Вложенные интервалы

4 члена последовательности вложенных интервалов

В математике последовательность вложенных интервалов можно интуитивно понимать как упорядоченный набор интервалов. $I_{n}$ на вещественной прямой с натуральными числами $n=1,2,3,\dots$ как индекс. Чтобы последовательность интервалов считалась вложенными интервалами, должны быть выполнены два условия:

1. Каждый интервал последовательности содержится в предыдущем ( $I_{n+1}$ всегда является подмножеством $I_{n}$).
2. Длина интервалов становится сколь угодно малой (это означает, что длина падает ниже всех возможных порогов). $\varepsilon$ после определенного индекса $N$).

Другими словами, левая граница интервала $I_{n}$ может только увеличиться( $a_{n+1}\geq a_{n}$), а правая граница может только уменьшаться ( $b_{n+1}\leq b_{n}$).

Исторически — задолго до того, как кто-либо определил вложенные интервалы в учебниках — люди неявно создавали такие вложения для конкретных целей вычислений. Например, древние вавилоняне открыли метод вычисления квадратных корней чисел. Напротив, знаменитый Архимед построил последовательность многоугольников, которые вписали и описали единичную окружность , чтобы получить нижнюю и верхнюю границу длины окружности, то есть число окружности Пи ( $\pi$).

Центральный вопрос, который необходимо поставить, — это природа пересечения всех натуральных чисел или, другими словами, множества чисел, которые встречаются в каждом интервале. $I_{n}$ (таким образом, для всех $n\in \mathbb {N}$). В современной математике вложенные интервалы используются как метод построения действительных чисел (для пополнения поля . рациональных чисел)

Историческая мотивация

Как сказано во введении, исторические пользователи математики обнаружили вложенность интервалов и тесно связанные алгоритмы как методы конкретных вычислений. Здесь будут представлены некоторые вариации и современные интерпретации этих древних техник:

Вычисление квадратных корней

При попытке найти квадратный корень из числа $x>1$, можно быть уверенным, что $1\leq {\sqrt {x}}\leq x$, что дает первый интервал $I_{1}=[1,x]$, в котором $x$ должен быть найден. Если известен следующий более высокий совершенный квадрат $k^{2}>x$, можно получить еще лучшего кандидата для первого интервала: $I_{1}=[1,k]$.

Остальные интервалы $I_{n}=[a_{n},b_{n}],n\in \mathbb {N}$ теперь можно определить рекурсивно, просматривая последовательность средних точек $m_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$. Учитывая интервал $I_{n}$ уже известно (начиная с $I_{1}$), можно определить

$I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}\leq x\\\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;\;m_{n}^{2}>x\end{matrix}}\right.$

Чтобы выразить это словами, можно сравнить середину $I_{n}$ к ${\sqrt {x}}$ чтобы определить, меньше или больше средняя точка ${\sqrt {x}}$. Если средняя точка меньше, ее можно установить как нижнюю границу следующего интервала. $I_{n+1}$, а если средняя точка больше, то ее можно установить как верхнюю границу следующего интервала. Это гарантирует, что ${\sqrt {x}}\in I_{n+1}$. При такой конструкции интервалы являются вложенными, а их длина $|I_{n}|$ уменьшаться вдвое на каждом этапе рекурсии. Таким образом, можно получить нижние и верхние оценки для ${\sqrt {x}}$ со сколь угодно хорошей точностью (при достаточном вычислительном времени).

Можно также вычислить ${\sqrt {y}}$, когда $0<y<1$. В этом случае $1/y>1$, и алгоритм можно использовать, установив $x:=1/y$ и вычисление обратной величины после достижения желаемого уровня точности.

