спином вниз. Это справедливо и для нейтронов. Только если Z и N четны, протоны и нейтроны могут иметь одинаковое количество частиц со спином вверх и вниз. Это эффект, аналогичный термину асимметрии.

Фактор $A^{k_{\text{P}}}$ не легко объяснить теоретически. Расчет шара Ферми, который мы использовали выше, основанный на модели жидкой капли, но пренебрегающий взаимодействиями, даст $A^{-1}$ зависимость, как в термине асимметрии. Это означает, что фактический эффект для больших ядер будет больше, чем ожидалось этой моделью. Это следует объяснить взаимодействиями между нуклонами. Например, в модели оболочки два протона с одинаковыми квантовыми числами (кроме спина ) будут иметь полностью перекрывающиеся волновые функции и, таким образом, будут иметь более сильное взаимодействие между ними и более сильную энергию связи. Это делает протоны энергетически выгодными (т.е. имеющими более низкую энергию) для образования пар с противоположным спином. То же самое справедливо и для нейтронов.

Расчет коэффициентов

Коэффициенты рассчитываются путем подгонки к экспериментально измеренным массам ядер. Их значения могут варьироваться в зависимости от того, как они соответствуют данным и какая единица измерения используется для выражения массы. Несколько примеров показаны ниже.

	Айсберг и Резник ^[8]	Подходит метод наименьших квадратов (1)	Подойдет метод наименьших квадратов (2) ^[9]	Рольф ^[10]	Вапстра ^[11]
единица	в	МэВ	МэВ	МэВ	МэВ
$a_{\rm {V}}$	0.01691	15.8	15.76	15.75	14.1
$a_{\rm {S}}$	0.01911	18.3	17.81	17.8	13
$a_{\rm {C}}$	0.000763 ^[а]	0.714	0.711	0.711	0.595
$a_{\rm {A}}$	0.10175 ^[б]	23.2	23.702	23.7	19
$a_{\rm {P}}$	0.012	12	34	11.18	33.5
$k_{\rm {P}}$	−1/2	−1/2	−3/4	−1/2	−3/4
$\delta _{0}$ (чет-чет)	$-0.012 \over A^{1/2}$	$+12 \over A^{1/2}$	$+34 \over A^{3/4}$	$+11.18 \over A^{1/2}$	$+33.5 \over A^{3/4}$
$\delta _{0}$ (нечетное-нечетное)	$+0.012 \over A^{1/2}$	$-12 \over A^{1/2}$	$-34 \over A^{3/4}$	$-11.18 \over A^{1/2}$	$-33.5 \over A^{3/4}$
$\delta _{0}$ (чет-нечет, нечет-чет)	0	0	0	0	0
^ В этой модели используется $Z^{2}$ в числителе кулоновского члена. ^ В этой модели используется $(Z-A/2)^{2}$ в числителе члена асимметрии.

Формула не учитывает внутреннюю оболочечную структуру ядра.

Таким образом, полуэмпирическая формула массы хорошо подходит для более тяжелых ядер и плохо подходит для очень легких ядер, особенно ⁴Он . Для легких ядер обычно лучше использовать модель, учитывающую эту оболочечную структуру.

Примеры следствий формулы

Максимизируя $E b (A, Z)$ по отношению к Z , можно было бы найти лучшее соотношение нейтрон-протонов N / Z для данного атомного веса A . ^[10] Мы получаем

N/Z\approx 1+{\frac {a_{\text{C}}}{2a_{\text{A}}}}A^{2/3}.

Для легких ядер это примерно 1, но для тяжелых ядер отношение растет в хорошем согласии с экспериментом .

Подставив указанное выше значение Z обратно в $E b$ , можно получить энергию связи как функцию атомного веса $E b (A)$ .Максимизация $E b (A)/ A$ по отношению к A дает ядро, которое наиболее прочно связано, т. е. наиболее стабильно. Значение, которое мы получаем, — = 62 ( никель ) и A = 63 (медь), близкое к измеренным значениям A A = 58 ( железо ) .

Модель жидкой капли также позволяет рассчитывать барьеры деления ядер, которые определяют устойчивость ядра к спонтанному делению . Первоначально предполагалось, что элементы за пределами атомного номера 104 не могут существовать, поскольку они будут подвергаться делению с очень коротким периодом полураспада. ^[12] хотя эта формула не учитывала стабилизирующие эффекты замкнутых ядерных оболочек . Модифицированная формула, учитывающая оболочечные эффекты, воспроизводит известные данные и предсказанный остров стабильности (в котором ожидается увеличение барьеров деления и периодов полураспада, достигая максимума при замыкании оболочки), но также предполагает возможный предел существования сверхтяжелых ядер за пределами Z = 120 и N = 184. ^[12]

