проблема Кеплера

В классической механике задача Кеплера представляет собой частный случай задачи двух тел , в которой два тела взаимодействуют с помощью центральной силы , сила которой меняется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Проблема состоит в том, чтобы найти положение или скорость двух тел во времени, учитывая их массы , положения и скорости . Используя классическую механику, решение можно выразить в виде орбиты Кеплера с использованием шести орбитальных элементов .

Проблема Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера , который предложил законы движения планет Кеплера (которые являются частью классической механики и решили проблему орбит планет) и исследовал типы сил, которые приводят к тому, что орбиты подчиняются этим законам (называемые обратная задача Кеплера ). ^[1]

Обсуждение проблемы Кеплера, характерной для радиальных орбит, см. в разделе «Радиальная траектория» . Общая теория относительности обеспечивает более точные решения проблемы двух тел, особенно в сильных гравитационных полях .

Приложения

Закон обратных квадратов, лежащий в основе проблемы Кеплера, является наиболее важным законом центральной силы. ^[1]^: 92Проблема Кеплера важна в небесной механике , поскольку ньютоновская гравитация подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают спутник, движущийся вокруг планеты, планету вокруг своего Солнца или две двойные звезды друг вокруг друга. Проблема Кеплера важна также и в движении двух заряженных частиц, поскольку Кулона закон электростатики также подчиняется закону обратных квадратов .

Проблема Кеплера и проблема простого гармонического осциллятора — две наиболее фундаментальные проблемы классической механики . Это единственные две задачи, которые имеют замкнутые орбиты для любого возможного набора начальных условий, т. е. возвращаются в исходную точку с одинаковой скоростью ( теорема Бертрана ). ^[1]^: 92

Проблема Кеплера также сохраняет вектор Лапласа-Рунге-Ленца , который с тех пор был обобщен для включения других взаимодействий. Решение проблемы Кеплера позволило ученым показать, что движение планет можно полностью объяснить классической механикой и законом тяготения Ньютона ; научное объяснение движения планет сыграло важную роль в провозглашении Просвещения .

История

Проблема Кеплера начинается с эмпирических результатов Иоганна Кеплера, с трудом полученных путем анализа астрономических наблюдений Тихо Брахе . После примерно 70 попыток сопоставить данные с круговыми орбитами Кеплер натолкнулся на идею эллиптической орбиты . В конце концов он обобщил свои результаты в форме трёх законов движения планет . ^[2]

То, что сейчас называется проблемой Кеплера, впервые обсуждалось Исааком Ньютоном как основная часть его «Начал» . Его «Теорема I» начинается с первых двух из трех его аксиом или законов движения и приводит к Кеплера второму закону движения планет . Затем Ньютон доказывает свою «Теорему II», которая показывает, что если действует второй закон Кеплера, то действующая сила должна быть направлена вдоль линии между двумя телами. Другими словами, Ньютон доказывает то, что сегодня можно было бы назвать «обратной проблемой Кеплера»: характеристики орбиты требуют, чтобы сила зависела от обратного квадрата расстояния. ^[3]^: 107

Математическое определение

Центральная сила F между двумя объектами изменяется по силе как обратная квадрату расстояния r между ними:

\mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}

где k — константа и $\mathbf {\hat {r}}$ представляет собой единичный вектор вдоль линии между ними. ^[4] Сила может быть как притягивающей ( k < 0), так и отталкивающей ( k > 0). Соответствующий скалярный потенциал :

V(r)={\frac {k}{r}}

Решение проблемы Кеплера

Уравнение движения радиуса $r$ частицы массы $m$ движение в центральном потенциале $V(r)$ задается уравнениями Лагранжа

m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}

$\omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}$ и угловой момент $L=mr^{2}\omega$ сохраняется. Для иллюстрации первый член в левой части равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутрь сила ${\frac {dV}{dr}}$ равно требованию центростремительной силы $mr\omega ^{2}$ , как и ожидалось.

Если L не равно нулю, определение углового момента допускает замену независимой переменной с $t$ к $\theta$

{\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}

дающее новое уравнение движения, независимое от времени

{\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}

Расширение первого члена

{\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}

Это уравнение становится квазилинейным после замены переменных $u\equiv {\frac {1}{r}}$ и умножив обе части на ${\frac {mr^{2}}{L^{2}}}$

{\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}

После замены и перестановки:

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)

Для закона обратных квадратов силы, такого как гравитационный или электростатический потенциал , скалярный потенциал можно записать

V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku

Орбита $u(\theta )$ можно получить из общего уравнения

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}

решение которого является константой $-{\frac {km}{L^{2}}}$ плюс простая синусоида

u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]

где $e$ ( эксцентриситет ) и $\theta _{0}$ ( сдвиг фазы ) являются константами интегрирования.

Это общая формула конического сечения с одним фокусом в начале координат; $e=0$ соответствует кругу , $e<1$ соответствует эллипсу, $e=1$ соответствует параболе , а $e>1$ соответствует гиперболе . Эксцентричность $e$ относится к полной энергии $E$ (ср. вектор Лапласа–Рунге–Ленца )

e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}

Сравнение этих формул показывает, что $E<0$ соответствует эллипсу (все решения, представляющие собой замкнутые орбиты, являются эллипсами), $E=0$ соответствует параболе , а $E>0$ соответствует гиперболе . В частности, $E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}$ для идеально круговых орбит (центральная сила точно равна требованию центростремительной силы , которая определяет требуемую угловую скорость для данного кругового радиуса).

Для силы отталкивания ( k > 0) только e применимо > 1.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли .
^ Купер, Л. Н. (1981). Введение в смысл и структуру физики . США: Peleus Press (совместно с Леоном Н. Купером, физический факультет, Университет Брауна).
^ Спейзер, Дэвид (август 1996 г.). «Задача Кеплера от Ньютона до Иоганна Бернулли» . Архив истории точных наук . 50 (2): 103–116. дои : 10.1007/BF02327155 . ISSN 0003-9519 .
^ Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики, 2-е изд . Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 38 . ISBN 978-0-387-96890-2 .

[goldstein_1980-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон Уэсли .

[2] Купер, Л. Н. (1981). Введение в смысл и структуру физики . США: Peleus Press (совместно с Леоном Н. Купером, физический факультет, Университет Брауна).

[Speiser1996-3] Спейзер, Дэвид (август 1996 г.). «Задача Кеплера от Ньютона до Иоганна Бернулли» . Архив истории точных наук . 50 (2): 103–116. дои : 10.1007/BF02327155 . ISSN 0003-9519 .

[4] Арнольд, VI (1989). Математические методы классической механики, 2-е изд . Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 38 . ISBN 978-0-387-96890-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]