Пример

Чтобы продемонстрировать этот алгоритм, приведем пример того, как его можно использовать для нахождения значения ${\sqrt {19}}$. Обратите внимание, что поскольку $1^{2}<19<5^{2}$, первый интервал алгоритма можно определить как $I_{1}:=[1,5]$, с ${\sqrt {19}}$ обязательно должны находиться в этом интервале. Таким образом, используя этот интервал, можно перейти к следующему шагу алгоритма, вычислив середину интервала, определив, больше или меньше 19 квадрат средней точки, и соответствующим образом установив границы следующего интервала перед повторением. процесс:

${\begin{aligned}m_{1}&={\dfrac {1+5}{2}}=3&&\Rightarrow \;m_{1}^{2}=9\leq 19&&\Rightarrow \;I_{2}=[3,5]\\m_{2}&={\dfrac {3+5}{2}}=4&&\Rightarrow \;m_{2}^{2}=16\leq 19&&\Rightarrow \;I_{3}=[4,5]\\m_{3}&={\dfrac {4+5}{2}}=4.5&&\Rightarrow \;m_{3}^{2}=20.25>19&&\Rightarrow \;I_{4}=[4,4.5]\\m_{4}&={\dfrac {4+4.5}{2}}=4.25&&\Rightarrow \;m_{4}^{2}=18.0625\leq 19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.5]\\m_{5}&={\dfrac {4.25+4.5}{2}}=4.375&&\Rightarrow \;m_{5}^{2}=19.140625>19&&\Rightarrow \;I_{5}=[4.25,4.375]\\&\vdots &&\end{aligned}}$

Каждый раз, когда вычисляется новая средняя точка, диапазон возможных значений для ${\sqrt {19}}$ можно сузить так, чтобы значения, оставшиеся в пределах интервала, были все ближе и ближе к фактическому значению ${\sqrt {19}}=4.35889894\dots$. То есть каждое последующее изменение границ интервала, в пределах которого ${\sqrt {19}}$ должен лгать, допускает значение ${\sqrt {19}}$ оценить с большей точностью либо за счет увеличения нижних границ интервала, либо за счет уменьшения верхних границ интервала.

Эту процедуру можно повторять столько раз, сколько необходимо для достижения желаемого уровня точности. Теоретически, повторяя шаги бесконечно, можно получить истинное значение этого квадратного корня.

Метод цапли

Вавилонский метод использует еще более эффективный алгоритм, который дает точные аппроксимации ${\sqrt {x}}$ для $x>0$ еще быстрее. Современное описание с использованием вложенных интервалов похоже на приведенный выше алгоритм, но вместо использования последовательности средних точек используется последовательность $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ данный

$c_{n+1}:={\frac {1}{2}}\cdot \left(c_{n}+{\frac {x}{c_{n}}}\right)$.

В результате получается последовательность интервалов, заданная формулой $I_{n+1}:=\left[{\frac {x}{c_{n}}},c_{n}\right]$ и $I_{1}=[0,k]$, где $k^{2}>x$, предоставит точные верхние и нижние границы для ${\sqrt {x}}$ очень быстро. На практике только $c_{n}$ необходимо учитывать, что сходится к ${\sqrt {x}}$ (как, конечно, и нижняя граница интервала). Этот алгоритм является частным случаем метода Ньютона .

Измерение круга Архимеда

Дополнительная информация: Pi § Эпоха аппроксимации полигонов.

π можно оценить, вычислив периметры описанного и вписанного многоугольников.

Как показано на изображении, нижнюю и верхнюю границы окружности можно получить с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников. При исследовании круга диаметром $1$, длина окружности (по определению числа Пи) — это номер круга $\pi$.

Около 250 г. до н. э. Архимед Сиракузский начал с правильных шестиугольников , длину сторон которых (и, следовательно, окружность) можно вычислить непосредственно из диаметра круга. Кроме того, существует способ вычисления длины стороны регулярного $2n$-гон от предыдущего $n$-угольник можно найти, начиная с правильного шестиугольника ( $6$-гон). Последовательно удваивая количество ребер до тех пор, пока не будет получено 96-угольников, Архимед достиг интервала с ${\tfrac {223}{71}}<\pi <{\tfrac {22}{7}}$. Верхняя граница $22/7\approx 3.143$ до сих пор часто используется как грубое, но прагматичное приближение $\pi$.

Примерно в 1600 году н.э. метод Архимеда все еще был золотым стандартом для расчета числа Пи и использовался голландским математиком Людольфом ван Сеуленом для вычисления более тридцати цифр числа Пи. $\pi$, на что у него ушли десятилетия. Вскоре после этого были найдены более мощные методы вычислений.