Ссылки

^ Гамов, Георгий (1930). «Кривая массового дефекта и ядерная конституция» . Труды Королевского общества А. 126 (803): 632–644. Бибкод : 1930RSPSA.126..632G . дои : 10.1098/rspa.1930.0032 . JSTOR 95297 .
^ фон Вайцзеккер, CF (1935). «К теории ядерных масс». Журнал физики (на немецком языке). 96 (7–8): 431–458. Бибкод : 1935ZPhy...96..431W . дои : 10.1007/BF01337700 . S2CID 118231854 .
^ Сартори, Э. (2006). История женщин-ученых от античности до 20 века (изд. Плон). Париж. стр. 326–328. ISBN 2-259-20288-8 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Государственный университет Орегона. «Ядерные массы и связывающая энергия, урок 3» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 сентября 2015 года . Проверено 30 сентября 2015 г.
^ Кирсон, Майкл В. (1 января 2008 г.). «Взаимное влияние членов в полуэмпирической формуле массы». Ядерная физика А . 798 (1): 29–60. Бибкод : 2008НуФА.798...29К . дои : 10.1016/j.nuclphysa.2007.10.011 . ISSN 0375-9474 .
^ Г. Ауди и др., «Оценка атомной массы AME2012», в журнале Chinese Physics C, 36 (2012/12), стр. 1287–1602.
^ Jump up to: ^а ^б Мартин, БР; Дж. Шоу (2019). Ядерная физика и физика элементарных частиц: введение (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси. п. 62. ИСБН 978-1-119-34462-9 . OCLC 1078954632 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Айсберг, Роберт; Резник, Роберт (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (второе изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 528 . ISBN 0-471-87373-Х .
^ Алонсо, Марсело; Финн, Эдвард Дж. (1969). Фундаментальная университетская физика. Том. III. Квантовая и статистическая физика . Издательская компания Аддисон-Уэсли . п. 297.
^ Jump up to: ^а ^б Рольф, JW (1994). Современная физика от α до Z ⁰. Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0471572701 .
^ Вапстра, AH (1958). «Атомные массы нуклидов». Во Флюгге, С. (ред.). Внешние свойства атомных ядер / Внешние свойства атомных ядер . Энциклопедия физики. Том 38.08.1 . стр. 1–37. Бибкод : 1958HDP....38....1W . дои : 10.1007/978-3-642-45901-6_1 . ISBN 978-3-642-45902-3 .
^ Jump up to: ^а ^б Мёллер, П. (2016). «Границы ядерной карты, установленные делением и альфа-распадом» (PDF) . Сеть конференций EPJ . 131 : 03002: 1–8. Бибкод : 2016EPJWC.13103002M . дои : 10.1051/epjconf/201613103002 .

Источники

Фридман, Р.; Янг, Х. (2004). Университетская физика Сирса и Земанского с современной физикой (11-е изд.). Пирсон Эддисон Уэсли. стр. 1633–1634. ISBN 978-0-8053-8768-1 .
Ливерант, SE (1960). Элементарное введение в физику ядерных реакторов . Джон Уайли и сыновья . стр. 58–62 . LCCN 60011725 .
Чоппин, Г.; Лильензин, Ж.-О.; Ридберг, Дж. (2002). «Ядерная масса и стабильность» (PDF) . Радиохимия и ядерная химия (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . стр. 41–57. ISBN 978-0-7506-7463-8 .

Внешние ссылки

Модель капли ядерной жидкости в по гиперфизике онлайн-справочнике Университета штата Джорджия .
Модель жидкой капли с подгонкой параметров по первым наблюдениям возбужденных состояний в нейтронно-дефицитных ядрах ^160,161Вт и ¹⁵⁹Та , Алекс Кинан, докторская диссертация, Ливерпульский университет , 1999 г. ( HTML-версия ).

[12] В этой модели используется $Z^{2}$ в числителе кулоновского члена.

[13] В этой модели используется $(Z-A/2)^{2}$ в числителе члена асимметрии.

[1] Гамов, Георгий (1930). «Кривая массового дефекта и ядерная конституция» . Труды Королевского общества А. 126 (803): 632–644. Бибкод : 1930RSPSA.126..632G . дои : 10.1098/rspa.1930.0032 . JSTOR 95297 .

[2] фон Вайцзеккер, CF (1935). «К теории ядерных масс». Журнал физики (на немецком языке). 96 (7–8): 431–458. Бибкод : 1935ZPhy...96..431W . дои : 10.1007/BF01337700 . S2CID 118231854 .

[3] Сартори, Э. (2006). История женщин-ученых от античности до 20 века (изд. Плон). Париж. стр. 326–328. ISBN 2-259-20288-8 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[OSUFormula-4] Государственный университет Орегона. «Ядерные массы и связывающая энергия, урок 3» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 30 сентября 2015 года . Проверено 30 сентября 2015 г.

[5] Кирсон, Майкл В. (1 января 2008 г.). «Взаимное влияние членов в полуэмпирической формуле массы». Ядерная физика А . 798 (1): 29–60. Бибкод : 2008НуФА.798...29К . дои : 10.1016/j.nuclphysa.2007.10.011 . ISSN 0375-9474 .

[6] Г. Ауди и др., «Оценка атомной массы AME2012», в журнале Chinese Physics C, 36 (2012/12), стр. 1287–1602.

[:0-7] Jump up to: ^а ^б Мартин, БР; Дж. Шоу (2019). Ядерная физика и физика элементарных частиц: введение (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси. п. 62. ИСБН 978-1-119-34462-9 . OCLC 1078954632 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[8] Айсберг, Роберт; Резник, Роберт (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (второе изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 528 . ISBN 0-471-87373-Х .

[9] Алонсо, Марсело; Финн, Эдвард Дж. (1969). Фундаментальная университетская физика. Том. III. Квантовая и статистическая физика . Издательская компания Аддисон-Уэсли . п. 297.

[Rohlf-10] Jump up to: ^а ^б Рольф, JW (1994). Современная физика от α до Z ⁰. Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0471572701 .

[11] Вапстра, AH (1958). «Атомные массы нуклидов». Во Флюгге, С. (ред.). Внешние свойства атомных ядер / Внешние свойства атомных ядер . Энциклопедия физики. Том 38.08.1 . стр. 1–37. Бибкод : 1958HDP....38....1W . дои : 10.1007/978-3-642-45901-6_1 . ISBN 978-3-642-45902-3 .

[liquiddrop-14] Jump up to: ^а ^б Мёллер, П. (2016). «Границы ядерной карты, установленные делением и альфа-распадом» (PDF) . Сеть конференций EPJ . 131 : 03002: 1–8. Бибкод : 2016EPJWC.13103002M . дои : 10.1051/epjconf/201613103002 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[а]

[б]

[12]