Уменьшенное кольцо

В теории колец , разделе математики , кольцо называется приведенным, если оно не имеет ненулевых нильпотентных элементов. Эквивалентно, кольцо сокращается, если в нем нет ненулевых элементов с нулевым квадратом , то есть x ² = 0 влечет x = 0. Коммутативная алгебра над коммутативным кольцом называется приведенной алгеброй, если ее основное кольцо приведено.

Нильпотентные элементы коммутативного кольца R образуют идеал кольца R , называемый нильрадикалом кольца R ; следовательно, коммутативное кольцо редуцировано тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю . Более того, коммутативное кольцо редуцировано тогда и только тогда, когда единственный элемент, содержащийся во всех простых идеалах, равен нулю.

Факторкольцо I R / I редуцировано тогда и только тогда, когда — радикальный идеал .

Позволять ${\mathcal {N}}_{R}$ обозначаем нильрадикал коммутативного кольца $R$ . Существует функтор $R\mapsto R/{\mathcal {N}}_{R}$ категории коммутативных колец ${\text{Crng}}$ в категорию уменьшенных колец ${\text{Red}}$ и он слева сопряжен с функтором включения $I$ из ${\text{Red}}$ в ${\text{Crng}}$ . Естественная биекция ${\text{Hom}}_{\text{Red}}(R/{\mathcal {N}}_{R},S)\cong {\text{Hom}}_{\text{Crng}}(R,I(S))$ индуцируется из универсального свойства факторкольца.

Пусть D — множество всех делителей нуля в приведенном кольце R . Тогда D — объединение всех минимальных простых идеалов . ^[1]

Над нетеровым кольцом R мы говорим, что конечно порожденный модуль M имеет локально постоянный ранг, если ${\mathfrak {p}}\mapsto \operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M\otimes k({\mathfrak {p}}))$ является локально постоянной (или, что эквивалентно, непрерывной) функцией на Spec R . Тогда R редуцируется тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный модуль локально постоянного ранга проективен . ^[2]

Примеры и не примеры

Подкольца , произведения и локализации приведенных колец снова являются приведенными кольцами.
Кольцо целых чисел Z является приведенным кольцом. Каждое поле и каждое кольцо полиномов над полем (от произвольного числа переменных) является приведенным кольцом.
В более общем смысле, каждая область целостности является приведенным кольцом, поскольку нильпотентный элемент тем более является делителем нуля . С другой стороны, не каждое приведенное кольцо является областью целостности; например, кольцо Z [ x , y ]/( xy ) содержит x + ( xy ) и y + ( xy ) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Другой пример: кольцо Z × Z содержит (1, 0) и (0, 1) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов.
Кольцо Z /6 Z редуцировано, однако Z /4 Z не редуцировано: класс 2 + 4 Z нильпотентен. В общем случае Z / n Z уменьшается тогда и только тогда, когда n = 0 или n не содержит квадратов .
Если R — коммутативное кольцо и N — его нильрадикал , то факторкольцо R / N редуцируется.
Коммутативное кольцо R простой характеристики р Совершенное приведено тогда и только тогда, когда его Фробениуса инъективен эндоморфизм (ср. поле ).

Обобщения

Приведенные кольца играют элементарную роль в алгебраической геометрии , где это понятие обобщается до понятия приведенной схемы .

См. также

Полное факторкольцо § Полное кольцо частных приведенного кольца

Примечания

^ Доказательство: пусть ${\mathfrak {p}}_{i}$ — все (возможно, нулевые) минимальные простые идеалы.
$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ Пусть x находится D. в Тогда xy = 0 для некоторого ненулевого y . Поскольку R уменьшен, (0) является пересечением всех ${\mathfrak {p}}_{i}$ и, таким образом, y не находится в каком-то ${\mathfrak {p}}_{i}$ . Поскольку xy во всем ${\mathfrak {p}}_{j}$ ; в частности, в ${\mathfrak {p}}_{i}$ , x находится в ${\mathfrak {p}}_{i}$ .
$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ (украдено у Капланского, коммутативные кольца, теорема 84). Мы опускаем индекс i . Позволять $S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$ . S мультипликативно замкнуто, поэтому мы можем рассмотреть локализацию $R\to R[S^{-1}]$ . Позволять ${\mathfrak {q}}$ быть прообразом максимального идеала. Затем ${\mathfrak {q}}$ содержится как в D , так и в ${\mathfrak {p}}$ и по минимальности ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$ . (Это направление является непосредственным, если R нётерово по теории ассоциированных простых чисел .)
^ Eisenbud 1995 , Упражнение 20.13.

Ссылки

Н. Бурбаки , Коммутативная алгебра , Герман Париж, 1972, гл. II, § 2.7
N. Bourbaki , Algebra , Springer 1990, Chap. V, § 6.7
Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94268-8 .

[1] Доказательство: пусть ${\mathfrak {p}}_{i}$ — все (возможно, нулевые) минимальные простые идеалы.
$D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:$ Пусть x находится D. в Тогда xy = 0 для некоторого ненулевого y . Поскольку R уменьшен, (0) является пересечением всех ${\mathfrak {p}}_{i}$ и, таким образом, y не находится в каком-то ${\mathfrak {p}}_{i}$ . Поскольку xy во всем ${\mathfrak {p}}_{j}$ ; в частности, в ${\mathfrak {p}}_{i}$ , x находится в ${\mathfrak {p}}_{i}$ .
$D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:$ (украдено у Капланского, коммутативные кольца, теорема 84). Мы опускаем индекс i . Позволять $S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}$ . S мультипликативно замкнуто, поэтому мы можем рассмотреть локализацию $R\to R[S^{-1}]$ . Позволять ${\mathfrak {q}}$ быть прообразом максимального идеала. Затем ${\mathfrak {q}}$ содержится как в D , так и в ${\mathfrak {p}}$ и по минимальности ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}$ . (Это направление является непосредственным, если R нётерово по теории ассоциированных простых чисел .)

[2] Eisenbud 1995 , Упражнение 20.13.

[1]

[2]