Другие реализации

Раннее использование последовательностей вложенных интервалов (или их можно описать как таковые с помощью современной математики) можно найти у предшественников исчисления ( дифференциации и интегрирования ). В информатике последовательности вложенных интервалов используются в алгоритмах численных вычислений. Т.е. метод бисекции можно использовать для вычисления корней непрерывных функций . В отличие от математически бесконечных последовательностей, прикладной вычислительный алгоритм завершается в какой-то момент, когда искомый ноль найден или достаточно хорошо аппроксимирован .

Построение действительных чисел

В математическом анализе вложенные интервалы обеспечивают один из методов аксиоматического введения действительных чисел как пополнения рациональных чисел , что необходимо для обсуждения понятий непрерывности и дифференцируемости . Исторически сделанное Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем открытие дифференциального и интегрального исчисления, в конце 1600-х годов, поставило перед математиками огромную задачу, пытающуюся строго доказать свои методы; несмотря на их успехи в физике , технике и других науках. Аксиоматическое описание вложенных интервалов (или эквивалентная аксиома) стало важной основой современного понимания исчисления.

В контексте этой статьи, $\mathbb {R}$ в сочетании с $+$ и $\cdot$ является архимедовым упорядоченным полем , что означает аксиомы порядка и архимедово свойство .

Определение

Позволять $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ — последовательность интервалов типа $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, где $|I_{n}|:=b_{n}-a_{n}$ обозначает длину такого интервала. Можно позвонить $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ последовательность вложенных интервалов , если

1. $\quad \forall n\in \mathbb {N} :\;\;I_{n+1}\subseteq I_{n}$
2. $\quad \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} :\;\;|I_{N}|<\varepsilon$.

Проще говоря, свойство 1 означает, что интервалы вложены в соответствии с их индексом. Второе свойство формализует представление о том, что размеры интервалов становятся сколь угодно малыми; это означает, что для произвольной константы $\varepsilon >0$ всегда можно найти интервал (с индексом $N$) с длиной строго меньшей этого числа $\varepsilon$. Также стоит отметить, что из свойства 1 сразу следует, что каждый интервал с индексом $n\geq N$ также должен иметь длину $|I_{n}|<\varepsilon$.

Примечание

Обратите внимание, что некоторые авторы называют такие интервальные последовательности, удовлетворяющие обоим свойствам, указанным выше, сокращением вложенных интервалов . В этом случае последовательность вложенных интервалов относится к последовательности, которая удовлетворяет только свойству 1.

Аксиома полноты

Если $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ представляет собой последовательность вложенных интервалов, всегда существует вещественное число, содержащееся в каждом интервале $I_{n}$. В формальных обозначениях эта аксиома гарантирует, что

$\exists x\in \mathbb {R} :\;x\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$.

Теорема

Пересечение каждой последовательности $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ вложенных интервалов содержит ровно одно действительное число $x$.

Доказательство: Это утверждение легко проверить от противного. Предположим, что существуют два разных числа $x,y\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. От $x\neq y$ отсюда следует, что они различаются $|x-y|>0.$ Поскольку оба числа должны содержаться в каждом интервале, отсюда следует, что $|I_{n}|\geq |x-y|$ для всех $n\in \mathbb {N}$. Это противоречит свойству 2 из определения вложенных интервалов; следовательно, пересечение может содержать не более одного числа $x$. Аксиома полноты гарантирует, что такое действительное число $x$ существует. $\;\square$

Примечания

• Эта аксиома является фундаментальной в том смысле, что последовательность вложенных интервалов не обязательно содержит рациональное число, а это означает, что $\cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$ может дать $\emptyset$, если только рассматривать рациональное объяснение.
• Аксиома эквивалентна существованию нижней и верхней граней (доказательство ниже), сходимости последовательностей Коши и теореме Больцано-Вейерштрасса . Это означает, что одно из четырех необходимо ввести аксиоматически, а остальные три можно последовательно доказать.

