Квазиэмпиризм в математике
Квазиэмпиризм в математике — попытка в философии математики направить внимание философов на математическую практику , в частности на отношения с физикой , общественными науками и вычислительной математикой , а не только на вопросы оснований математики . В этой дискуссии вызывают интерес несколько тем: связь эмпиризма (см. Пенелопа Мэдди ) с математикой , вопросы, связанные с реализмом , важность культуры , необходимость применения и т. д.
Основные аргументы
[ редактировать ]Основной аргумент в пользу квазиэмпиризма заключается в том, что, хотя математика и физика часто считаются тесно связанными областями обучения, это может отражать когнитивные предубеждения человека . Утверждается, что, несмотря на строгое применение соответствующих эмпирических методов или математической практики в любой области, этого, тем не менее, будет недостаточно, чтобы опровергнуть альтернативные подходы.
Юджин Вигнер (1960) [1] отметил , что эта культура не обязательно должна ограничиваться математикой, физикой или даже людьми. Далее он заявил, что «чудо пригодности языка математики для формулирования законов физики — это чудесный дар, которого мы не понимаем и не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за него и надеяться, что оно останется действительным в будущих исследованиях». и что к нашему удовольствию, хотя, возможно, и к нашему озадачению, оно распространится, к лучшему или к худшему, на широкие области знаний». Вигнер использовал несколько примеров, чтобы продемонстрировать, почему «замешательство» является подходящим описанием, например, показав, как математика добавляет к ситуационным знаниям способами, которые либо невозможны в противном случае, либо настолько выходят за рамки обычного мышления, что не заслуживают особого внимания. Еще одним примером может служить способность прогнозирования в смысле описания потенциальных явлений до их наблюдения, которая может быть подтверждена математической системой.
В продолжение Вигнера , Ричард Хэмминг (1980) [2] написал о приложениях математики как о центральной теме этой темы и предположил, что успешное использование иногда может превзойти доказательство в следующем смысле: если теорема имеет очевидную достоверность благодаря применимости, более поздние доказательства, которые показывают, что доказательство теоремы проблематично, приведут к большему результату. пытаясь подтвердить теорему, а не пытаться переделать приложения или опровергнуть результаты, полученные к настоящему времени. У Хэмминга было четыре объяснения «эффективности», которую мы видим в математике, и он определенно считал эту тему достойной обсуждения и изучения.
- «Мы видим то, что ищем». Почему в данном обсуждении уместно слово «квази».
- «Мы выбираем вид математики, который будем использовать». Наше использование и модификация математики по существу ситуативны и целенаправленны.
- «Наука на самом деле отвечает на сравнительно небольшое количество проблем». На что еще стоит обратить внимание, так это на более крупный набор.
- «Эволюция человека предоставила модель». Могут быть ограничения, связанные с человеческим фактором.
Для Уилларда Ван Ормана Куайна (1960): [3] существование — это только существование в структуре. Эта позиция актуальна для квазиэмпиризма, поскольку Куайн считает, что те же доказательства, которые поддерживают теоретизирование о структуре мира, совпадают с доказательствами, поддерживающими теоретизирование о математических структурах. [4]
Хилари Патнэм (1975) [5] заявил, что математика принимала неформальные и авторитетные доказательства, а также допускала и исправляла ошибки на протяжении всей своей истории. Кроме того, он заявил, что Евклида система доказательства теорем геометрии была уникальной для классических греков и не развивалась аналогичным образом в других математических культурах Китая , Индии и Аравии . Это и другие свидетельства побудили многих математиков отвергнуть ярлык платоников вместе с онтологией Платона , которая, наряду с методами и эпистемологией Аристотеля , служила основой онтологии западного мира с момента его зарождения. По-настоящему интернациональная культура математики могла бы, Патнэм и другие (1983) [6] аргументированные, обязательно должны быть, по крайней мере, «квази»-эмпирическими (принимая «научный метод» для достижения консенсуса, если не эксперимента).
Имре Лакатос (1976), [7] который выполнил свою первоначальную работу по этой теме для своей диссертации (1961, Кембридж ), выступал за « исследовательские программы » как средство поддержки основы математики и считал мысленные эксперименты подходящими для математических открытий. Лакатос, возможно, был первым, кто использовал «квазиэмпиризм» в контексте этой темы.
Эксплуатационные аспекты
[ редактировать ]Несколько последних работ посвящены этой теме. Работы Грегори Чайтина и Стивена Вольфрама , хотя их позиции можно считать спорными, вполне применимы. Чайтин (1997/2003) [8] предполагает случайность, лежащую в основе математики и Вольфрама ( Новый вид науки , 2002). [9] утверждает, что неразрешимость может иметь практическое значение, то есть быть чем-то большим, чем абстракция.
Еще одним уместным дополнением могут стать дискуссии, касающиеся интерактивных вычислений , особенно те, которые связаны со значением и использованием модели Тьюринга ( тезис Чёрча-Тьюринга , машины Тьюринга и т. д.).
Эти работы требуют большого объема вычислений и поднимают еще один набор проблем. Цитируя Чайтина (1997/2003):
Теперь все пошло с ног на голову. Все пошло вверх дном, не из-за каких-то философских аргументов, не из-за Гёделя результатов Тьюринга , или результатов , или моих собственных результатов о неполноте. Всё пошло вверх дном по очень простой причине — компьютер! [8] : 96
Сборник «Неразрешимых» в Wolfram ( «Новый вид науки» , 2002) [9] это еще один пример.
Статья Вегнера 2006 года «Принципы решения проблем». [10] предполагает, что интерактивные вычисления ) структуру могут помочь математике сформировать более подходящую ( эмпирическую , чем та, которая может быть основана только на рационализме . С этим аргументом связано то, что функция (даже рекурсивно связанная до бесконечности) является слишком простой конструкцией, чтобы справиться с реальностью сущностей, которые разрешают (посредством вычислений или какого-либо типа аналогов) n-мерные (в общем смысле слова) системы.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Юджин Вигнер , 1960, « Необоснованная эффективность математики в естественных науках », Сообщения по чистой и прикладной математике 13 :
- ^ RW Hamming , 1980, Необоснованная эффективность математики , The American Mathematical Monthly Volume 87 Number 2, февраль 1980 г.
- ^ Уиллард Ван Орман Куайн (1960), Слово и объект , MIT Press, стр. 22.
- ^ Пол Эрнест (редактор), Математическое образование и философия: международная перспектива , Routledge, 2003, стр. 45.
- ^ Патнэм, Хилари , 1975, Разум, язык и реальность. Философские статьи, Том 2 . Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания. ISBN 88-459-0257-9
- ^ Бенасерраф, Пол и Патнэм, Хилари (ред.), 1983, Философия математики, Избранные материалы для чтения , 1-е издание, Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, 1964. 2-е издание, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания, 1983
- ^ Лакатос, Имре (1976), Доказательства и опровержения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29038-4
- ^ Перейти обратно: а б Чайтин, Грегори Дж. , 1997/2003, «Пределы математики» . Архивировано 1 января 2006 г., в Wayback Machine , Springer-Verlag, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN 1-85233-668-4
- ^ Перейти обратно: а б Вольфрам, Стивен , 2002, Новый вид науки ( неразрешимые вопросы ), Wolfram Media, Чикаго, Иллинойс. ISBN 1-57955-008-8
- ^ Питер Вегнер , Дина Голдин, 2006, « Принципы решения проблем ». Сообщения ACM 49 (2006), стр. 27–29.