Прямые следствия аксиомы

Наличие корней

Обобщая показанный выше алгоритм для квадратных корней , можно доказать, что в действительных числах уравнение $x=y^{j},\;j\in \mathbb {N} ,x>0$ всегда можно решить $y={\sqrt[{j}]{x}}=x^{1/j}$. Это означает, что существует уникальное действительное число. $y>0$, такой, что $x=y^{k}$. По сравнению с разделом выше, можно получить последовательность вложенных интервалов для $k$-й корень из $x$, а именно $y$, глядя на то, находится ли средняя точка $m_{n}$ принадлежащий $n$-й интервал меньше или равен или больше, чем $m_{n}^{k}$.

Существование нижней и верхней границ в ограниченных множествах.

Определение

Если $A\subset \mathbb {R}$ имеет верхнюю границу, т.е. существует число $b$, такой, что $x\leq b$ для всех $x\in A$, можно позвонить по номеру $s=\sup(A)$ супремум ​ $A$, если

1. число $s$ является верхней границей $A$, значение $\forall x\in A:\;x\leq s$
2. $s$ является наименьшей верхней границей $A$, значение $\forall \sigma <s:\;\exists x\in A:\;x>\sigma$

Только один такой номер $s$ может существовать. Аналогично можно определить нижнюю границу ( $\inf(B)$) из набора $B\subset \mathbb {R}$, ограниченное снизу как наибольшая нижняя граница этого множества.

Теорема

Каждый набор $A\subset \mathbb {R}$ имеет верхнюю грань (нижнюю грань), если она ограничена сверху (снизу).

Доказательство. Без ограничения общности можно рассмотреть множество $A\subset \mathbb {R}$ у которого есть верхняя граница. Теперь можно построить последовательность $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ вложенных интервалов $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, который имеет следующие два свойства:

1. $b_{n}$ является верхней границей $A$ для всех $n\in \mathbb {N}$
2. $a_{n}$ никогда не является верхней границей $A$ для любого $n\in \mathbb {N}$.

Конструкция следует рекурсии, начиная с любого числа. $a_{1}$, это не верхняя граница (например, $a_{1}=c-1$, где $c\in A$ и произвольная верхняя граница $b_{1}$ из $A$). Данный $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ для некоторых $n\in \mathbb {N}$ можно вычислить среднюю точку $m_{n}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$ и определить

$I_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}\left[a_{n},m_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is an upper bound of}}\;A\\\left[m_{n},b_{n}\right]&&{\text{if}}\;m_{n}\;{\text{is not an upper bound}}\end{matrix}}\right.$

Обратите внимание, что эта последовательность интервалов четко определена и, очевидно, по построению является последовательностью вложенных интервалов.

Теперь позвольте $s$ быть числом в каждом интервале (существование которого гарантируется аксиомой ) . $s$ является верхней границей $A$, иначе существует число $x\in A$, такой, что $x>s$. Кроме того, это означало бы существование интервала $I_{m}=[a_{m},b_{m}]$ с $b_{m}-a_{m}<x-s$, из которого $b_{m}-s<x-s$ следует, из-за $s$ также являющийся элементом $I_{m}$. Но это противоречит свойству 1 супремума (имеется в виду $b_{m}<s$ для всех $m\in \mathbb {N}$). Поэтому $s$ фактически является верхней границей $A$.

Предположим, что существует нижняя верхняя граница $\sigma <s$ из $A$. С $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ представляет собой последовательность вложенных интервалов, длины интервалов становятся сколь угодно малыми; в частности, существует интервал длиной меньше, чем $s-\sigma$. Но из $s\in I_{n}$ каждый получает $s-a_{n}<s-\sigma$ и поэтому $a_{n}>\sigma$. Следуя правилам этой конструкции, $a_{n}$ должна быть верхняя граница $A$, что противоречит свойству 2 всех последовательностей вложенных интервалов.

В два этапа было показано, что $s$ является верхней границей $A$ и что нижняя верхняя граница не может существовать. Поэтому $s$ является супремумом $A$ по определению.

Примечание

Как мы видели, существование верхних и нижних границ ограниченных множеств является следствием полноты $\mathbb {R}$. По сути, эти два понятия фактически эквивалентны, а это означает, что любой из них может быть введен аксиоматически.

Доказательство: Пусть $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ с $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ быть последовательностью вложенных интервалов. Тогда набор $A:=\{a_{1},a_{2},\dots \}$ ограничено сверху, где каждый $b_{n}$ является верхней границей. Это означает, что наименьшая верхняя граница $s=\sup(A)$ выполняет $a_{n}\leq s\leq b_{n}$ для всех $n\in \mathbb {N}$. Поэтому $s\in I_{n}$ для всех $n\in \mathbb {N}$, соответственно $s\in \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$.

Дальнейшие последствия

После формального определения сходимости последовательностей и точек накопления последовательностей можно также доказать теорему Больцано-Вейерштрасса, используя вложенные интервалы. В дальнейшем можно доказать тот факт, что последовательности Коши сходятся (и что все сходящиеся последовательности являются последовательностями Коши). Это, в свою очередь, позволяет доказать указанное выше свойство полноты, показав их эквивалентность.

Дальнейшее обсуждение связанных аспектов

Не уточняя, что подразумевается под интервалом, все, что можно сказать о пересечении $\cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$ по всем натуральным числам (т.е. набору всех точек, общих для каждого интервала) является то, что это либо пустое множество $\emptyset$, точка на числовой прямой (называемая одноэлементным $\{x\}$), или некоторый интервал.

Возможность пустого пересечения можно проиллюстрировать, рассмотрев последовательность открытых интервалов. $I_{n}=\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :0<x<{\frac {1}{n}}\right\}$.

В этом случае пустое множество $\emptyset$ результат пересечения $\cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$. Этот результат обусловлен тем, что для любого числа $x>0$ существует некоторая ценность $n\in \mathbb {N}$ (а именно любой $n>1/x$), такой, что $1/n<x$. Это определяется архимедовым свойством действительных чисел. Поэтому, как бы мала ни была $x>0$, всегда можно найти интервалы $I_{n}$ в такой последовательности, что $x\notin I_{n},$ подразумевая, что перекресток должен быть пустым.

Иная ситуация для закрытых интервалов . Если изменить ситуацию, описанную выше, взглянув на закрытые интервалы типа $I_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]=\left\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\right\}$, это видно очень ясно. Теперь для каждого $x>0$ все равно всегда можно найти интервалы, не содержащие сказанное $x$, но для $x=0$, собственность $0\leq x\leq 1/n$ справедливо для любого $n\in \mathbb {N}$. Можно сделать вывод, что в данном случае $\cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{0\}$.

Можно также рассмотреть дополнение каждого интервала, записанное как $(-\infty ,a_{n})\cup (b_{n},\infty )$ - что в нашем последнем примере $(-\infty ,0)\cup (1/n,\infty )$. По законам де Моргана дополнение пересечения представляет собой объединение двух непересекающихся открытых множеств . По связности реальной линии между ними должно быть что-то. Это показывает, что пересечение (даже несчетного числа) вложенных, замкнутых и ограниченных интервалов непусто.

Высшие измерения

В двух измерениях аналогичный результат: вложенные замкнутые диски в плоскость должны иметь общее пересечение. Этот результат был показан Германом Вейлем для классификации сингулярного поведения некоторых дифференциальных уравнений .

См. также

• деление пополам
• Теорема Кантора о пересечении

Ссылки

• Фриди, Дж. А. (2000), «3.3 Теорема о вложенных интервалах», Вводный анализ: теория исчисления , Academic Press, стр. 29, ISBN  9780122676550 .
• Шилов, Георгий Э. (2012), «1.8 Принцип вложенных интервалов», Элементарный вещественный и комплексный анализ , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 21–22, ISBN  9780486135007 .
• Сохраб, Хоушанг Х. (2003), «Теорема 2.1.5 (теорема о вложенных интервалах)», Basic Real Analysis , Springer, стр. 45, ISBN  9780817642112 .
• Кенигсбергер, Конрад (2003), «2.3 Полнота R (полнота действительных чисел)», Анализ 1, 6-е издание , учебник Springer, Springer, стр. 10–15, номер домена : 10.1007/978-3-642-18490-1 , ISBN.  9783642184901